本記事では、有効電力、無効電力および複素電力の定義式とその導出について解説する。
有効電力の定義式
電圧・電流の瞬時値の式
時間$t$で値が変化する交流波形で表される電圧および電流の瞬時値を$v(t)$および$i(t)$とすると、
$$\begin{cases}
v(t)&=V_\mathrm{m}\cos\omega t &・・・(1)\\\\
i(t)&=I_\mathrm{m}\cos(\omega t-\phi) &・・・(2)
\end{cases}$$
ここで、$V_\mathrm{m}$および$I_\mathrm{m}$はそれぞれ電圧・電流の波高値、$\omega$は角周波数、$\phi$は$i(t)$の$v(t)$に対する位相差である。
瞬時電力の計算
$(1)$および$(2)$式に対する瞬時電力$p(t)$を計算すると、
$$\begin{align*}
p(t)&=v(t)\cdot i(t)\\\\
&=V_\mathrm{m}I_\mathrm{m}\cos\omega t\cdot\cos\left(\omega t-\phi\right)\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}I_\mathrm{m}}{2}\left\{\cos\left(2\omega t -\phi\right)+\cos\phi\right\}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}I_\mathrm{m}}{2}\left\{\left(\cos2\omega t\cos\phi+\sin 2\omega t\sin\phi\right)+\cos\phi\right\}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}I_\mathrm{m}}{2}\left\{\left(1+\cos2\omega t\right)\cos\phi+\sin 2\omega t\sin\phi\right\}
\end{align*}$$
有効電力$P$（Active power）は、瞬時電力$p(t)$の1サイクル平均として表され、その周期を$\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\omega}}$とすると、
$$\begin{align*}
P&=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{p(t)\mathrm{d}t}\\\\
&=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\left[\frac{V_\mathrm{m}I_\mathrm{m}}{2}\{(1+\cos2\omega t)\cos\phi+\sin 2\omega t \sin\phi\}\right]\mathrm{d}t\\\\
&=\frac{1}{T}\cdot\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{I_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}{\left[\left(t+\frac{1}{2\omega}\sin2\omega t\right)\cos\phi-\frac{1}{2\omega}\cos2\omega t\sin\phi\right]}_{0}^{T}\\\\
&=\frac{1}{T}\cdot\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{I_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}\cdot T\cos\phi\\\\
&\equiv V_\mathrm{e}I_\mathrm{e}\cos\phi ・・・(3)
\end{align*}$$
ここで、$\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}=V_\mathrm{e}}$, $\displaystyle{\frac{I_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}=I_\mathrm{e}}$と置いた。
$V_\mathrm{e},\ I_\mathrm{e}$は電圧・電流の実効値（Effective valueまたはRoot mean square value; RMS）という。
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有効電力の定義式の導出
$(3)$式の導出について、対応しているのは上式2行目の積分計算[ ]内の第1項$\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}I_\mathrm{m}}{2}}\left(1+\cos2\omega t\right)\cos\phi$である。
同項は2倍周波数で時間$t$とともに振動する$\cos2\omega t\cos\phi$という成分に、直流分$\cos\phi$の成分が乗っていると考えることができる。
このうち、振動する成分は1サイクルで時間で積分すれば消えてしまい、時間$t$に関係のない直流分$\cos\phi$の項が残り、$(3)$式が導出される。
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無効電力の定義式
$(3)$式の$\cos\phi$を$\sin\phi$と置き換えたものが無効電力$Q$（Reactive power）であり、その定義式は、
$$Q=V_\mathrm{e}I_\mathrm{e}\sin\phi ・・・(4)$$
この$(4)$式について、対応しているのは$(3)$式の導出に用いた積分計算[ ]内の第2項$\sin2\omega t\sin\phi$である。
同項の2倍周波数で時間$t$とともに振動する$\sin2\omega t\sin\phi$という成分は、1サイクルで時間で積分すれば消えてしまう。
このため、無効電力$Q$の回路上の意味合いとしては、電源と負荷の間とで往復するのみで、実際に消費されない電力となる。
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複素電力の定義式
PおよびQを直接求める方法
$(3)$および$(4)$式にて、有効電力$P$および無効電力$Q$が定義されたが、電圧および電流から直接$P$および$Q$を求める方法を導入する。
電圧$v(t)$および電流$i(t)$を複素表示したものを$\dot{V}$および$\dot{I}$とすると、
$$\begin{cases}
\dot{V}&=V_\mathrm{e}e^{j\omega t} &・・・(5)\\\\
\dot{I}&=I_\mathrm{e}e^{j(\omega t-\phi)} &・・・(6)
\end{cases}$$
ここで、複素電力$\dot{S}$(Complex power)を$\dot{S}≡\dot{V}\cdot\overline{\dot{I}}$と定義する（オーバーライン‾は複素共役（共軛）の意）。
$$\begin{align*}
\dot{S}&\equiv\dot{V}\cdot\overline{\dot{I}}\\\\
