さまざまな交流波形のフーリエ級数展開まとめ

フーリエ級数展開(Fourier transform)とは、複雑な周期関数を、三角関数といった単純な周期関数の和で表すことである。

本記事では、さまざまな交流波形のフーリエ級数展開の式を導出してまとめる。





フーリエ級数展開の概要

周期$T$である$x$の関数$f\left(x\right)$のフーリエ級数は、次式で表される。

$$\begin{align*}
f\left(x\right)&=\frac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\cos\frac{2\pi nx}{T}+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n\sin\frac{2\pi nx}{T}\\\\
a_n&=\frac{2}{T}\int^{T}_{0}f\left(x\right)\cos\frac{2\pi nx}{T}\mathrm{d}x \left(n=0,1,2,\cdots\right)\\\\
b_n&=\frac{2}{T}\int^{T}_{0}f\left(x\right)\sin\frac{2\pi nx}{T}\mathrm{d}x \left(n=1,2,3,\cdots\right)
\end{align*}$$

 

特に、対象の関数$f\left(x\right)$が偶関数$\left(f\left(x\right)=f\left(-x\right)\right)$であるときは、$b_n=0,\ $かつ$a_n$は次式で表される。

$$a_n=\frac{4}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{0}f\left(x\right)\cos\frac{2\pi nx}{T}\mathrm{d}x \left(n=0,1,2,\cdots\right)$$

 

逆に、対象の関数$f\left(x\right)$が奇関数$\left(f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\right)$であるときは、$a_0=0,\ a_n=0,\ $かつ$b_n$は次式で表される。

$$b_n=\frac{4}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{0}f\left(x\right)\sin\frac{2\pi nx}{T}\mathrm{d}x \left(n=1,2,3,\cdots\right)$$

 

本記事におけるフーリエ級数の式

本記事で扱う交流波形は、次の条件であるとする。

  • 位相$\theta$の関数である($(1)\sim(3)$式で$x\rightarrow\theta$とする)。
  • 周期は$T=2\pi$である。

 

上記より、本記事では周期$2\pi$の関数である$f\left(\theta\right)$のフーリエ級数を求める際、次式(先に述べた定義式で$ x\rightarrow\theta,\ T=2\pi$としたもの)を用いるものとする。

$$\begin{align*}
f\left(\theta\right)&=\frac{a_0}{2}+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\cos n\theta+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n\sin n\theta ・・・(1)\\\\
a_n&=\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}f\left(\theta\right)\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta \left(n=0,1,2,\cdots\right) ・・・(2)\\\\
b_n&=\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}f\left(\theta\right)\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta \left(n=1,2,3,\cdots\right) ・・・(3)
\end{align*}$$

 

特に、$f\left(\theta\right)$が偶関数のとき、$b_n=0$,かつ、

$$a_n=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}f\left(\theta\right)\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta \left(n=0,1,2,\cdots\right) ・・・(4)$$

 

逆に、$f\left(\theta\right)$が奇関数のとき、$a_0=0,\ a_n=0,\ $かつ、

$$b_n=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}f\left(\theta\right)\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta \left(n=1,2,3,\cdots\right) ・・・(5)$$

 

各波形のフーリエ級数展開まとめ

本記事で解説する各交流波形のフーリエ級数の式を表に示す。

同表において、$V_\mathrm{m}$は波高値を示す。

 

表 交流波形のフーリエ級数展開

 

フーリエ級数展開の計算(正弦波系)

半波整流波

図1に周期$2\pi$,波高値$V_\mathrm{m}$の正弦波に対する半波整流波を示す。

 

図1 半波整流波

 

図1の波形の位相$\theta$に対する瞬時値$v\left(\theta\right)$は、$0\leq\theta\leq 2\pi$の範囲内において、次の式で表すことができる。

$$v\left(\theta\right)=\begin{cases}
V_\mathrm{m}\sin\theta&\left(0\leq \theta<\pi\right)\\\\
0&\left(\pi\leq\theta\leq 2\pi\right)
\end{cases}$$

