本記事では、抵抗・リアクトル・コンデンサによる$RLC$直列共振回路について解説する。
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直列共振回路の概要
回路の固有振動
図1のような抵抗$R$，リアクトル$L$，コンデンサ$C$が直列に接続された回路を考える。
図1 $RLC$直列回路
コンデンサが十分充電された状態でスイッチ$\mathrm{S}$を閉じたときの回路方程式は、「RLC直列回路の過渡現象（直流回路）」の記事の$(1)$式と同様に解くことができ、回路に流れる電流$i$は、ある周波数で振動する波形になる。
図1の抵抗$R$の値が十分小さいとすると、この振動の周波数$\omega_0$は（同記事の$i$の式における$\omega_0$に等しく）、
$$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}} ・・・(1)$$
この振動現象は図1の回路の固有振動といい、$(1)$式は回路の固有振動数に等しい。
この固有振動数と、外部からの力で強制的に振動させたときの振動数が一致すると、その振幅は非常に大きくなる（共振現象）。
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RLC直列回路の共振
図1の回路に、実効値$E$，角周波数$\omega$の正弦波交流電源$\dot{E}$を接続したものを図2に示す。
なお、本記事では特に断りのない限り、$\dot{E}$を位相の基準とする。
図2 $RLC$直列回路（交流電源接続）
図2の回路のインピーダンス$\dot{Z}$は、
$$\dot{Z}=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right) ・・・(2)$$
また、回路に流れる電流$\dot{I}$は、
$$\dot{I}=\frac{\dot{E}}{\dot{Z}}=\frac{\dot{E}}{R+j\left(\omega L-\displaystyle{\frac{1}{\omega C}}\right)} ・・・(3)$$
ここで、$\omega=\omega_0$となるときの$\dot{Z}$は、$(2)$式に$(1)$式を代入して、
$$\begin{align*}
\dot{Z}|_{\omega=\omega_0}&=R+j\left(\omega_0 L-\frac{1}{\omega_0 C}\right)\\\\
&=R+j\left(\sqrt{\frac{L}{C}}-\sqrt{\frac{L}{C}}\right)\\\\
&=R ・・・(4)
\end{align*}$$
また、このときの電流$\dot{I}$，および抵抗・リアクトル・コンデンサの端子電圧$\dot{V}_\mathrm{R},\ \dot{V}_\mathrm{L},\ \dot{V}_\mathrm{C}$は、$(3),\ (4)$式より、
$$\begin{align*}
\dot{I}|_{\omega=\omega_0}&=\frac{\dot{E}}{R} ・・・(5)\\\\
\dot{V}_\mathrm{R}|_{\omega=\omega_0}&=R\dot{I}=\dot{E} ・・・(6)\\\\
\dot{V}_\mathrm{L}|_{\omega=\omega_0}&=j\omega_0 L\dot{I}=j\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\dot{E} ・・・(7)\\\\
\dot{V}_\mathrm{C}|_{\omega=\omega_0}&=\frac{\dot{I}}{j\omega_0 C}=-j\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\dot{E} ・・・(8)
\end{align*}$$
$(5)$式より、$\omega=\omega_0$のとき（$(3)$式の分母の虚部が0になり）、電流$\dot{I}$は最大値をとる。
特に、抵抗$R$の値が小さい場合は、$\dot{I}$は非常に大きな値となる。
これが直列共振現象（series resonance）である。
また$(6)\sim(8)$式より、$\omega=\omega_0$で$\dot{V}_\mathrm{L}=-\dot{V}_\mathrm{C}\rightarrow\dot{V}_\mathrm{L}+\dot{V}_\mathrm{C}=0$，すなわち$\dot{V}_\mathrm{L}$と$\dot{V}_\mathrm{C}$は互いに大きさが等しく、位相差が$\pi$であるため、回路内で打ち消し合う。
そして、$\dot{V}_\mathrm{R}$は電源電圧$\dot{E}$に等しくなる。
以上のことをベクトル図で示すと、図3のようになる。
図3 直列共振時における各端子電圧のベクトル図
なお、$(7)$または$(8)$式を変形すると、
$$\left|\dot{V}_\mathrm{L}\right|_{\omega=\omega_0}=\left|\dot{V}_\mathrm{C}\right|_{\omega=\omega_0}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\left|\dot{E}\right|\equiv Q\left|\dot{E}\right| ・・・(9)$$
