ニュートン・ラフソン法による潮流計算(理論編)

本記事では、数値解析法の1つである「ニュートン・ラフソン法」を用いた潮流計算の手法について解説する。





ニュートン・ラフソン法の概要

ニュートン・ラフソン法(Newton-Raphson method)は数値解析法の1つで、非線形方程式の真の解に対する近似解について、順次その誤差を修正するための繰り返し計算を行うことで、より精度の良い解に近づけていく手法となる。

ニュートン・ラフソン法の考え方

ニュートン・ラフソン法の考え方を説明するために、図1にある変数$x$についての関数$f(x)$のグラフを示す。

 

図1 ニュートン・ラフソン法の考え方

 

図1において、$f\left(x\right)=0$を満たす$x$の値を真の解$x_\alpha$とする。

ここで、適当に設定した初期値$x^\left(0\right)$に対して、図1のグラフ上の点$\left(x^\left(0\right),\ f(x^\left(0\right))\right)$における接線を引く。

そして、この接線と$x$軸上との交点を$\left(x^\left(1\right),\ 0\right)$とすると、図1より初期値$x^\left(0\right)$に対して$x^\left(1\right)$の値は真の解$x_\alpha$に近づいていることがわかる。

さらに、グラフ上の点$\left(x^\left(1\right),\ f(x^\left(1\right))\right)$における接線を引き、その接線と$x$軸上の交点を$\left(x^\left(2\right),\ 0\right)$とすると、図1より$x^\left(2\right)$の値はさらに$x_\alpha$に近づくことになる。

 

上記のような計算を繰り返し行い、近似解の精度を上げ、より真の解に近づけていく計算方法がニュートン・ラフソン法となる。

 

なお、図1では関数$f(x)$が特定の値に(ある程度速く)収束するような例を選んでいるが、図2に示すように$f(x)=0$となる$x$の値が存在しない場合(同図左)や、存在はするものの収束するのに時間がかかる(計算の回数が多い)場合(同図右)は、近似解を得ることが困難となることがある。

加えて、収束計算を精度良く行うために、適当な初期値$x^\left(0\right)$を選ぶことも重要となる。

 

図2 ニュートン・ラフソン法で精度良く近似解が得られない場合

 

1変数における例

ニュートン・ラフソン法の収束計算に用いる式を導入するため、まず1つの変数$x$のみの場合を考える。

 

ある変数$x$についての関数$f\left(x\right)$について、$f\left(x\right)=0$の真の解を$x_\alpha$,$i$回目の収束計算を行った際の近似解を$x^{\left(i\right)}$,誤差(修正量)を$\Delta x^{\left(i\right)}$とすると、これらの間には次の関係が成り立つ。

$$x_\alpha=x^{\left(i\right)}+\Delta x^{\left(i\right)} ・・・(1)$$

 

次に、$f\left(x_\alpha\right)=0$について、誤差の値$\Delta x^{\left(i\right)}$まわりでテイラー展開すると、$(1)$式より、

$$\begin{align*}
f(x^\alpha)&=f(x^{\left(i\right)}+\Delta x^{\left(i\right)})\\\\
&=f(x^{\left(i\right)})+\frac{\Delta x^{\left(i\right)}}{1!}f'(x^{\left(i\right)})+\frac{\left(\Delta x^{\left(i\right)}\right)^2}{2!}f^{”}(x^{\left(i\right)})+\cdots=0 ・・・(2)
\end{align*}$$

 

$\Delta x^{\left(i\right)}$が非常に小さいとして、$(2)$式の左辺第3項以降を無視すると、

$$\begin{align*}
f(x^{\left(i\right)})+\Delta x^{\left(i\right)}\cdot f'(x^{\left(i\right)})&\fallingdotseq 0\\\\
\therefore\Delta x^{\left(i\right)}&\fallingdotseq-\frac{f(x^{\left(i\right)})}{f'(x^{\left(i\right)})} ・・・(3)
\end{align*}$$

 

$(3)$式より、より精度の高い近似解$x^\left(i+1\right)$を求めるための修正式は、次のようになる。

$$x^\left(i+1\right)=x^{\left(i\right)}-\frac{f(x^{\left(i\right)})}{f'(x^{\left(i\right)})} ・・・(4)$$

 

$(4)$式を図1のグラフの考え方から導くと、次のようになる。

 

ある点$\left(x^\left(i\right),\ f(x^\left(i\right))\right)$における接線の傾きは、その点における微分係数$f'(x^\left(i\right))$に等しい。

このとき、接線を表す式$f_t(x)$は、

$$f_t(x)=f'(x^\left(i\right))\left(x-x^\left(i\right)\right)+f(x^\left(i\right))$$

 