 

図1の$v\left(\theta\right)$のフーリエ級数を求める。

まず、係数$a_0$は、$(2)$式で$n=0$として、

$$\begin{align*}
a_0&=\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}v\left(\theta\right)\mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}V_\mathrm{m}\sin\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\left[-\cos\theta\right]^{\pi}_{0}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\left\{-\left(-1\right)+1\right\}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot2\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}
\end{align*}$$

 

次に、係数$a_n$は、$(2)$式および積和の公式を用いて、

$$\begin{align*}
a_n&=\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}v\left(\theta\right)\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}V_\mathrm{m}\sin\theta\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2\pi}\int^{\pi}_{0}\left\{\sin\left(n+1\right)\theta-\sin\left(n-1\right)\theta \right\}\mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2\pi}\left[-\frac{1}{n+1}\cos\left(n+1\right)\theta+\frac{1}{n-1}\cos\left(n-1\right)\theta\right]^{\pi}_{0}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2\pi}\left[-\frac{1}{n+1}\left\{\cos\left(n+1\right)\pi-1\right\}+\frac{1}{n-1}\left\{\cos\left(n-1\right)\pi-1\right\}\right]\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2\pi}\left[-\frac{1}{n+1}\left\{\left(-1\right)^{n+1}-1\right\}+\frac{1}{n-1}\left\{\left(-1\right)^{n-1}-1\right\}\right]\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2\pi}\cdot\frac{2}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\left\{\left(-1\right)^{n-1}-1\right\}\\\\
&=-\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{\left(-1\right)^{n}+1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)} ・・・(6)
\end{align*}$$

 

ここで、$n$が奇数のときは$\left(-1\right)^{n}+1=-1+1=0$,$n$が偶数のときは$\left(-1\right)^{n}+1=1+1=2$となることから、$(6)$式で$n=2k\left(k=1,2,3,\cdots\right)$とすると、

$$a_{2k}=-\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)} ・・・(7)$$

 

また、係数$b_n$は、$(3)$式および積和の公式を用いて、

$$\begin{align*}
b_n&=\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}v\left(\theta\right)\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}V_\mathrm{m}\sin\theta\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2\pi}\int^{\pi}_{0}\left\{\cos\left(n-1\right)\theta-\cos\left(n+1\right)\theta \right\}\mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2\pi}\left[\frac{1}{n-1}\sin\left(n-1\right)\theta-\frac{1}{n+1}\sin\left(n+1\right)\theta\right]^{\pi}_{0}\\\\
&=0
\end{align*}$$

 

なお、係数のうち$b_1$は、$(3)$式で$n=1$として、三角関数の倍角の公式も用いると、

$$\begin{align*}
b_1&=\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}v\left(\theta\right)\sin\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}V_\mathrm{m}\sin^2\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2\pi}\int^{\pi}_{0}\left(1-\cos 2\theta\right)\mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2\pi}\left[\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]^{\pi}_{0}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2\pi}\cdot\pi\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2}
\end{align*}$$

 

以上より、図1の半波整流波$v\left(\theta\right)$のフーリエ級数展開は、$(7)$式で$k\rightarrow n\left(n=1,2,3,\cdots\right)$と置き換え、

$$\begin{align*}
v\left(\theta\right)&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}+\frac{V_\mathrm{m}}{2}\sin\theta-\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\cos2n\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}+\frac{V_\mathrm{m}}{2}\sin\theta-\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\left(\frac{1}{1\cdot3}\cos 2\theta+\frac{1}{3\cdot5}\cos4\theta+\frac{1}{5\cdot7}\cos6\theta+\cdots\right) ・・・(8)
\end{align*}$$

 

なお、$(8)$式で$n=3$までの級数とした場合の波形(赤)は、図2のようになる。

 

