本記事では、三角関数の公式のうち「負角の公式」「余角の公式」「補角の公式」「周期性の公式」といった還元公式とその証明について記述する。
負角の公式（-θの公式）
角度に負の符号がつき、$-\theta$となるときの三角関数の変換公式を通称「負角の公式」という。
公式一覧
「負角の公式」は、下記の通り。
$$\begin{align*}
\sin\left(-\theta\right)&=-\sin\theta\\\\
\cos\left(-\theta\right)&=\cos\theta\\\\
\tan\left(-\theta\right)&=-\tan\theta
\end{align*}$$
証明
加法定理より、
$$\begin{cases}
\sin\left(\alpha+\beta\right)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta &・・・(1)\\\\
\sin\left(\alpha-\beta\right)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta &・・・(2)\\\\
\cos\left(\alpha+\beta\right)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta &・・・(3)\\\\
\cos\left(\alpha-\beta\right)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta &・・・(4)
\end{cases}$$
$(2)$式で$\alpha=0,\ \beta=-\theta$とすると、
$$\begin{align*}
\sin\left(0-\theta\right)&=\sin0\cos\theta-\cos0\sin\theta\\\\
&=0\cdot\cos\theta-1\cdot\sin\theta\\\\
&=-\sin\theta
\end{align*}$$
また、$(4)$式で$\alpha=0,\ \beta=-\theta$とすると、
$$\begin{align*}
\cos\left(0-\theta\right)&=\cos0\cos\theta+\sin0\sin\theta\\\\
&=1\cdot\cos\theta+0\cdot\sin\theta\\\\
&=\cos\theta
\end{align*}$$
さらに、上の2式の結果を用いて、
$$\begin{align*}
\tan\left(-\theta\right)&=\frac{\sin\left(-\theta\right)}{\cos\left(-\theta\right)}\\\\
&=\frac{-\sin\theta}{\cos\theta}\\\\
&=-\tan\theta
\end{align*}$$
活用例
- 三相全波整流回路（三相ブリッジ整流回路）（サイリスタブリッジ整流回路（純抵抗負荷）の直流平均電圧の導出）
余角の公式（π/2±θの公式）
ある鋭角$\theta$に対し、足し合わせて$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$となるような角度をその角の余角という。
すなわち、角度$\theta$の余角は$\displaystyle{\frac{\pi}{2}-\theta}$となる。
この余角に対する三角関数の変換公式を通称「余角の公式」という。
公式一覧
今回は、角度$-\theta$に関する余角$\displaystyle{\frac{\pi}{2}-\left(-\theta\right)}=\displaystyle{\frac{\pi}{2}+\theta}$に関する式も加えると、「余角の公式」は、下記の通り。
$$\begin{align*}
\sin\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)&=\cos\theta\\\\
\cos\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)&=\mp\sin\theta\\\\
\tan\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)&=\mp\frac{1}{\tan\theta}\ \left(=\mp\cot\theta\right)
\end{align*}$$
証明
$(1)\sim(4)$式で$\alpha=\displaystyle{\frac{\pi}{2}},\ \beta=\theta$とすると、
$$\begin{align*}
\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)&=\sin\frac{\pi}{2}\cos\theta+\cos\frac{\pi}{2}\sin\theta\\\\
&=1\cdot\cos\theta+0\cdot\sin\theta\\\\
&=\cos\theta
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)&=\sin\frac{\pi}{2}\cos\theta-\cos\frac{\pi}{2}\sin\theta\\\\
&=1\cdot\cos\theta-0\cdot\sin\theta\\\\
&=\cos\theta
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)&=\cos\frac{\pi}{2}\cos\theta-\sin\frac{\pi}{2}\sin\theta\\\\
&=0\cdot\cos\theta-1\cdot\sin\theta\\\\
&=-\sin\theta
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)&=\cos\frac{\pi}{2}\cos\theta+\sin\frac{\pi}{2}\sin\theta\\\\
&=0\cdot\cos\theta+1\cdot\sin\theta\\\\
&=\sin\theta
\end{align*}$$
さらに、上で求めた結果を用いて、
$$\begin{align*}
\tan\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)&=\frac{\sin\left(\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\pm\theta\right)}{\cos\left(\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\pm\theta\right)}\\\\
