本記事では、電力系統の電圧と無効電力の関係について、$Q-V$曲線や電圧変動の式を基に解説する。
電力系統のQ-V曲線
電力系統のモデル
まず、図1のような発電機（今回は円筒形同期発電機を想定）から負荷に電力供給している「1電源・1負荷」の系統を考える。
図1 電力系統（1電源・1負荷）
図1において、$\dot{E}=E\angle\delta$は発電機背後電圧、$\dot{V}=V\angle0$は受電端電圧、$X$は系統のリアクタンスを表し、抵抗分は無視するとする。
受電端電力と電圧の関係式
図1の受電端における電力が$\dot{S}=P+jQ$であるとして、この$P,\ Q$を各電圧の大きさ$E,\ V$および相差角$\delta$を用いて表すと、
$$\begin{cases}
P&=\displaystyle{\frac{EV}{X}}\sin\delta ・・・(1)\\\\
Q&=\displaystyle{\frac{EV\cos\delta-V^2}{X}} ・・・(2)
\end{cases}$$
本記事では、発電機の動揺方程式を用いて、一機無限大母線系統の定態安定性（定態安定度）について解説する。一機無限大母線系統電力系統のモデルとして、図1のような発電機（今回は円筒形同期発電機を想定）と無限大母線、およびその間のリアクタン[…]
また、受電端の有効電力$P$と無効電力$Q$との間には、力率角を$\theta$とすると、次の関係がある。
$$Q=P\tan\theta ・・・(3)$$
次に、「電力系統のP-V曲線と電圧安定性」の$(5)$式より、受電端の有効電力$P$を$V,\ \delta,\ \theta$で表すと、
$$P=\frac{V^2}{2X}\cdot\frac{\sin\left(\delta+\theta\right)+\sin\left(\delta-\theta\right)}{\cos\left(\delta+\theta\right)} ・・・(4)$$
$(4)$式を$(3)$式に代入すると、
$$Q=\frac{V^2}{2X}\cdot\frac{\sin\left(\delta+\theta\right)+\sin\left(\delta-\theta\right)}{\cos\left(\delta+\theta\right)}\tan\theta ・・・(5)$$
となり、受電端の無効電力$Q$もまた$V,\ \delta,\ \theta$の関数となる。
本記事では、電力系統の電圧安定性について、有効電力と電圧の関係を表した系統の$P-V$曲線を用いて解説する。電力系統のP-V曲線電力系統のモデル今回、図1のような発電機（今回は円筒形同期発電機を想定）から負荷に電力供給し[…]
Q-V曲線
$(5)$式の$\delta$および$\theta$をそれぞれ変化させたときの、$Q$と$V$の関係をグラフに表した$Q-V$曲線を図2に示す。
図2 $\delta$および$\theta$を変化させたときの$Q-V$曲線（力率角$\theta$は遅れを正とする）
同図より、力率角$\theta$が遅れおよび進み共にグラフ右側にピークをとる形状をしているが、特に遅れ力率の場合は少しの$Q$の変化で電圧$V$が急減することがわかる。
また、進み力率の場合は、$P-V$曲線の場合と同様に相差角$\delta$が増大するにつれ$Q$が増大するものの、ピーク値を境に$P$および電圧$V$が減少していく傾向になる。
（最大でも$\delta=\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$付近で減少に転じている）
無効電力と電圧安定性
受電端電圧$V$に対してインピーダンスの値が変化しない定インピーダンス負荷の場合について、電力系統の電圧安定性と無効電力の関係を考える。
負荷は抵抗とリアクタンスの並列回路で表すことができるとして、そのリアクタンス成分を$X_\mathrm{L}$とすると、負荷の無効電力$Q_\mathrm{L}$は、
$$Q_\mathrm{L}=\frac{V^2}{X_\mathrm{L}}$$
となり、受電端電圧$V$の2乗に比例する。
ここで、リアクタンス$X$の値を変化させたときの各$Q_\mathrm{L}$のグラフについて、系統の$Q-V$曲線（遅れ・進みともに同じ相差角$\delta$の値としている）とともに描いたものを図3に示す。
同図では、遅れおよび進み力率の両方の場合について表している。
図3 定インピーダンス負荷の電圧安定性（$Q-V$線図）
図3において、負荷の無効電力$Q_\mathrm{L}$と系統の$Q-V$曲線との交点が運転点となる。
同図より、遅れ・進みともに軽負荷から重負荷になると、運転点は$Q-V$曲線を移動し、ピーク値を境に電圧$V$が急に減少する領域に入ることがわかる。