図2 半波整流波のフーリエ級数($n=3$)

 

全波整流波

図3に周期$2\pi$,波高値$V_\mathrm{m}$の正弦波に対する全波整流波を示す。

 

図3 全波整流波

 

図3の波形の位相$\theta$に対する瞬時値$v\left(\theta\right)$は、$0\leq\theta\leq\pi$に関しては図1のものと同様の式で表すことができる。

そして、図3の波形は偶関数であり、フーリエ級数の係数$b_n=0$,$a_0$および$a_n$は$(4)$式にて計算できる。

 

まず、係数$a_0$は、$(4)$式で$n=0$として、

$$\begin{align*}
a_0&=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}v\left(\theta\right)\mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}V_\mathrm{m}\sin\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\left[-\cos\theta\right]^{\pi}_{0}\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\left(-\cos\pi+\cos 0\right)\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot2\\\\
&=\frac{4V_\mathrm{m}}{\pi}
\end{align*}$$

 

次に、係数$a_n$は、$(4)$式および積和の公式を用いて、

$$\begin{align*}
a_n&=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}v\left(\theta\right)\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}V_\mathrm{m}\sin\theta\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\int^{\pi}_{0}\left\{\sin\left(n+1\right)\theta-\sin\left(n-1\right)\theta \right\}\mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\left[-\frac{1}{n+1}\cos\left(n+1\right)\theta+\frac{1}{n-1}\cos\left(n-1\right)\theta\right]^{\pi}_{0}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\left[-\frac{1}{n+1}\left\{\cos\left(n+1\right)\pi-1\right\}+\frac{1}{n-1}\left\{\cos\left(n-1\right)\pi-1\right\}\right]\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\left[-\frac{1}{n+1}\left\{\left(-1\right)^{n+1}-1\right\}+\frac{1}{n-1}\left\{\left(-1\right)^{n-1}-1\right\}\right]\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{2}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\left\{\left(-1\right)^{n-1}-1\right\}\\\\
&=-\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{\left(-1\right)^{n}+1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)} ・・・(9)
\end{align*}$$

 

ここで、$n$が奇数のときは$\left(-1\right)^{n}+1=-1+1=0$,$n$が偶数のときは$\left(-1\right)^{n}+1=1+1=2$となることから、$(9)$式で$n=2k\left(k=1,2,3,\cdots\right)$とすると、

$$a_{2k}=-\frac{4V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{\left(2k-1\right)\left(2k+1\right)} ・・・(10)$$

 

以上より、図3の全波整流波$v\left(\theta\right)$のフーリエ級数展開は、$(10)$式で$k\rightarrow n\left(n=1,2,3,\cdots\right)$と置き換え、

$$\begin{align*}
v\left(\theta\right)&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}-\frac{4V_\mathrm{m}}{\pi}\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\cos2n\theta\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}-\frac{4V_\mathrm{m}}{\pi}\left(\frac{1}{1\cdot3}\cos 2\theta+\frac{1}{3\cdot5}\cos4\theta+\frac{1}{5\cdot7}\cos6\theta+\cdots\right) ・・・(11)
\end{align*}$$

 

なお、$(11)$式で$n=3$までの級数とした場合の波形(赤)は、図4のようになる。

 

図4 全波整流波のフーリエ級数($n=3$)

 

 

フーリエ級数展開の計算(方形波系)

方形波(2レベル)

図5に周期$2\pi$,波高値$V_\mathrm{m}$の方形波(矩形波)を示す。

後述する図7の方形波と区別するため、こちらは「2レベル」($V_\mathrm{m},\ -V_\mathrm{m}$の2種類の値をとる)と呼称する。

 

図5 方形波(2レベル)

 