この接線$f_t(x)$は点$\left(x^\left(i+1\right),\ 0\right)$を通るから、

$$\begin{align*}
0&=f'(x^\left(i\right))\left(x^\left(i+1\right)-x^\left(i\right)\right)+f(x^\left(i\right))\\\\
0&=x^\left(i+1\right)-x^\left(i\right)+\frac{f(x^{\left(i\right)})}{f'(x^{\left(i\right)})}\\\\
\therefore x^\left(i+1\right)&=x^\left(i\right)-\frac{f(x^{\left(i\right)})}{f'(x^{\left(i\right)})}
\end{align*}$$

となり、$(4)$式が導かれる。

 

多変数の場合の計算

次に、前項の考え方を拡張して、$n$個の変数$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$における$n$個の方程式が次のように与えられているとする。

$$\begin{cases}
f_1(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)&=0\\\\
f_2(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)&=0\\\\
\qquad\qquad\vdots\\\\
f_n(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)&=0
\end{cases} ・・・(5)$$

 

$i$回目の収束計算を行った際の$(5)$式の近似解$x^{\left(i\right)}_1,\ x^{\left(i\right)}_2,\ \cdots,\ x^{\left(i\right)}_n$およびそれに対する誤差(修正量)を$\Delta x^{\left(i\right)}_1,\ \Delta x^{\left(i\right)}_2,\ \cdots,\ \Delta x^{\left(i\right)}_n$として、これらの間には$(3)$式と同様に次の関係式が成り立つ。

$$\left(\begin{array}{c} f_1(x^{\left(i\right)}_1,\ x^{\left(i\right)}_2,\ \cdots,\ x^{\left(i\right)}_n)\\f_2(x^{\left(i\right)}_1,\ x^{\left(i\right)}_2,\ \cdots,\ x^{\left(i\right)}_n)\\\vdots\\f_n(x^{\left(i\right)}_1,\ x^{\left(i\right)}_2,\ \cdots,\ x^{\left(i\right)}_n)\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{cccc}\displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \displaystyle\frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \cdots & \displaystyle\frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \Delta x^{\left(i\right)}_1 \\ \Delta x^{\left(i\right)}_2 \\ \vdots \\ \Delta x^{\left(i\right)}_n\end{array}\right) ・・・(6)$$

 

$(6)$式において、係数行列

$$\boldsymbol{J}\equiv\left(\begin{array}{cccc}\displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \displaystyle\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \displaystyle\frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \displaystyle\frac{\partial f_n}{\partial x_2} & \cdots & \displaystyle\frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{array}\right)$$

ヤコビ行列(Jacobian matrix, ヤコビアン行列、ヤコブ行列とも)という。

ヤコビ行列の各要素(例:$\displaystyle\frac{\partial f_1}{\partial x_1}$など)はすべて近似解$x^\left(i\right)$における値となる。

 

$(6)$式の両辺に左からヤコビ行列$\boldsymbol{J}$の逆行列$\boldsymbol{J}^{-1}$をかけて整理すると、誤差$\Delta x^{\left(i\right)}_1,\ \Delta x^{\left(i\right)}_2,\ \cdots,\ \Delta x^{\left(i\right)}_n$を求める次の式が導かれる。

$$\left(\begin{array}{c} \Delta x^{\left(i\right)}_1 \\ \Delta x^{\left(i\right)}_2 \\ \vdots \\ \Delta x^{\left(i\right)}_n\end{array}\right)=-\boldsymbol{J}^{-1}\left(\begin{array}{c} f_1(x^{\left(k\right)}_1,\ x^{\left(k\right)}_2,\ \cdots,\ x^{\left(k\right)}_n)\\f_2(x^{\left(k\right)}_1,\ x^{\left(k\right)}_2,\ \cdots,\ x^{\left(i\right)}_n)\\\vdots\\f_n(x^{\left(i\right)}_1,\ x^{\left(i\right)}_2,\ \cdots,\ x^{\left(i\right)}_n)\end{array}\right) ・・・(7)$$

 

そして$(7)$式で求めた誤差$\Delta x^{\left(i\right)}_1,\ \Delta x^{\left(i\right)}_2,\ \cdots,\ \Delta x^{\left(i\right)}_n$を元に、より精度の良い近似解$x^{\left(i+1\right)}_1,\ x^{\left(i+1\right)}_2,\ \cdots,\ x^{\left(i+1\right)}_n$を求めると、

$$\left(\begin{array}{c} x^{\left(i+1\right)}_1 \\ x^{\left(i+1\right)}_2 \\ \vdots \\ x^{\left(i+1\right)}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x^{\left(i\right)}_1 \\ x^{\left(i\right)}_2 \\ \vdots \\ x^{\left(i\right)}_n\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} \Delta x^{\left(i\right)}_1 \\ \Delta x^{\left(i\right)}_2 \\ \vdots \\ \Delta x^{\left(i\right)}_n\end{array}\right) ・・・(8)$$