そして、さらに重負荷となれば、曲線同士の交点は存在しなくなる。
すなわち、このピーク値までが安定して運転可能な領域であり、これを超えるような負荷の状態となると電圧不安定となる。
電圧$V$が変動すると、$P-V$線図に基づき消費電力$P_\mathrm{L}$も変化することから、実際には$P-Q-V$の三次元のグラフとなる。
両方の量と電圧$V$との関係を考える際には電力円線図が用いられる。
※電力円線図については別の記事で解説する。
電力の変化に対する電圧変動
受電端電圧と電力の関係式
次に、各電力の変化に対して、電力系統における電圧変動の式を導出する。
図4のように、無限大母線（電圧）から送電線を介して負荷に電力供給している系統を考える。
図4 無限大母線から負荷に電力供給する系統
図4において、$\dot{V}_\mathrm{s}=V_\mathrm{s}\angle\delta$は送電端電圧、$\dot{V}_\mathrm{r}=V_\mathrm{r}\angle0$は受電端電圧、$R,\ X$はそれぞれ送電線の抵抗およびリアクタンスとする。
同図の系統に流れる電流を$\dot{I}$とすると、図4の有効電力$P$および$Q$を表す式は、
$$\begin{align*}
P+jQ=\dot{V}_\mathrm{r}\cdot\overline{\dot{I}} ・・・(6)
\end{align*}$$
本記事では、有効電力、無効電力および複素電力の定義式とその導出について解説する。有効電力の定義式電圧・電流の瞬時値の式時間$t$で値が変化する交流波形で表される電圧および電流の瞬時値を$v(t)$[…]
また、電流$\dot{I}$を各電圧および回路定数で表すと、
$$\begin{align*}
\dot{I}&=\frac{\dot{V}_\mathrm{s}-\dot{V}_\mathrm{r}}{R+jX}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{s}\angle\delta-V_\mathrm{r}}{R+jX} ・・・(7)
\end{align*}$$
$(7)$式を$(6)$式に代入すると、
$$\begin{align*}
P+jQ&=\dot{V}_\mathrm{r}\cdot\overline{\left(\frac{V_\mathrm{s}\angle\delta-V_\mathrm{r}}{R+jX}\right)}\\\\
&=V_\mathrm{r}\cdot\frac{V_\mathrm{s}\angle\left(-\delta\right)-V_\mathrm{r}}{R-jX}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{s}V_\mathrm{r}\left(\cos\delta-j\sin\delta\right)-V^2_\mathrm{r}}{R-jX} ・・・(8)
\end{align*}$$
$(8)$式の両辺に$(R-jX)$をかけて変形すると、
$$\begin{align*}
\left(P+jQ\right)\left(R-jX\right)&=V_\mathrm{s}V_\mathrm{r}\left(\cos\delta-j\sin\delta\right)-V^2_\mathrm{r}\\\\
\therefore RP+XQ+V^2_\mathrm{r}+j\left(-XP+RQ\right)&=V_\mathrm{s}V_\mathrm{r}\left(\cos\delta-j\sin\delta\right) ・・・(9)
\end{align*}$$
$(9)$式両辺の絶対値をとると、
$$\begin{align*}
\left(RP+XQ+V^2_\mathrm{r}\right)^2+\left(-XP+RQ\right)^2&=V^2_\mathrm{s}V^2_\mathrm{r}\\\\
\left(RP+XQ+V^2_\mathrm{r}\right)^2+\left(-XP+RQ\right)^2-V^2_\mathrm{s}V^2_\mathrm{r}&=0 ・・・(10)
\end{align*}$$
電力の微小変化に対する電圧変動の度合い
ここで、送電端電圧の大きさ$V_\mathrm{s}$を一定とし、$P,\ Q$がそれぞれ微小量$\Delta P,\ \Delta Q$だけ変化したときの電圧変動$\Delta V_\mathrm{rP},\ \Delta V_\mathrm{rQ}$は、次の式で表すことができる。
$$\begin{align*}
\Delta V_\mathrm{rP}&=\frac{\partial V_\mathrm{r}}{\partial P}\Delta P\\\\