図5の波形の位相$\theta$に対する瞬時値$v\left(\theta\right)$は、$0\leq\theta\leq 2\pi$の範囲内において、次の式で表すことができる。

$$v\left(\theta\right)=\begin{cases}
V_\mathrm{m}&\left(0\leq\theta<\pi\right)\\\\
-V_\mathrm{m}&\left(\pi\leq\theta\leq 2\pi\right)
\end{cases}$$

 

そして、図5の波形は奇関数であり、フーリエ級数の係数$a_0=0,\ a_n=0$,および$b_n$は$(5)$式にて計算できる。

$$\begin{align*}
b_n&=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}v\left(\theta\right)\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}V_\mathrm{m}\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\left[-\frac{1}{n}\cos n\theta\right]^{\pi}_{0}\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{n\pi}\left(\cos 0-\cos n\pi\right)\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{n\pi}\left\{1-\left(-1\right)^n\right\} ・・・(12)
\end{align*}$$

 

ここで、$n$が偶数のときは$1-\left(-1\right)^n=1-1=0$,$n$が偶数のときは$1-\left(-1\right)^n=1-\left(-1\right)=2$となることから、$(12)$式で$n=2k-1\left(k=1,2,3,\cdots\right)$とすると、

$$a_{2k-1}=\frac{4V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{2k-1} ・・・(13)$$

 

以上より、図5の方形波(2レベル)$v\left(\theta\right)$のフーリエ級数展開は、$(13)$式で$k\rightarrow n\left(n=1,2,3,\cdots\right)$と置き換え、

$$\begin{align*}
v\left(\theta\right)&=\frac{4V_\mathrm{m}}{\pi}\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n-1}\sin\left(2n-1\right)\theta\\\\
&=\frac{4V_\mathrm{m}}{\pi}\left(\sin\theta+\frac{1}{3}\sin 3\theta+\frac{1}{5}\sin 5\theta+\cdots\right) ・・・(14)
\end{align*}$$

 

なお、$(14)$式で$n=3$までの級数とした場合の波形(赤)は、図6のようになる。

 

図6 方形波(2レベル)のフーリエ級数($n=3$)

 

方形波(3レベル)

図7に周期$2\pi$,波高値$V_\mathrm{m}$の方形波(矩形波)を示す。

こちらは図5の方形波と区別するため、「3レベル」($V_\mathrm{m},\ 0\ -V_\mathrm{m}$の3種類の値をとる)と呼称する。

 

図7 方形波(3レベル)

 

図7の波形の位相$\theta$に対する瞬時値$v\left(\theta\right)$は、$0\leq\theta\leq 2\pi$の範囲内において、次の式で表すことができる。

$$v\left(\theta\right)=\begin{cases}
V_\mathrm{m}&\left(0\leq\theta<\displaystyle{\frac{2}{3}\pi}\right)\\\\
0&\left(\displaystyle{\frac{2}{3}\pi}\leq\theta<\pi,\ \displaystyle{\frac{5}{3}\pi}\leq\theta\leq2\pi\right)\\\\
-V_\mathrm{m}&\left(\pi\leq\theta<\displaystyle{\frac{5}{3}\pi}\right)
\end{cases}$$

 