 

$(7),\ (8)$式を用いて繰り返し計算を行い、希望の値に収束した段階で計算を終了する。

$(6)\sim(8)$式は修正方程式(Correction equation)といい(特に$(6)$式のことをそう呼ぶ文献もある)、誤差(修正量)$\Delta x^{\left(i\right)}_1,\ \Delta x^{\left(i\right)}_2,\ \cdots,\ \Delta x^{\left(i\right)}_n$を元に、より精度の良い近似解$x^{\left(i+1\right)}_1,\ x^{\left(i+1\right)}_2,\ \cdots,\ x^{\left(i+1\right)}_n$を決定づけるための方程式となる。

 

なお、収束条件としては、例えばあらかじめ定めた正数$\varepsilon$(通常$10^{-4}\sim10^{-5}$程度)に対し、すべての誤差$\Delta x^\left(i\right)_l\left(l=1,2,\cdots,\ n\right)$について、

$$\left|\Delta x^\left(i\right)_l\right|\leq\varepsilon$$

などと定める。

 

 

修正方程式と計算の流れ

ニュートン・ラフソン法を潮流計算に用いるにあたり、適用例として電験一種二次試験「電力・管理」令和3年度問3にて出題された、図3に示すような3母線の電力系統を扱う。

なお同図において、母線1は基準ノード(スラックノード)、母線2は$P-V$指定ノード、母線3は$P-Q$指定ノード(いずれも出題された際の条件と同じ)とする。

 

図3 3母線の電力系統

潮流計算における修正方程式

潮流計算における電力方程式」の記事において、あるノード$k$に流れる有効電力$P_k$,無効電力$Q_k$および電圧の大きさ$V_k$は、未知量$e_1,\ f_1,\ e_2,\ f_2,\ \cdots,\ e_n,\ f_n$(直交座標の場合)の関数で表されることが示された。

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このことを反映し、$P_k$,$Q_k$および電圧の大きさの2乗$V_k$は、次のように表すものとする。

$$\begin{cases}
P_{k}&=P_k\left(e_1,\ f_1,\ e_2,\ f_2,\ \cdots,\ e_n,\ f_n\right)\\\\
Q_{k}&=Q_k\left(e_1,\ f_1,\ e_2,\ f_2,\ \cdots,\ e_n,\ f_n\right)\\\\
V^2_{k}&=e^2_k+f^2_k
\end{cases} ・・・(9)$$

 

ここで、各種ノードにおける指定値を添字$s$で表すと、$(9)$式より解くべき非線形方程式(前節の$f(x)=0$に相当する)は次のようになる。

$P-Q$指定ノードにおいては、

$$\begin{align*}
&\begin{cases}
P_{ks}&=P_k\left(e_1,\ f_1,\ e_2,\ f_2,\ \cdots,\ e_n,\ f_n\right)\\\\
Q_{ks}&=Q_k\left(e_1,\ f_1,\ e_2,\ f_2,\ \cdots,\ e_n,\ f_n\right)
\end{cases}\\\\
\rightarrow
&\begin{cases}
P_k\left(e_1,\ f_1,\ e_2,\ f_2,\ \cdots,\ e_n,\ f_n\right)-P_{ks}&=0\\\\
Q_k\left(e_1,\ f_1,\ e_2,\ f_2,\ \cdots,\ e_n,\ f_n\right)-Q_{ks}&=0
\end{cases} ・・・(10)
\end{align*}$$

 

$P-V$指定ノードにおいては、

$$\begin{align*}
&\begin{cases}
P_{ks}&=P_k\left(e_1,\ f_1,\ e_2,\ f_2,\ \cdots,\ e_n,\ f_n\right)\\\\
V^2_{ks}&=e^2_k+f^2_k
\end{cases}\\\\
\rightarrow
&\begin{cases}
P_k\left(e_1,\ f_1,\ e_2,\ f_2,\ \cdots,\ e_n,\ f_n\right)-P_{ks}&=0\\\\
e^2_k+f^2_k-V^2_{ks}&=0
\end{cases} ・・・(11)
\end{align*}$$

 

$(10),\ (11)$式を前節に示した考え方で解くことを考える。

例えば図3の電力系統においては、母線1は基準ノードであり$e_1=V_{1s},\ f_1=0$として既知量で表すことができるので、未知量としては$e_2,\ f_2,\ e_3,\ f_3$となる。

 