&=\frac{\cos\theta}{\mp\sin\theta}\\\\
&=\mp\frac{1}{\tan\theta}
\end{align*}$$
活用例
- 変圧器の原理（誘導起電力の式の導出）
- 異容量V結線方式（遅れ接続における共用変圧器に流れる電流の式の導出）
- 三相半波整流回路（サイリスタ三相半波整流回路の直流平均電圧の導出）
- 転流の重なり現象（同上）
- 三相全波整流回路（三相ブリッジ整流回路）（サイリスタブリッジ整流回路の直流平均電圧の導出）
補角の公式（π±θの公式）
ある角$\theta$に対し、足し合わせて$\pi$となるような角度をその角の補角という。
すなわち、角度$\theta$の補角は$\pi-\theta$となる。
この補角に対する三角関数の変換公式を通称「補角の公式」という。
公式一覧
今回は、角度$-\theta$に関する余角$\pi-\left(-\theta\right)=\pi+\theta$に関する式も加えると、「補角の公式」は、下記の通り。
$$\begin{align*}
\sin\left(\pi\pm\theta\right)&=\mp\sin\theta\\\\
\cos\left(\pi\pm\theta\right)&=-\cos\theta\\\\
\tan\left(\pi\pm\theta\right)&=\pm\tan\theta
\end{align*}$$
証明
$(1)\sim(4)$式で$\alpha=\pi,\ \beta=\theta$とすると、
$$\begin{align*}
\sin\left(\pi+\theta\right)&=\sin\pi\cos\theta+\cos\pi\sin\theta\\\\
&=0\cdot\cos\theta+\left(-1\right)\cdot\sin\theta\\\\
&=-\sin\theta
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\sin\left(\pi-\theta\right)&=\sin\pi\cos\theta-\cos\pi\sin\theta\\\\
&=0\cdot\cos\theta-\left(-1\right)\cdot\sin\theta\\\\
&=\sin\theta
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\cos\left(\pi+\theta\right)&=\cos\pi\cos\theta-\sin\pi\sin\theta\\\\
&=\left(-1\right)\cdot\cos\theta-0\cdot\sin\theta\\\\
&=-\cos\theta
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\cos\left(\pi+\theta\right)&=\cos\pi\cos\theta+\sin\pi\sin\theta\\\\
&=\left(-1\right)\cdot\cos\theta+0\cdot\sin\theta\\\\
&=-\cos\theta
\end{align*}$$
さらに、上で求めた結果を用いて、
$$\begin{align*}
\tan\left(\pi\pm\theta\right)&=\frac{\sin\left(\pi\pm\theta\right)}{\cos\left(\pi\pm\theta\right)}\\\\
&=\frac{\mp\sin\theta}{-\cos\theta}\\\\
&=\pm\tan\theta
\end{align*}$$
活用例
- 異容量V結線方式（遅れ接続における共用変圧器に流れる電流の式の導出）
- 単相半波整流回路（サイリスタ整流回路（誘導性負荷）の直流平均電圧の導出）
- 単相全波整流回路（単相ブリッジ整流回路）（同上）
- 二相半波整流回路（同上）
周期性の公式（θ±2nπの公式）
三角関数は周期関数で、その周期は$\sin\theta,\ \cos\theta$の場合は$2\pi$，$\tan\theta$の場合は$\pi$となる。
$n$を整数とすると、三角関数においてある角$\theta$にその周期の$n$倍の角を足し合わせたものは、同じ値となる。
この三角関数の性質について、ここでは「周期性の公式」として記述する。
公式一覧
「周期性の公式」は、下記の通り。
$$\begin{align*}
\sin\left(\theta+2n\pi\right)&=\sin\theta\\\\
\cos\left(\theta+2n\pi\right)&=\cos\theta\\\\
\tan\left(\theta+n\pi\right)&=\tan\theta
\end{align*}$$
参考文献
- 電気学会『電気工学ハンドブック 第7版』オーム社，2013
- 90°+θ，180°+θなどの三角比の公式と覚え方｜高校数学の美しい物語
本記事では、三角関数の公式のうち、「積和の公式」「和積の公式」とその証明について記述する。積和の公式積和の公式一覧三角関数の「積」の形から「和」の形に変換する式を通称「積和の公式」という。「積和の公式」は、下記の[…]
著書・製品のご紹介
『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている！
※本ページはプロモーションが含まれています。―『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている― 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。[…]
この講座との出会いは、数学が苦手なあなたを救う！
電験アカデミアにテキストを書き下ろしてもらい、電験どうでしょうの川尻将先生により動画解説を行ない、電験3種受験予定者が電…
すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！
※本ページはプロモーションが含まれています。すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！ 当サイト「電気の神髄」をいつもご愛読ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 […]
初学者が躓きがちなギモンを、電験アカデミアがスッキリ解決します！
※本ページはプロモーションが含まれています。 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 2022年5月18日、オーム社より「電験カフェへようこそ[…]