図7の$v\left(\theta\right)$のフーリエ級数を求める。

係数$a_n,\ b_n$は、$(2)$および$(3)$式より、和積の公式も用いて、

$$\begin{align*}
a_n&=\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}v\left(\theta\right)\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{1}{\pi}\left\{\int^{\frac{2}{3}\pi}_{0}V_\mathrm{m}\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta+\int^{\frac{5}{3}\pi}_{\pi}\left(-V_\mathrm{m}\right)\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta\right\}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\left\{\left[\frac{1}{n}\sin n\theta\right]^{\frac{2}{3}\pi}_{0}-\left[\frac{1}{n}\sin n\theta\right]^{\frac{5}{3}\pi}_{\pi}\right\}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{n}\left(\sin\frac{2n\pi}{3}-\sin\frac{5n\pi}{3}\right)\\\\
&=-\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{n}\cos\frac{7n\pi}{6}\sin\frac{n\pi}{2} ・・・(15)
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
b_n&=\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}v\left(\theta\right)\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{1}{\pi}\left\{\int^{\frac{2}{3}\pi}_{0}V_\mathrm{m}\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta+\int^{\frac{5}{3}\pi}_{\pi}\left(-V_\mathrm{m}\right)\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta\right\}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\left\{\left[-\frac{1}{n}\cos n\theta\right]^{\frac{2}{3}\pi}_{0}-\left[-\frac{1}{n}\cos n\theta\right]^{\frac{5}{3}\pi}_{\pi}\right\}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{n}\left(-\cos\frac{2n\pi}{3}+\cos 0+\cos\frac{5n\pi}{3}-\cos n\pi\right)\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{n}\left(2\sin^2\frac{n\pi}{3}-2\sin\frac{4n\pi}{3}\sin\frac{n\pi}{3}\right)\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{3}\left(\sin\frac{n\pi}{3}-\sin\frac{4n\pi}{3}\right)\\\\
&=-\frac{4V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{3}\cos\frac{5n\pi}{6}\sin\frac{n\pi}{2} ・・・(16)
\end{align*}$$

 

ここで、$n$が偶数のとき、$\sin\displaystyle{\frac{n\pi}{2}}=0$であることから、$(15)$および$(16)$式より$a_n=0,\ b_n=0$となる。

また、$n$が3の倍数のとき、$\cos\displaystyle{\frac{7n\pi}{6}}=0,\ \sin\displaystyle{\frac{n\pi}{3}}=0$であることから、こちらも$(15)$および$(16)$式より$a_n=0,\ b_n=0$となる。

 

よって、$n$が偶数でも3の倍数でもない整数、すなわち$n=6k+1,\ 6k+5\left(k=0,1,2\cdots\right)$のときの係数を計算すると、

$$\begin{align*}
a_n&=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\sqrt{3}V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{n}}&\left(n=6k+1\right)\\\\
\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{n}}&\left(n=6k+5\right)
\end{cases}\\\\
b_n&=\frac{3V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{n}
\end{align*} ・・・(17)$$

 

以上より、図7の方形波(3レベル)$v\left(\theta\right)$のフーリエ級数展開は、$(17)$式で表される係数$a_n,\ b_n$を用いて、

$$\begin{align*}
v\left(\theta\right)&=\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\cos n\theta+\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n\sin n\theta\\\\
&=\frac{\sqrt{3}V_\mathrm{m}}{\pi}\left(\cos\theta-\frac{1}{5}\cos 5\theta+\frac{1}{7}\cos 7\theta-\cdots\right)+\frac{3V_\mathrm{m}}{\pi}\left(\sin\theta+\frac{1}{5}\sin 5\theta+\frac{1}{7}\sin 7\theta+\cdots\right) ・・・(18)
\end{align*}$$

 

なお、$(18)$式で$n=3$までの級数とした場合の波形(赤)は、図8のようになる。

 

図8 方形波(3レベル)のフーリエ級数($n=3$)

 

パルス波

図9に周期$2\pi$,波高値$V_\mathrm{m}$のパルス波を示す。

(同図の波形は通流率$0.5$の直流波形であると考えることもできる)

 

図9 パルス波

 

図9の波形の位相$\theta$に対する瞬時値$v\left(\theta\right)$は、$0\leq\theta\leq 2\pi$の範囲内において、次の式で表すことができる。

$$v\left(\theta\right)=\begin{cases}
V_\mathrm{m}&\left(0\leq\theta<\pi\right)\\\\
0&\left(\pi\leq\theta\leq 2\pi\right)
\end{cases}$$

 

図9の$v\left(\theta\right)$のフーリエ級数を求める。

まず、係数$a_0$は、$(2)$式で$n=0$として、

$$\begin{align*}
a_0&=\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}v\left(\theta\right)\mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}V_\mathrm{m}\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\left[t\right]^{\pi}_{0}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\pi\\\\
&=V_\mathrm{m}
\end{align*}$$