ここで、$(10),\ (11)$式を満たすこれらの$i$番目の収束計算における近似解を$e^\left(i\right)_2,\ f^\left(i\right)_2,\ e^\left(i\right)_3,\ f^\left(i\right)_3$,誤差を$\Delta e^\left(i+1\right)_2,\ \Delta f^\left(i+1\right)_2,\ \Delta e^\left(i+1\right)_3,\ \Delta f^\left(i+1\right)_3$とすると、修正方程式は次のようになる。

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} \Delta P^\left(i\right)_2 \\ \Delta V^{\left(i\right)2}_2 \\ \Delta P^\left(i\right)_3 \\ \Delta Q^\left(i\right)_3 \end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cccc}\displaystyle\frac{\partial P_2}{\partial e_2} & \displaystyle\frac{\partial P_2}{\partial f_2} & \displaystyle\frac{\partial P_2}{\partial e_3} & \displaystyle\frac{\partial P_2}{\partial f_3} \\ \displaystyle\frac{\partial V^2_2}{\partial e_2} & \displaystyle\frac{\partial V^2_2}{\partial f_2} & \displaystyle\frac{\partial V^2_2}{\partial e_3} & \displaystyle\frac{\partial V^2_2}{\partial f_3} \\ \displaystyle\frac{\partial P_3}{\partial e_2} & \displaystyle\frac{\partial P_3}{\partial f_2} & \displaystyle\frac{\partial P_3}{\partial e_3} & \displaystyle\frac{\partial P_3}{\partial f_3} \\ \displaystyle\frac{\partial Q_3}{\partial e_2} & \displaystyle\frac{\partial Q_3}{\partial f_2} & \displaystyle\frac{\partial Q_3}{\partial e_3} & \displaystyle\frac{\partial Q_3}{\partial f_3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \Delta e^\left(i+1\right)_2 \\ \Delta f^\left(i+1\right)_2 \\ \Delta e^\left(i+1\right)_3 \\ \Delta f^\left(i+1\right)_3\end{array}\right) ・・・(12)\\\\
\left(\begin{array}{c} e^\left(i+1\right)_2 \\ f^\left(i+1\right)_2 \\ e^\left(i+1\right)_3 \\ f^\left(i+1\right)_3\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c} e^\left(i\right)_2 \\ f^\left(i\right)_2 \\ e^\left(i\right)_3 \\ f^\left(i\right)_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} \Delta e^\left(i+1\right)_2 \\ \Delta f^\left(i+1\right)_2 \\ \Delta e^\left(i+1\right)_3 \\ \Delta f^\left(i+1\right)_3\end{array}\right) ・・・(13)
\end{align*}$$

 

ただし、$(12)$式において、

$$\begin{align*}
\Delta P^\left(i\right)_2&=P_{2s}-P_2\left(e^\left(i\right)_2,\ f^\left(i\right)_2,\ e^\left(i\right)_3,\ f^\left(i\right)_3\right)\\\\
\Delta V^{\left(i\right)2}_2&=V^2_{2s}-\left(e^{\left(i\right)2}_2+f^{\left(i\right)2}_2\right)\\\\
\Delta P^\left(i\right)_3&=P_{3s}-P_3\left(e^\left(i\right)_2,\ f^\left(i\right)_2,\ e^\left(i\right)_3,\ f^\left(i\right)_3\right)\\\\
\Delta Q^\left(i\right)_3&=Q_{3s}-Q_3\left(e^\left(i\right)_2,\ f^\left(i\right)_2,\ e^\left(i\right)_3,\ f^\left(i\right)_3\right)
\end{align*}$$

であり、かつヤコビ行列の要素はすべて$e^\left(i\right)_2,\ f^\left(i\right)_2,\ e^\left(i\right)_3,\ f^\left(i\right)_3$における値であるとする。

 

なお、上記は直交座標表示の場合であるが、図3の電力系統における極座標表示の場合についての修正方程式は次のようになる。

(詳細は「実践編」で解説する。)

$$\left(\begin{array}{c} \Delta P^\left(i\right)_2 \\ \Delta P^\left(i\right)_3 \\ \Delta Q^\left(i\right)_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{\partial P_2}{\partial \delta_2} & \displaystyle\frac{\partial P_2}{\partial \delta_3} & \displaystyle\frac{\partial P_2}{\partial V_3} \\ \displaystyle\frac{\partial P_3}{\partial \delta_2} & \displaystyle\frac{\partial P_3}{\partial \delta_3} & \displaystyle\frac{\partial P_3}{\partial V_3} \\ \displaystyle\frac{\partial Q_3}{\partial \delta_2} & \displaystyle\frac{\partial Q_3}{\partial \delta_3} & \displaystyle\frac{\partial Q_3}{\partial V_3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \Delta\delta^\left(i+1\right)_2 \\ \Delta\delta^\left(i+1\right)_3 \\ \Delta V^\left(i+1\right)_3\end{array}\right)$$