&=V_\mathrm{e}e^{j\omega t}\cdot I_\mathrm{e} e^{\overline{j(\omega t-\phi)}}\\\\
&=V_\mathrm{e}e^{j\omega t}\cdot I_\mathrm{e}e^{-j(\omega t-\phi)}\\\\
&=V_\mathrm{e}(\cos\omega t+j\sin\omega t)\cdot I_\mathrm{e}\{\cos(\omega t-\phi)-j\sin(\omega t-\phi)\}\\\\
&=V_\mathrm{e}I_\mathrm{e}\left[\left\{\cos\omega t\cos\left(\omega t-\phi\right)+\sin\omega t\sin(\omega t-\phi)\right\}\right.\\\\
&\left.\quad+j\left\{\sin\omega t\cos(\omega t-\phi)-\cos\omega t\sin(\omega t-\phi)\right\}\right]\\\\
&=V_\mathrm{e}I_\mathrm{e}(\cos\phi+j\sin\phi)\\\\
&=P+jQ ・・・(7)
\end{align*}$$
このように$\dot{S}$を定義することにより、$P$および$Q$を一度の計算で導出することができる。
なお、$\dot{S}$の計算時に電流$\dot{I}$の複素共役$\overline{\dot{I}}$を取っているが、この共役を取るということ自体に物理的な意味合いがあるわけではなく、あくまで計算によって物理量$P$および$Q$を算出できるように$\dot{S}$を定義している。
$(5),\ (6)$式より、電圧$\dot{V}$と電流$\dot{I}$の位相差（力率角）は$\phi$である。
したがって、$\dot{S}$の位相が$\omega t$によらない$\phi$となるよう、$\dot{I}$の共役を取っているともいえる。
なお余談ではあるが、$\dot{S}$の定義はIECにも記載されているものの、$(7)$式が導入された直接的なルーツは不明であり、今後も調査は継続する。
電流の共役を取らない場合
ちなみに、電流$\dot{I}$の共役を取らずにそのまま計算すると、
$$\begin{align*}
\dot{V}\cdot\dot{I}&=V_\mathrm{e}e^{j\omega t}\cdot I_\mathrm{e}e^{j(\omega t-\phi)}\\\\
&=V_\mathrm{e}(\cos\omega t+j\sin\omega t)\cdot I_\mathrm{e}\{\cos(\omega t-\phi)+j\sin(\omega t-\phi)\}\\\\
&=V_\mathrm{e}I_\mathrm{e}[\{\cos\omega t\cos(\omega t-\phi)-\sin\omega t\sin(\omega t-\phi)\}\\\\
&\quad+j\{\sin\omega t\cos(\omega t-\phi)+ \cos\omega t \sin(\omega t-\phi)\}]\\\\
&=V_\mathrm{e}I_\mathrm{e}\{\cos(2\omega t-\phi)+j\sin(2\omega t-\phi)\}\\\\
&=V_\mathrm{e}I_\mathrm{e}e^{j(2\omega t-\phi)} ・・・(8)
\end{align*}$$
となり、$P$および$Q$は導出できない（計算結果の位相が$\phi$とはならない）。
また、無効電力$Q$は上の計算では遅れ無効電力を正とした方式であるが、進み無効電力を正とする場合は、電圧$\dot{V}$の複素共役$\overline{\dot{V}}$を取ることで$\dot{S}$を計算することができて、
$$\begin{align*}
\dot{S}&\equiv\overline{\dot{V}}\cdot\dot{I}\\\\
&=V_\mathrm{e}e^{\overline{j\omega t}}\cdot I_\mathrm{e}e^{j(\omega t-\phi)}\\\\
&=V_\mathrm{e}e^{-j\omega t}\cdot I_\mathrm{e}e^{j(\omega t-\phi)}\\\\
&=V_\mathrm{e}(\cos\omega t-j\sin\omega t)\cdot I_\mathrm{e}\{\cos(\omega t-\phi)+j\sin(\omega t-\phi)\}\\\\
&=V_\mathrm{e}I_\mathrm{e}[\{\cos\omega t\cos(\omega t-\phi)+\sin\omega t\sin(\omega t-\phi)\}\\\\
&\quad-j\{\sin\omega t\cos(\omega t-\phi)- \cos\omega t \sin(\omega t-\phi)\}]\\\\
&=V_\mathrm{e}I_\mathrm{e}(\cos\phi-j\sin\phi)\\\\
&=P-jQ ・・・(9)
\end{align*}$$
電力計算時は”j2=1″
Steinmetz Charles Proteus著 “Theory and calculation of alternating current phenomena” p150-153に下記の解釈が記載されていたので、参考に引用する。
こちらの文献によると、「有効電力の定義式」の項でも述べたように、『電圧と電流の積である電力は、2倍周波数量であることを考慮しなければならない』という。
すなわち、『複素数平面上で$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$位相を進める役割を果たす$j$も、2倍周波数で考えると $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\times2=\pi$位相を進める作用をもつ』という考え方を導入する。
したがって、”$j^2=1$”（ $\pi\times2=2\pi$で平面上を1回転するため）、”$1j=-j1$”（平面上では$\pi=-\pi$であるため）が成り立つこととする。
以上に基づき、$(8)$式の計算を再度やり直すと、
$$\begin{align*}
\dot{V}\cdot\dot{I}&=V_\mathrm{e}e^{j\omega t}\cdot I_\mathrm{e}e^{j(\omega t-\phi)}\\\\
&=V_\mathrm{e}(\cos\omega t+j\sin\omega t)\cdot I_\mathrm{e}\{\cos(\omega t-\phi)+j\sin(\omega t-\phi)\}\\\\
&=V_\mathrm{e}I_\mathrm{e}[\{\cos\omega t\cos(\omega t-\phi)+\sin\omega t\sin(\omega t-\phi)\}\\\\
&\quad+j\{\sin\omega t\cos(\omega t-\phi)- \cos\omega t \sin(\omega t-\phi)\}]\\\\
&=V_\mathrm{e}I_\mathrm{e}\left(\cos\phi+j\sin\phi\right)\\\\
&=P+jQ
\end{align*}$$
となり、$(7)$式と同じ結果となる。
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