 

次に、係数$a_n$は、$(2)$式より、

$$\begin{align*}
a_n&=\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}v\left(\theta\right)\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}V_\mathrm{m}\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\left[\frac{1}{n}\sin n\theta\right]^{\pi}_{0}\\\\
&=0
\end{align*}$$

 

また、係数$b_n$は、$(3)$式より、

$$\begin{align*}
a_n&=\frac{1}{\pi}\int^{2\pi}_{0}v\left(\theta\right)\sin n\theta\mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{1}{\pi}\int^{\pi}_{0}V_\mathrm{m}\sin n\theta \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\left[-\frac{1}{n}\cos n\theta\right]^{\pi}_{0}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{n}\left(-\cos n\pi+\cos 0\right)\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{n}\left\{1-\left(-1\right)^n\right\} ・・・(19)
\end{align*}$$

 

ここで、$n$が偶数のときは$1-\left(-1\right)^n=1-1=0$,$n$が偶数のときは$1-\left(-1\right)^n=1-\left(-1\right)=2$となることから、$(19)$式で$n=2k-1\left(k=1,2,3,\cdots\right)$とすると、

$$a_{2k-1}=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{1}{2k-1} ・・・(20)$$

 

以上より、図9のパルス波のフーリエ級数展開は、$(20)$式で$k\rightarrow n\left(n=1,2,3,\cdots\right)$と置き換え、

$$\begin{align*}
v\left(\theta\right)&=\frac{V_\mathrm{m}}{2}+\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n-1}\sin\left(2n-1\right)\theta\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2}+\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\left(\sin\theta+\frac{1}{3}\sin 3\theta+\frac{1}{5}\sin 5\theta+\cdots\right) ・・・(21)
\end{align*}$$

 

なお、$(21)$式で$n=3$までの級数とした場合の波形(赤)は、図10のようになる。

 

図10 パルス波のフーリエ級数($n=3$)

 

フーリエ級数展開の計算(三角波系)

のこぎり波

図11に周期$2\pi$,波高値$V_\mathrm{m}$ののこぎり波を示す。

 

図11 のこぎり波

 

図11の波形の位相$\theta$に対する瞬時値$v\left(\theta\right)$は、$0\leq\theta\leq 2\pi$の範囲内において、次の式で表すことができる。

$$v\left(\theta\right)=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}}\theta&\left(0\leq\theta<\pi\right)\\\\
\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}\left(\theta-2\pi\right)}{\pi}}&\left(\pi\leq\theta\leq 2\pi\right)
\end{cases}$$

 

そして、図11の波形は奇関数であり、フーリエ級数の係数$a_0=0,\ a_n=0$,および$b_n$は$(5)$式にて計算できる。

$$\begin{align*}
b_n&=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}v\left(\theta\right)\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\theta\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi^2}\left(\left[-\frac{\theta}{n}\cos n\theta\right]^{\pi}_{0}+\frac{1}{n}\int^{\pi}_{0}\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta\right)\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi^2}\left(-\frac{\pi}{n}\cdot\left(-1\right)^n+\frac{1}{n}\left[\frac{1}{n}\sin n\theta\right]^{\pi}_{0}\right)\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n}
\end{align*}$$

 

以上より、図11ののこぎり波のフーリエ級数展開は、

$$\begin{align*}
v\left(\theta\right)&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{n}\sin n\theta\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\left(\sin\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta+\frac{1}{3}\sin 3\theta-\cdots\right) ・・・(22)
\end{align*}$$

 

なお、$(22)$式で$n=3$までの級数とした場合の波形(赤)は、図12のようになる。

 

図12 のこぎり波のフーリエ級数($n=3$)

 