 

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ニュートン・ラフソン法の計算フロー

ニュートン・ラフソン法では、$(12),\ (13)$式で示した修正方程式について、得られた近似解が希望の値になるまで繰り返し解いていくことになる。

この一連の計算の流れを表したフローチャートを図4に示す。

 

 

図4 ニュートン・ラフソン法の計算フロー

 

修正方程式の係数

図4の計算フローの中で、最も時間がかかると言われているのがヤコビ行列$\boldsymbol{J}$の各要素、「修正方程式の係数」の計算となる。

ここでは、この修正方程式の係数の計算式について、直交座標表示と極座標表示で分けて導出していく。

修正方程式の係数(直交座標表示)

あるノード$k$に流れる有効電力$P_k$および無効電力$Q_k$は、「潮流計算における電力方程式」の記事より、

$$\begin{cases}
P_k&=\displaystyle \sum_{l=1}^n\left\{G_{kl}\left(e_ke_l+f_kf_l\right)-B_{kl}\left(e_kf_l-e_lf_k\right)\right\}\\\\
Q_k&=\displaystyle \sum_{l=1}^n\left\{G_{kl}\left(e_lf_k-e_kf_l\right)-B_{kl}\left(e_ke_l+f_kf_l\right)\right\}
\end{cases} ・・・(14)$$

 

ノード電圧の大きさの2乗$V^2_{k}$は、

$$V^2_k=e^2_k+f^2_k ・・・(15)$$

 

klのとき

$(14),\ (15)$式より、ある特定の番号$l=1,2,\cdots,n$(ただし、$k\neq l$)における修正方程式の各係数は、

$$\begin{align*}
\frac{\partial P_k}{\partial e_l}&=G_{kl}e_k+B_{kl}f_k\\\\
\frac{\partial P_k}{\partial f_l}&=G_{kl}f_k-B_{kl}e_k\\\\
\frac{\partial Q_k}{\partial e_l}&=G_{kl}f_k-B_{kl}e_k\left(=\frac{\partial P_k}{\partial f_l}\right)\\\\
\frac{\partial Q_k}{\partial f_l}&=-G_{kl}e_k-B_{kl}f_k\left(=-\frac{\partial P_k}{\partial e_l}\right)\\\\
\frac{\partial V^2_k}{\partial e_l}&=\frac{\partial V^2_k}{\partial f_l}=0
\end{align*} ・・・(16)$$

 

k=lのとき

次に、$k=l$となる場合の修正方程式の係数は、

$$\begin{align*}
\frac{\partial P_k}{\partial e_k}&=a_k+G_{kk}e_k+B_{kk}f_k\\\\
\frac{\partial P_k}{\partial f_k}&=b_k+G_{kk}f_k-B_{kk}e_k\\\\
\frac{\partial Q_k}{\partial e_k}&=-b_k+G_{kk}f_k-B_{kk}e_k\\\\
\frac{\partial Q_k}{\partial f_k}&=a_k-G_{kk}e_k-B_{kk}f_k\\\\
\frac{\partial V^2_k}{\partial e_k}&=2e_k\\\\
\frac{\partial V^2_k}{\partial f_k}&=2f_k
\end{align*} ・・・(17)$$

 

ただし、

$$\begin{cases}
a_k&\equiv\displaystyle \sum_{l=1}^n\left(G_{kl}e_l-B_{kl}f_l\right)\\\\
b_k&\equiv\displaystyle \sum_{l=1}^n\left(G_{kl}f_l+B_{kl}e_l\right)
\end{cases}$$

 