\Delta V_\mathrm{rQ}&=\frac{\partial V_\mathrm{r}}{\partial Q}\Delta Q
\end{align*} ・・・(11)$$
$(11)$式中の微小変化量$\Delta P,\ \Delta Q$に対する電圧変動の度合いである$\displaystyle{\frac{\partial V_\mathrm{r}}{\partial P}},\ \displaystyle{\frac{\partial V_\mathrm{r}}{\partial Q}}$を求めるために、$(10)$式に次の「陰関数の導関数」を求める式を適用する。
$f\left(x,y,z\right)$という3変数の関数があり、常に$f\left(x,y,z\right)=0$が成り立つとき、
$$z=g\left(x,y\right)$$
となる$z$を、$x$と$y$の陰関数という。
ここで、$f_x=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x}},\ f_y=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial y}},\ f_z=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial z}}\neq 0$とすると、次の公式が成り立つ。
$$f_x+f_z\cdot\frac{\partial z}{\partial x}=0,\ f_y+f_z\cdot\frac{\partial z}{\partial y}=0$$
したがって、陰関数の導関数は、次の式を用いて求めることができる。
$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{f_x}{f_z},\ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{f_y}{f_z}$$
$f=\left(RP+XQ+V^2_\mathrm{r}\right)^2+\left(-XP+RQ\right)^2-V^2_\mathrm{s}V^2_\mathrm{r}$とおくと、$f$の$V_\mathrm{r},\ P,\ Q$における導関数$f_\mathrm{V},\ f_\mathrm{P},\ f_\mathrm{Q}$は、
$$\begin{align*}
f_\mathrm{V}&=2\left(RP+XQ+V^2_\mathrm{r}\right)\cdot2V_\mathrm{r}-2V^2_\mathrm{s}V_\mathrm{r}\\\\
&=2V_\mathrm{r}\left\{2\left(RP+XQ\right)+2V^2_\mathrm{r}-V^2_\mathrm{s}\right\} ・・・(12)\\\\\\
f_\mathrm{P}&=2\left(RP+XQ+V^2_\mathrm{r}\right)\cdot R+2\left(-XP+RQ\right)\cdot\left(-X\right)\\\\
&=2\left(R^2P+RXQ+RV^2_\mathrm{r}+X^2P-RXQ\right)\\\\
&=2\left\{\left(R^2+X^2\right)P+RV^2_\mathrm{r}\right\} ・・・(13)\\\\\\
f_\mathrm{Q}&=2\left(RP+XQ+V^2_\mathrm{r}\right)\cdot X+2\left(-XP+RQ\right)\cdot R\\\\
&=2\left(RXP+X^2Q+XV^2_\mathrm{r}-RXP+R^2Q\right)\\\\
&=2\left\{\left(R^2+X^2\right)Q+XV^2_\mathrm{r}\right\} ・・・(14)
\end{align*}$$
$(12),\ (13),\ (14)$式より、$(11)$式中の$\displaystyle{\frac{\partial V_\mathrm{r}}{\partial P}},\ \displaystyle{\frac{\partial V_\mathrm{r}}{\partial Q}}$を求めると、
$$\begin{align*}
\frac{\partial V_\mathrm{r}}{\partial P}&=-\frac{f_\mathrm{P}}{f_\mathrm{V}}\\\\
&=-\frac{\left(R^2+X^2\right)P+RV^2_\mathrm{r}}{V_\mathrm{r}\left\{2\left(RP+XQ\right)+2V^2_\mathrm{r}-V_\mathrm{s}^2\right\}}\\\\