三角波

図13に周期$T$,波高値$V_\mathrm{m}$の三角波を示す。

 

図13 三角波

 

図13の波形の位相$\theta$に対する瞬時値$v\left(\theta\right)$は、$0\leq\theta\leq 2\pi$の範囲内において、次の式で表すことができる。

$$v\left(\theta\right)=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}}\theta&\left(0\leq \theta<\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\right)\\\\
\displaystyle{-\frac{2V_\mathrm{m}\left(\theta-\pi\right)}{\pi}}&\left(\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\leq\theta<\displaystyle{\frac{3}{2}\pi}\right)\\\\
\displaystyle{\frac{2V_\mathrm{m}\left(\theta-2\pi\right)}{\pi}}&\left(\displaystyle{\frac{3}{2}\pi}\leq\theta\leq2\pi\right)
\end{cases}$$

 

そして、図13の波形は奇関数であり、フーリエ級数の係数$a_0=0,\ a_n=0$,および$b_n$は$(5)$式にて計算できる。

$$\begin{align*}
b_n&=\frac{2}{\pi}\int^{\pi}_{0}v\left(\theta\right)\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta\\\\
&=\frac{2}{\pi}\left\{\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\theta\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta+\int^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\frac{2V_\mathrm{m}\left(\pi-\theta\right)}{\pi}\sin n\theta\ \mathrm{d}\theta\right\}\\\\
&=\left(\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\right)^2\left(\left[-\frac{\theta}{n}\cos n\theta\right]^{\frac{\pi}{2}}_{0}+\frac{1}{n}\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta+\left[-\frac{\pi-\theta}{n}\cos n\theta\right]^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{n}\int^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\cos n\theta\ \mathrm{d}\theta\right)\\\\
&=\left(\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\right)^2\left(-\frac{\pi}{2n}\cos\frac{n\pi}{2}+\frac{\pi}{2n}\cos\frac{n\pi}{2}+\frac{1}{n}\left[\frac{1}{n}\sin n\theta\right]^{\frac{\pi}{2}}_{0}-\frac{1}{n}\left[\frac{1}{n}\sin n\theta\right]^{\pi}_{\frac{\pi}{2}}\right)\\\\
&=\left(\frac{2V_\mathrm{m}}{\pi}\right)^2\cdot\frac{1}{n^2}\cdot2\sin\frac{n\pi}{2}\\\\
&=\frac{8V_\mathrm{m}}{\pi^2}\cdot\frac{1}{n^2}\sin\frac{n\pi}{2} ・・・(23)
\end{align*}$$

 

ここで、$n$が偶数のときは$\displaystyle{\sin\frac{n\pi}{2}}=0$,$n$が奇数のときは$\displaystyle{\sin\frac{n\pi}{2}}=\left(-1\right)^{\frac{n-1}{2}}$となることから、$(23)$式で$n=2k-1\left(k=1,2,3,\cdots\right)$と置き換えると、

$$a_{2k-1}=\frac{8V_\mathrm{m}}{\pi^2}\cdot\frac{\left(-1\right)^{k-1}}{\left(2k-1\right)^2} ・・・(24)$$

 

以上より、図13ののこぎり波のフーリエ級数展開は、$(24)$式で$k\rightarrow n\left(n=1,2,3,\cdots\right)$と置き換え、

$$\begin{align*}
v\left(\theta\right)&=\frac{8V_\mathrm{m}}{\pi^2}\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\left(2n-1\right)^2}\sin\left(2n-1\right)\theta\\\\
&=\frac{8V_\mathrm{m}}{\pi^2}\left(\sin\theta-\frac{1}{3^2}\sin 3\theta+\frac{1}{5^2}\sin 5\theta-\cdots\right) ・・・(25)
\end{align*}$$

 

なお、$(25)$式で$n=3$までの級数とした場合の波形(赤)は、図14のようになる。

 

図14 三角波のフーリエ級数($n=3$)

 

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