係数の導出はこちら
$$\begin{align*}
\frac{\partial P_k}{\partial e_k}&=\left(G_{k1}e_1-B_{k1}f_1\right)+\left(G_{k2}e_2-B_{k2}f_2\right)+\cdots\\\\
&\qquad+2G_{kk}e_k+\cdots+\left(G_{kn}e_n-B_{kn}f_n\right)\\\\
&=\left(G_{k1}e_1-B_{k1}f_1\right)+\left(G_{k2}e_2-B_{k2}f_2\right)+\cdots\\\\
&\qquad+\left\{\left(G_{kk}e_k-B_{kk}f_k\right)+\left(G_{kk}e_k+B_{kk}f_k\right)\right\}+\cdots+\left(G_{kn}e_n-B_{kn}f_n\right)\\\\
&=\displaystyle \sum_{l=1}^n\left(G_{kl}e_l-B_{kl}f_l\right)+G_{kk}e_k+B_{kk}f_k\\\\\\
\frac{\partial P_k}{\partial f_k}&=\left(G_{k1}f_1+B_{k1}e_1\right)+\left(G_{k2}f_2+B_{k2}e_2\right)+\cdots\\\\
&\qquad+2G_{kk}f_k+\cdots+\left(G_{kn}f_n+B_{kn}e_n\right)\\\\
&=\left(G_{k1}f_1+B_{k1}e_1\right)+\left(G_{k2}f_2+B_{k2}e_2\right)+\cdots\\\\
&\qquad+\left\{\left(G_{kk}f_k+B_{kk}e_k\right)+\left(G_{kk}f_k-B_{kk}e_k\right)\right\}+\cdots+\left(G_{kn}f_n+B_{kn}e_n\right)\\\\
&=\displaystyle \sum_{l=1}^n\left(G_{kl}f_l+B_{kl}e_l\right)+G_{kk}f_k-B_{kk}e_k\\\\\\
\frac{\partial Q_k}{\partial e_k}&=-\left(G_{k1}f_1+B_{k1}e_1\right)-\left(G_{k2}f_2+B_{k2}e_2\right)-\cdots\\\\
&\qquad-2B_{kk}e_k-\cdots-\left(G_{kn}f_n+B_{kn}e_n\right)\\\\
&=-\left(G_{k1}f_1+B_{k1}e_1\right)-\left(G_{k2}f_2+B_{k2}e_2\right)-\cdots\\\\
&\qquad+\left\{-\left(G_{kk}f_k+B_{kk}e_k\right)+\left(G_{kk}f_k-B_{kk}e_k\right)\right\}-\cdots-\left(G_{kn}f_n+B_{kn}e_n\right)\\\\
&=-\displaystyle \sum_{l=1}^n\left(G_{kl}f_l+B_{kl}e_l\right)+G_{kk}f_k-B_{kk}e_k\\\\\\
\frac{\partial Q_k}{\partial f_k}&=\left(G_{k1}e_1-B_{k1}f_1\right)+\left(G_{k2}e_2-B_{k2}f_2\right)+\cdots\\\\
&\qquad-2B_{kk}f_k+\cdots+\left(G_{kn}e_n-B_{kn}f_n\right)\\\\
&=\left(G_{k1}e_1-B_{k1}f_1\right)+\left(G_{k2}e_2-B_{k2}f_2\right)+\cdots\\\\
&\qquad+\left\{\left(G_{kk}e_k-B_{kk}f_k\right)-\left(G_{kk}e_k+B_{kk}f_k\right)\right\}+\cdots+\left(G_{kn}e_n-B_{kn}f_n\right)\\\\
&=\displaystyle \sum_{l=1}^n\left(G_{kl}e_l-B_{kl}f_l\right)-G_{kk}e_k-B_{kk}f_k
\end{align*}$$

 

修正方程式の係数(極座標表示)

あるノード$k$に流れる有効電力$P_k$および無効電力$Q_k$は、「潮流計算における電力方程式」の記事より、

$$\begin{align*}
P_k+jQ_k&=\displaystyle \sum_{l=1}^nY_{kl}e^{-j\theta_{kl}}\cdot V_le^{-j\delta_l}\cdot V_ke^{j\delta_k}\\\\
&=\displaystyle \sum_{l=1}^nY_{kl}V_lV_ke^{j\left(\delta_k-\delta_l-\theta_{kl}\right)}\\\\
&=\displaystyle \sum_{l=1}^nY_{kl}V_lV_ke^{j\left(\delta_{kl}-\theta_{kl}\right)} \left(\delta_{kl}\equiv\delta_{k}-\delta_{l}\right)\\\\
&=\displaystyle \sum_{l=1}^nY_{kl}V_lV_k\left\{\cos\left(\delta_{kl}-\theta_{kl}\right)+j\sin\left(\delta_{kl}-\theta_{kl}\right)\right\} ・・・(18)
\end{align*}$$

 

また、ノード電圧$V_{k}$については

$$V_k=\left|\dot{V}_k\right| ・・・(19)$$

 

klのとき

$(18),\ (19)$式より、ある特定の番号$l=1,2,\cdots,n$(ただし、$k\neq l$)における修正方程式の係数は、

$$\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial P_k}{\partial\delta_l}&=V_kV_l\left(G_{kl}\sin\delta_{kl}-B_{kl}\cos\delta_{kl}\right)\\\\
\displaystyle\frac{\partial Q_k}{\partial\delta_l}&=-V_kV_l\left(G_{kl}\cos\delta_{kl}+B_{kl}\sin\delta_{kl}\right)\\\\
\displaystyle\frac{\partial P_k}{\partial V_l}&=-\displaystyle\frac{V_kV_l\left(G_{kl}\cos\delta_{kl}+B_{kl}\sin\delta_{kl}\right)}{V_l}\\\\
\displaystyle\frac{\partial Q_k}{\partial V_l}&=-\displaystyle\frac{V_kV_l\left(G_{kl}\sin\delta_{kl}-B_{kl}\cos\delta_{kl}\right)}{V_l}\\\\
\displaystyle\frac{\partial V_k}{\partial\delta_l}&=\displaystyle\frac{\partial V_k}{\partial V_l}=0
\end{cases}$$

