有効電力と無効電力、複素電力

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有効電力の定義式

電圧・電流の瞬時値の式

時間$t$で値が変化する交流波形で表される電圧および電流の瞬時値を$v(t)$および$i(t)$とすると、

$$\begin{align}
v(t)=V\cos\omega t   ・・・(1)\\
\qquad i(t)=I\cos(\omega t-\phi) ・・・(2)
\end{align}$$

ここで、$V$および$I$はそれぞれ電圧・電流の波高値、$\omega$は角周波数、$\phi$は $v(t)$を基準としたときの$i(t)$の位相差である。

瞬時電力の計算

$(1)$および$(2)$式に対する瞬時電力$p(t)$を計算すると、

$p(t)=v(t)\cdot i(t)\\
 \ \ \ =VI\cos\omega t\cos(\omega t-\phi) \\
 \ \ \ =\displaystyle{\frac{VI}{2}\{\cos(2\omega t -\phi)+\cos\phi\}}\\
 \ \ \ = \displaystyle{ \frac{VI}{2}\{(\cos2\omega t \cos\phi+\sin 2\omega t \sin\phi )+\cos\phi\}}\\
 \ \ \ = \displaystyle{ \frac{VI}{2}\{(1+\cos2\omega t)\cos\phi+\sin 2\omega t \sin\phi\}}\\$

有効電力$P$(Active power)は、瞬時電力$p(t)$の1サイクル平均として表されるので、周期 $\displaystyle{T=\frac{2\pi}{\omega}}$とすると、

$P= \displaystyle{ \frac{1}{T}\int_{ 0 }^{ T }{p(t)dt}}\\
\ \ \ = \displaystyle{ \frac{1}{T}\int_{ 0 }^{ T } \frac{VI}{2}\{(1+\cos2\omega t)\cos\phi+\sin 2\omega t \sin\phi\}dt}\\
\ \ \ = \displaystyle{ \frac{1}{T}\cdot\frac{V}{\sqrt{2}}\cdot\frac{I}{ \sqrt{2} } { \left[ (t+\frac{1}{2\omega}\sin2\omega t)\cos\phi- \frac{1}{2\omega}\cos2\omega t \sin\phi\right] }_{0}^{T}}\\
\ \ \ = V_e I_e \cos\phi                      ・・・(3)$

ここで、$\displaystyle{\frac{V}{\sqrt{2}}=V_e}$, $\displaystyle{\frac{I}{\sqrt{2}}=I_e}$と置いた。これらは電圧・電流の実効値(Effective valueまたはRoot mean square value; RMS)である。

有効電力の定義式の導出

$(3)$式の導出について、対応しているのは積分計算[ ]内の第1項である。同項は2倍周波数で時間$t$とともに振動する$\cos2\omega t$という成分に、直流分$\cos\phi$の成分が乗っていると考えることができる。

このうち、振動する成分は1サイクルで時間で積分すれば消えてしまう。時間$t$に関係のない直流分$\cos\phi$の項がのこり、$(3)$式が導出される。

無効電力の定義式

$(3)$式の$\cos\phi$を$\sin\phi$と置き換えたものが無効電力$Q$(Reactive power)であり、定義式は、

$$Q=V_e I_e \sin\phi  ・・・(4)$$

となる。この$(4)$式について、対応しているのは$(3)$式の導出に用いた積分計算[ ]内の第2項である。この2倍周波数で時間$t$とともに振動する$\sin2\omega t$という成分は、1サイクルで時間で積分すれば消えてしまう項である。このため、回路上の意味合いとしては、電源と負荷の間とで往復するのみで、実際に消費されない電力となる。

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複素電力の定義式

PおよびQを直接求める方法

$(3)$および$(4)$式にて有効電力$P$および無効電力$Q$が定義されたため、電圧および電流から直接$P$および$Q$を求める方法を導入する。

電圧および電流$i(t)$について、複素表示したものを$\dot{v}(t)$および$\dot{i}(t)$とすると、

$$\begin{align}
\dot{v}(t)=V_e e^{j\omega t}  \ ・・・(5)\\
\qquad\dot{i}(t)=I_e e^{j(\omega t-\phi)}  ・・・(6)
\end{align}$$

ここで、複素電力$\dot{S}$(Complex power)を$\dot{S}≡\dot{v}(t)\cdot\overline {\dot{i}(t)}$と定義する(オーバーライン‾は複素共役の意)。

$\dot{S}≡\dot{v}(t)\cdot\overline {\dot{i}(t)}\\
\ \ \ =V_e e^{j\omega t}\cdot I_e e^{\overline{j(\omega t-\phi)}}\\
\ \ \ =V_e e^{j\omega t}\cdot I_e e^{-j(\omega t-\phi)}\\
\ \ \ =V_e I_e(\cos\omega t+j\sin\omega t)\{\cos(\omega t-\phi)-j\sin(\omega t-\phi)\}\\
\ \ \ =V_e I_e[\{\cos\omega t\cos(\omega t-\phi)+\sin\omega t\sin(\omega t-\phi)\}\\
\quad\quad\ \ +j\{\sin\omega t\cos(\omega t-\phi)- \cos\omega t \sin(\omega t-\phi)\}]\\
\ \ \ =V_e I_e\{\cos\phi+j\sin\phi\}\\
\ \ \ =P+jQ                       ・・・(7) $