なお、$(9)$式で、
$$Q\equiv\displaystyle{\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}=\displaystyle{\frac{\omega_0 L}{R}}=\displaystyle{\frac{1}{\omega_0 CR}} ・・・(10)$$
は振動の状態を表す指標で「$\mathrm{Q}$値」という。
直列共振回路の共振曲線
RLC直列回路のインピーダンス
前節で$\omega=\omega_0$のとき、電流$\dot{I}$は最大値をとることがわかった。
次に、$\omega$に対する$\dot{I}$の変化の度合いを考える。
$(2)$式で表される図2の回路のインピーダンス$\dot{Z}$について、$(1)$式の$\omega_0$および$(10)$式の$Q$を用いて変形すると、
$$\begin{align*}
\dot{Z}&=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)\\\\
&=\frac{\omega_0 L}{Q}+j\left(\omega\cdot\frac{\omega_0}{\omega_0}\cdot L-\frac{1}{\omega}\cdot\frac{\omega_0}{\omega_0}\cdot\frac{1}{C}\right)\\\\
&=\frac{\omega_0 L}{Q}+j\left(\frac{\omega}{\omega_0}\cdot\omega_0 L-\frac{\omega_0}{\omega}\cdot\frac{1}{\omega_0C}\right)\\\\
&=\frac{\omega_0 L}{Q}+j\left(\frac{\omega}{\omega_0}\cdot\omega_0 L-\frac{\omega_0}{\omega}\cdot\omega_0 L\right)\\\\
&=\omega_0 L\left\{\frac{1}{Q}+j\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)\right\} ・・・(11)
\end{align*}$$
ここで、$\omega=\omega_0\pm\Delta\omega$（ただし、$\Delta\omega\ll\omega_0$）であるとすると、
$$\begin{align*}
\frac{\omega}{\omega_0}&=1\pm\frac{\Delta\omega}{\omega_0} ・・・(12)\\\\
\frac{\omega_0}{\omega}&=\frac{1}{1\pm\displaystyle{\frac{\Delta\omega}{\omega_0}}}\\\\
&=\left(1\pm\displaystyle{\frac{\Delta\omega}{\omega_0}}\right)^{-1}\\\\
&\fallingdotseq 1\mp\frac{\Delta\omega}{\omega_0} ・・・(13)
\end{align*}$$
（ただし、$(12)$および$(13)$式は互いに複号同順）
$(12)$および$(13)$式を$(11)$式に代入すると、
$$\begin{align*}
\dot{Z}&=\omega_0 L\left\{\frac{1}{Q}+j\left(\frac{\omega}{\omega_0}-\frac{\omega_0}{\omega}\right)\right\}\\\\
&\fallingdotseq\omega_0 L\left(\frac{1}{Q}\pm j2\frac{\Delta\omega}{\omega_0}\right) ・・・(14)
\end{align*}$$
となり、インピーダンス$\dot{Z}$は$\mathrm{Q}$値、$\omega$および$\omega_0$を用いて表される。
共振曲線と位相特性
ここで、$\omega_1\equiv\omega_0-\Delta\omega,\ \omega_2\equiv\omega_0+\Delta\omega$とすると、$(14)$式で（実部）=（虚部）となるとき、
$$\begin{align*}
\frac{1}{Q}&=2\frac{\Delta\omega}{\omega_0}=\frac{\omega_2-\omega_1}{\omega_0}\\\\
\rightarrow Q&=\frac{\omega_0}{\omega_2-\omega_1} ・・・(15)
\end{align*}$$
また、$\dot{Z}$の実部と虚部が等しく、$(15)$式が成り立つときの電流の大きさ（実効値）$I=\left|\dot{I}\right|$は、$(3)$式より、
$$\begin{align*}
