本記事では、三角関数の公式のうち、「積和の公式」「和積の公式」とその証明について記述する。
積和の公式
積和の公式一覧
三角関数の「積」の形から「和」の形に変換する式を通称「積和の公式」という。
「積和の公式」は、下記の通り。
$$\begin{align*}
\sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\}\\\\
\cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\}\\\\
\cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\}\\\\
\sin\alpha\sin\beta&=-\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\}
\end{align*}$$
sin 〇 cos △の式
$$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\}$$
証明
加法定理より、
$$\begin{cases}
\sin\left(\alpha+\beta\right)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta &・・・(1)\\\\
\sin\left(\alpha-\beta\right)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta &・・・(2)
\end{cases}$$
$(1)+(2)$式として、
$$\begin{align*}
\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)&=2\sin\alpha\cos\beta\\\\
\therefore \sin\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)+\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\} ・・・(3)
\end{align*}$$
cos 〇 sin △の式
$$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\}$$
証明
前項の加法定理の式で、$(1)-(2)$式として、
$$\begin{align*}
\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)&=2\cos\alpha\sin\beta\\\\
\therefore \cos\alpha\sin\beta&=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\alpha+\beta\right)-\sin\left(\alpha-\beta\right)\right\} ・・・(4)
\end{align*}$$
cos 〇 cos △の式
$$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\}$$
証明
加法定理より、
$$\begin{cases}
\cos\left(\alpha+\beta\right)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta &・・・(5)\\\\
\cos\left(\alpha-\beta\right)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta &・・・(6)
\end{cases}$$
$(5)+(6)$式として、
$$\begin{align*}
\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)&=2\cos\alpha\cos\beta\\\\
\therefore \cos\alpha\cos\beta&=\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)+\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\} ・・・(7)
\end{align*}$$
sin 〇 sin △の式
$$\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\}$$
証明
前項の加法定理の式で、$(3)-(4)$式として、
$$\begin{align*}
\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)&=-2\sin\alpha\sin\beta\\\\
\therefore \sin\alpha\sin\beta&=-\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\alpha+\beta\right)-\cos\left(\alpha-\beta\right)\right\} ・・・(8)
\end{align*}$$
和積の公式
和積の公式一覧
三角関数の「和」の形から「積」の形に変換する式を通称「和積の公式」という。
「和積の公式」は、下記の通り。
$$\begin{align*}
\sin\mathrm{A}+\sin\mathrm{B}&=2\sin{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\cos{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}\\\\
\sin\mathrm{A}-\sin\mathrm{B}&=2\cos{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\sin{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}\\\\
\cos\mathrm{A}+\cos\mathrm{B}&=2\cos{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\cos{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}\\\\
\cos\mathrm{A}-\cos\mathrm{B}&=-2\sin{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\sin{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}
\end{align*}$$
sin 〇 + sin △の式
$$\sin\mathrm{A}+\sin\mathrm{B}=2\sin{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\cos{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}$$
活用例
- パーク変換法の導入 ～d－q－0成分への変換～（逆行列$\boldsymbol{D^{-1}}(t)$の導出。その他の公式も用いる）
- 単相多重インバータ（直列単相二重インバータ）（出力電圧の式の導出）
証明
$$\begin{cases}
\alpha+\beta&=\mathrm{A} &・・・(9)\\\\
\alpha-\beta&=\mathrm{B} &・・・(10)
\end{cases}$$
と置くと、$(9)+(10)$式として、
$$\begin{align*}
2\alpha&=\mathrm{A}+\mathrm{B}\\\\
\therefore\alpha&=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2} ・・・(11)
\end{align*}$$
また、$(9)-(10)$式として、
$$\begin{align*}
2\beta&=\mathrm{A}-\mathrm{B}\\\\
\therefore\beta&=\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2} ・・・(12)
\end{align*}$$
$(11),\ (12)$式を$(3)$式に代入して、
$$\begin{align*}
\frac{1}{2}\left(\sin\mathrm{A}+\sin\mathrm{B}\right)&=\sin\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}\\\\
\therefore\sin\mathrm{A}+\sin\mathrm{B}&=2\sin\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}
\end{align*}$$
sin 〇 – sin △の式
$$\sin\mathrm{A}-\sin\mathrm{B}=2\cos{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\sin{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}$$
活用例
- 三相全波整流回路（三相ブリッジ整流回路）（線間電圧$v_{12}$の式の導出、サイリスタブリッジ整流回路の直流平均電圧の導出）
証明
$(11),\ (12)$式を$(4)$式に代入して、
$$\begin{align*}
\frac{1}{2}\left(\sin\mathrm{A}-\sin\mathrm{B}\right)&=\cos\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}\\\\
\therefore\sin\mathrm{A}-\sin\mathrm{B}&=2\cos\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}
\end{align*}$$
cos 〇 + cos △の式
$$\cos\mathrm{A}+\cos\mathrm{B}=2\cos\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}$$
活用例
- 変圧器のV結線（変圧器バンクの出力の式の導出）
証明
$(11),\ (12)$式を$(7)$式に代入して、
$$\begin{align*}
\frac{1}{2}\left(\cos\mathrm{A}+\cos\mathrm{B}\right)&=\cos\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}\\\\
\therefore\cos\mathrm{A}+\cos\mathrm{B}&=2\cos\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\cos\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}
\end{align*}$$
cos 〇 – cos △の式
$$\cos\mathrm{A}-\cos\mathrm{B}=-2\sin{\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}}\sin{\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}}$$
活用例
- 三相半波整流回路（サイリスタ三相半波整流回路の直流平均電圧の導出）
- 転流の重なり現象（同上）
- 三相電圧形インバータ（2レベルインバータ）（出力線間電圧$v_\mathrm{uv}$，負荷相電圧$v_\mathrm{uM}$のフーリエ級数展開。その他の公式も用いる）
証明
$(11),\ (12)$式を$(8)$式に代入して、
$$\begin{align*}
-\frac{1}{2}\left(\cos\mathrm{A}-\cos\mathrm{B}\right)&=\sin\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}\\\\
\therefore\cos\mathrm{A}-\cos\mathrm{B}&=-2\sin\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\sin\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}
\end{align*}$$
参考文献
- 電気学会『電気工学ハンドブック 第7版』オーム社，2013
- 積和公式の導出と覚え方｜高校数学の美しい物語
本記事では、三角関数の公式のうち「負角の公式」「余角の公式」「補角の公式」「周期性の公式」といった還元公式とその証明について記述する。負角の公式（-θの公式）角度に負の符号がつき、$-\theta$となるときの三角関数の変換[…]
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