このように$\dot{S}$を定義することにより、$P$および$Q$を一度の計算で導出することができる。

なお、$\dot{S}$の計算時に電流$\dot{i}(t)$の複素共役$\overline {\dot{i}(t)}$を取っているが、この共役を取るということ自体に物理的な意味合いがあるわけではなく、あくまで計算によって物理量$P$および$Q$を算出できるように$\dot{S}$を定義している。

余談ではあるが、$\dot{S}$の定義はIECにも記載されている。$(7)$式が導入されたルーツは不明であり、今後も調査は継続する。

電流の共役を取らない場合

ちなみに、電流$\dot{i}(t)$の共役を取らずにそのまま計算すると、

$\dot{v}(t)\cdot\dot{i}(t)\\
\ \ \ =V_e e^{j\omega t}\cdot I_e e^{j(\omega t-\phi)}\\
\ \ \ =V_e I_e(\cos\omega t+j\sin\omega t)\{\cos(\omega t-\phi)+j\sin(\omega t-\phi)\}\\
\ \ \ =V_e I_e[\{\cos\omega t\cos(\omega t-\phi)-\sin\omega t\sin(\omega t-\phi)\}\\
\quad\quad\ \ +j\{\sin\omega t\cos(\omega t-\phi)+ \cos\omega t \sin(\omega t-\phi)\}]\\
\ \ \ =V_e I_e\{\cos(2\omega t-\phi)+j\sin(2\omega t-\phi)\}\\
\ \ \ =V_e I_e e^{j(2\omega t-\phi)}                   ・・・(8) $

となり、$P$および$Q$は導出できない。

また、無効電力$Q$は上の計算では遅れ無効電力を正とした方式であるが、進み無効電力を正とする場合は、電圧$\dot{v}(t)$の複素共役$\overline {\dot{v}(t)}$を取り、$\dot{S}$は、

$\dot{S}≡ \overline { \dot{v}(t) } \cdot\dot{i}(t)\\
\ \ \ =V_e e^{\overline{j\omega t}}\cdot I_e e^{j(\omega t-\phi)}\\
\ \ \ =V_e e^{-j\omega t}\cdot I_e e^{j(\omega t-\phi)}\\
\ \ \ =V_e I_e(\cos\omega t-j\sin\omega t)\{\cos(\omega t-\phi)+j\sin(\omega t-\phi)\}\\
\ \ \ =V_e I_e[\{\cos\omega t\cos(\omega t-\phi)+\sin\omega t\sin(\omega t-\phi)\}\\
\quad\quad\ \ -j\{\sin\omega t\cos(\omega t-\phi)- \cos\omega t \sin(\omega t-\phi)\}]\\
\ \ \ =V_e I_e\{\cos\phi-j\sin\phi\}\\
\ \ \ =P-jQ                       ・・・(9) $

と導出される。

なお、皮相電力$|\dot{S}|$(Apparent power:見かけの電力)は$|\dot{S}|=V_e I_e =\sqrt{P^2+Q^2}$と定義される。

電力計算時は”j2=1″

Steinmetz Charles Proteus著 “Theory and calculation of alternating current phenomena” p150-153に下記の解釈が記載されていたので、参考に引用する。

上記文献によると、「有効電力の定義式」のところでも述べたように、電圧と電流の積である電力は2倍周波数量であることを考慮しなければならないという。

つまり、複素数平面上で$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$位相を進める役割を果たす$j$も2倍周波数で考えると、 $\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\times2=\pi$位相を進める、と考え方を導入する。

よって、”$j^2=1$”( $\pi\times2=2\pi$ で1回転するため)、”$1j=-j1$”($\pi=-\pi$であるため)が成り立つ。

以上に基づき、$(8)$式の計算を再度やり直すと、

$\dot{v}(t)\cdot\dot{i}(t)\\
\ \ \ =V_e e^{j\omega t}\cdot I_e e^{j(\omega t-\phi)}\\
\ \ \ =V_e I_e(\cos\omega t+j\sin\omega t)\{\cos(\omega t-\phi)+j\sin(\omega t-\phi)\}\\
\ \ \ =V_e I_e[\{\cos\omega t\cos(\omega t-\phi)+\sin\omega t\sin(\omega t-\phi)\}\\
\quad\quad\ \ +j\{\sin\omega t\cos(\omega t-\phi)- \cos\omega t \sin(\omega t-\phi)\}]\\
\ \ \ =V_e I_e\{\cos\phi+j\sin\phi\}\\
\ \ \ =P+jQ$

となり、$(7)$式と同じ結果となる。

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