&=-\frac{Z^2P+RV^2_\mathrm{r}}{V_\mathrm{r}\left\{2\left(RP+XQ\right)+2V^2_\mathrm{r}-V_\mathrm{s}^2\right\}}\\\\\\
\frac{\partial V_\mathrm{r}}{\partial Q}&=-\frac{f_\mathrm{Q}}{f_\mathrm{V}} ・・・(15)\\\\
&=-\frac{\left(R^2+X^2\right)Q+XV^2_\mathrm{r}}{V_\mathrm{r}\left\{2\left(RP+XQ\right)+2V^2_\mathrm{r}-V^2_\mathrm{s}\right\}}\\\\
&=-\frac{Z^2Q+XV^2_\mathrm{r}}{V_\mathrm{r}\left\{2\left(RP+XQ\right)+2V^2_\mathrm{r}-V^2_\mathrm{s}\right\}} ・・・(16)
\end{align*}$$
$(15),\ (16)$式で、$Z\equiv\sqrt{R^2+X^2}$としている。
電圧変動の感度
ここで、一般的に$V_\mathrm{s}$および$V_\mathrm{r}$は$1.0\mathrm{p.u.}$付近の値となるため、$(12),\ (13),\ (14)$式より、$f_\mathrm{V},\ f_\mathrm{P},\ f_\mathrm{Q}$はすべて正の値となる。
したがって、$(15),\ (16)$式より$\displaystyle{\frac{\partial V_\mathrm{r}}{\partial P}},\ \displaystyle{\frac{\partial V_\mathrm{r}}{\partial Q}}$はともに負の値となる。
また、$P$と$Q$が同じ値だけ変化した$\left(\Delta P=\Delta Q\right)$として、$\Delta V_\mathrm{rP},\ \Delta V_\mathrm{rQ}$の比をとったものを$\rho$とすると、
$$\begin{align*}
\rho&=\frac{\Delta V_\mathrm{rP}}{\Delta V_\mathrm{rQ}}\\\\
&=\frac{Z^2P+RV^2_\mathrm{r}}{Z^2Q+XV^2_\mathrm{r}}\\\\
&=\frac{ZP+R\cdot\displaystyle{\frac{V^2_\mathrm{r}}{Z}}}{ZQ+X\cdot\displaystyle{\frac{V^2_\mathrm{r}}{Z}}}\\\\
&=\frac{ZP+RC}{ZQ+XC} ・・・(17)
\end{align*}$$
$(17)$式において、$C\equiv\displaystyle{\frac{V^2}{Z}}$は受電端から電源側をみたときの短絡容量を表し、一般に$C\gg P,\ Q$となる。
かつ、一般的な送電線は$R\ll X$であるから、$(17)$式は、
$$\begin{align*}
\rho&\simeq\frac{XP+RC}{XC}=\frac{P}{C}+\frac{R}{X}\ll 1\\\\
\end{align*}$$
上記の結果から$\Delta V_\mathrm{rP}\ll\Delta V_\mathrm{rQ}$，すなわち無効電力$Q$の変化は有効電力$P$と比較して、受電端電圧$V_\mathrm{r}$の変動に大きく影響することがわかる。
したがって、電圧変動を抑制するためには、無効電力の調整が効果的であると考えられる。
なお、配電系統の場合、$R$と$X$の大きさはそこまで差がないため、$\rho$は$1$に近くなる。
すなわち、電圧変動の感度は$P$と$Q$で差がなくなるため、有効電力$P$の調整もある程度効果が出てくる。
（具体的には、系統の電圧上昇に対する、パワーコンディショナを用いた調整[参考]が挙げられる）
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電験二種
参考文献
- 長谷良秀『電力技術の実用理論 第3版 発電・送変電の基礎理論からパワーエレクトロニクス応用まで』丸善出版，2015
- 加藤政一『詳解電力系統工学』東京電機大学出版局，2017
- 上之園親左『現代電力工学』オーム社，1980
- 卯本重郎『現代基礎電気数学』オーム社，1990
著書・製品のご紹介
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