\left.I\right|_{\omega=\omega_1,\omega_2}&=\left.\frac{E}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\displaystyle{\frac{1}{\omega C}}\right)^2}}\right|_{\omega=\omega_1,\omega_2}\\\\
&=\frac{E}{\sqrt{R^2+R^2}}\\\\
&=\frac{E}{\sqrt{2}R}
\end{align*}$$
すなわち、$\omega_1,\ \omega_2$は、電流の大きさが$(5)$式で表される最大値の$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}$になるときの周波数であるといえる。
さらに、同様の条件における電流の位相角$\theta$は、$(3)$式より、
$$\begin{align*}
\left.\theta\right|_{\omega=\omega_1,\omega_2}&=\left.-\tan^{-1}\frac{\omega L-\displaystyle{\frac{1}{\omega C}}}{R}\right|_{\omega=\omega_1,\omega_2}\\\\
&=-\tan^{-1}\frac{\mp R}{R}\\\\
&=\pm\frac{\pi}{4}\mathrm{(複号同順)}
\end{align*}$$
以上より、図2の回路の共振曲線および電流の位相特性は、図4および図5のようになる。
図4 $RLC$直列共振回路の共振曲線
図5 $RLC$直列共振回路の位相特性
図4の共振曲線より、$\omega=\omega_0$の共振状態で電流は非常に大きな値をとる。
また、$(15)$式で表される$\mathrm{Q}$値は$\omega_1<\omega<\omega_2$の区間における尖鋭度を表す。
尖鋭度$Q$が大きいほど、短い区間で急激に値が上昇することになるため、図4の共振曲線の尖り方は鋭くなる。
さらに、図5より、電流$\dot{I}$の位相角$\theta$は低周波領域では$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$進み（インピーダンスが誘導性）、$\omega=\omega_0$で同相となった後、高周波領域で$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$遅れ（インピーダンスが容量性）となることがわかる。
直列共振時のエネルギーとQ値の関係
最後に、図2の回路の直列共振時のエネルギーと、$\mathrm{Q}$値との関係を考える。
電流の最大値を$I_\mathrm{m}$とすると、実効値$I$との関係$I_\mathrm{m}=\sqrt{2}I$を考慮して、$(10)$式を変形すると、
$$\begin{align*}
Q&=\frac{\omega_0 L}{R}=\frac{\omega_0 L}{R}\cdot\frac{I^2}{I^2}\\\\
&=\frac{\omega_0 LI^2}{RI^2}\\\\
&=\frac{2\pi}{T_0}\cdot\frac{L\left(\displaystyle{\frac{I_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}}\right)^2}{RI^2}\\\\
&=2\pi\frac{\displaystyle{\frac{1}{2}}LI^2_\mathrm{m}}{RI^2\times T_0} ・・・(16)
\end{align*}$$
$(16)$式の分子は共振時における回路の蓄積エネルギー、分母は共振時における1周期$T_0$中の消費エネルギーを表している。
すなわち、$\mathrm{Q}$値は次のように表すことができる。
$$Q=2\pi\frac{\mathrm{共振時における回路の蓄積エネルギー}}{\mathrm{共振時における1周期中の消費エネルギー}}$$
電流の瞬時値を$i=I_\mathrm{m}\sin\left(\omega_0 t+\phi\right)$とすると、図2の回路の共振時における蓄積エネルギーは、次のように計算できる。
$$\begin{align*}
\frac{1}{2}Li^2+\frac{1}{2}C\left(\frac{1}{C}\int i\mathrm{d}t\right)^2&=\frac{1}{2}LI^2_\mathrm{m}\sin^2\left(\omega_0 t+\phi\right)+\frac{1}{2C}\cdot\frac{I^2_\mathrm{m}}{\omega^2_0}\cos^2\left(\omega_0 t+\phi\right)\\\\
&=\frac{1}{2}LI^2_\mathrm{m}
\end{align*}$$
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参考文献
- 電気学会『電気工学ハンドブック 第7版』オーム社，2013
- 榊、大野、尾崎『大学課程 電気回路（1）（第3版）』オーム社，1999
- 小澤孝夫『電気回路Ⅰ[基礎・交流編]』昭晃堂，1978
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