 

係数の導出はこちら
$(18)$式1行目の両辺を$\delta_l$で偏微分すると、

$$\begin{align*}
\frac{\partial P_k}{\partial\delta_l}+j\frac{\partial Q_k}{\partial\delta_l}&=-jY_{kl}e^{-j\theta_{kl}}\cdot V_le^{-j\delta_l}\cdot V_ke^{j\delta_k}\\\\
&=-j\left(G_{kl}-jB_{kl}\right)V_kV_le^{j\delta_{kl}}\\\\
&=\left(-B_{kl}-jG_{kl}\right)V_kV_l\left(\cos\delta_{kl}+j\sin\delta_{kl}\right)\\\\
&=V_kV_l\left\{\left(G_{kl}\sin\delta_{kl}-B_{kl}\cos\delta_{kl}\right)-j\left(G_{kl}\cos\delta_{kl}+B_{kl}\sin\delta_{kl}\right)\right\}
\end{align*}$$

 

したがって、

$$\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial P_k}{\partial\delta_l}&=V_kV_l\left(G_{kl}\sin\delta_{kl}-B_{kl}\cos\delta_{kl}\right)\\\\
\displaystyle\frac{\partial Q_k}{\partial\delta_l}&=-V_kV_l\left(G_{kl}\cos\delta_{kl}+B_{kl}\sin\delta_{kl}\right)
\end{cases}$$

 

また、$(18)$式1行目の両辺を$V_l$で偏微分すると、

$$\begin{align*}
\frac{\partial P_k}{\partial V_l}+j\frac{\partial Q_k}{\partial V_l}&=Y_{kl}e^{-j\theta_{kl}}\cdot e^{-j\delta_l}\cdot V_ke^{j\delta_k}\\\\
&=j\frac{1}{V_l}\left(-jY_{kl}e^{-j\theta_{kl}}\cdot V_le^{-j\delta_l}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)\\\\
&=j\frac{1}{V_l}\left(\frac{\partial P_k}{\partial\delta_l}+j\frac{\partial Q_k}{\partial\delta_l}\right)\\\\
&=-\frac{1}{V_l}\frac{\partial Q_k}{\partial\delta_l}+j\frac{1}{V_l}\frac{\partial P_k}{\partial\delta_l}
\end{align*}$$

 

したがって、

$$\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial P_k}{\partial V_l}&=-\displaystyle\frac{V_kV_l\left(G_{kl}\cos\delta_{kl}+B_{kl}\sin\delta_{kl}\right)}{V_l}\\\\
\displaystyle\frac{\partial Q_k}{\partial V_l}&=-\displaystyle\frac{V_kV_l\left(G_{kl}\sin\delta_{kl}-B_{kl}\cos\delta_{kl}\right)}{V_l}
\end{cases}$$

 

k=lのとき

次に、$k=l$となる場合の修正方程式の係数は、

$$\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial P_k}{\partial\delta_k}&=-Q_k-B_{kk}V^2_k\\\\
\displaystyle\frac{\partial Q_k}{\partial\delta_k}&=P_k-G_{kk}V^2_k\\\\
\displaystyle\frac{\partial P_k}{\partial V_k}&=\displaystyle\frac{P_k}{V_k}+G_{kk}V_k\\\\
\displaystyle\frac{\partial Q_k}{\partial V_k}&=\displaystyle\frac{Q_k}{V_k}-B_{kk}V_k\\\\
\displaystyle\frac{\partial V_k}{\partial\delta_k}&=0\\\\
\displaystyle\frac{\partial V_k}{\partial V_k}&=1
\end{cases}$$

 

係数の導出はこちら
$(18)$式1行目の右辺において、$k$番目の項は、

$$Y_{kk}e^{-j\theta_{kk}}\cdot V_ke^{-j\delta_k}\cdot V_ke^{j\delta_k}=Y_{kk}e^{-j\theta_{kk}}\cdot V^2_k$$

となり、$\delta_k$に依らない。

 

したがって、同式両辺を$\delta_k$で偏微分すると、

$$\begin{align*}
\frac{\partial P_k}{\partial\delta_k}+j\frac{\partial Q_k}{\partial\delta_k}&=j\left(Y_{k1}e^{-j\theta_{k1}}\cdot V_1e^{-j\delta_1}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)+j\left(Y_{k2}e^{-j\theta_{k2}}\cdot V_2e^{-j\delta_2}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)+\cdots\\\\
&\qquad+0+\cdots+j\left(Y_{kn}e^{-j\theta_{kn}}\cdot V_ne^{-j\delta_n}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)\\\\
&=j\left(Y_{k1}e^{-j\theta_{k1}}\cdot V_1e^{-j\delta_1}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)+j\left(Y_{k2}e^{-j\theta_{k2}}\cdot V_2e^{-j\delta_2}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)+\cdots\\\\
&\qquad+\left\{j\left(Y_{kk}e^{-j\theta_{kk}}\cdot V_ke^{-j\delta_k}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)-j\left(Y_{kk}e^{-j\theta_{kk}}\cdot V_ke^{-j\delta_k}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)\right\}+\cdots\\\\
&\qquad+j\left(Y_{kn}e^{-j\theta_{kn}}\cdot V_ne^{-j\delta_n}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)\\\\
&=j\displaystyle \sum_{l=1}^nY_{kl}e^{-j\theta_{kl}}\cdot V_le^{-j\delta_l}\cdot V_ke^{j\delta_k}-j\left(Y_{kk}e^{-j\theta_{kk}}\cdot V_ke^{-j\delta_k}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)\\\\
&=j\left(P_k+jQ_k\right)-j\left(G_{kk}-jB_{kk}\right)V^2_k\\\\
&=-Q_k-B_{kk}V^2_k+j\left(P_k-G_{kk}V^2_k\right)
\end{align*}$$

 

したがって、

$$\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial P_k}{\partial\delta_k}&=-Q_k-B_{kk}V^2_k\\\\
\displaystyle\frac{\partial Q_k}{\partial\delta_k}&=P_k-G_{kk}V^2_k
\end{cases}$$

 

同様に、

$$\begin{align*}
\frac{\partial P_k}{\partial V_k}+j\frac{\partial Q_k}{\partial V_k}&=\left(Y_{k1}e^{-j\theta_{k1}}\cdot V_1e^{-j\delta_1}\cdot e^{j\delta_k}\right)+\left(Y_{k2}e^{-j\theta_{k2}}\cdot V_2e^{-j\delta_2}\cdot e^{j\delta_k}\right)+\cdots\\\\
&\qquad+2Y_{kk}e^{-j\theta_{kk}}\cdot V_k+\cdots+\left(Y_{kn}e^{-j\theta_{kn}}\cdot V_ne^{-j\delta_n}\cdot e^{j\delta_k}\right)\\\\
&=\frac{1}{V_k}\left\{\left(Y_{k1}e^{-j\theta_{k1}}\cdot V_1e^{-j\delta_1}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)+\left(Y_{k2}e^{-j\theta_{k2}}\cdot V_2e^{-j\delta_2}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)+\cdots\right.\\\\
&\left.\qquad+2Y_{kk}e^{-j\theta_{kk}}\cdot V^2_k+\cdots+\left(Y_{kn}e^{-j\theta_{kn}}\cdot V_ne^{-j\delta_n}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)\right\}\\\\
&=\frac{1}{V_k}\left\{\left(Y_{k1}e^{-j\theta_{k1}}\cdot V_1e^{-j\delta_1}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)+\left(Y_{k2}e^{-j\theta_{k2}}\cdot V_2e^{-j\delta_2}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)+\cdots\right.\\\\
&\qquad+\left(Y_{kk}e^{-j\theta_{kk}}\cdot V_ke^{-j\delta_k}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)+\left(Y_{kk}e^{-j\theta_{kk}}\cdot V_ke^{-j\delta_k}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)+\cdots\\\\
&\left.\qquad+\left(Y_{kn}e^{-j\theta_{kn}}\cdot V_ne^{-j\delta_n}\cdot V_ke^{j\delta_k}\right)\right\}\\\\
&=\frac{1}{V_k}\displaystyle \sum_{l=1}^nY_{kl}e^{-j\theta_{kl}}\cdot V_le^{-j\delta_l}\cdot V_ke^{j\delta_k}+Y_{kk}e^{-j\theta_{kk}}\cdot V_k\\\\
&=\frac{P_k+jQ_k}{V_k}+\left(G_{kk}-jB_{kk}\right)V_k\\\\
&=\frac{P_k}{V_k}+G_{kk}V_k+j\left(\frac{Q_k}{V_k}-B_{kk}V_k\right)
\end{align*}$$

 

したがって、

$$\begin{cases}
\displaystyle\frac{\partial P_k}{\partial V_k}&=\displaystyle\frac{P_k}{V_k}+G_{kk}V_k\\\\
\displaystyle\frac{\partial Q_k}{\partial V_k}&=\displaystyle\frac{Q_k}{V_k}-B_{kk}V_k
\end{cases}$$

 





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参考文献

 

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