直流法による潮流計算

本記事では、潮流計算の手法の1つである直流法について解説する。





直流法の考え方

直流法とは

直流法は、電力系統の潮流分布(有効電力)について、収束計算を用いずに1回の計算のみで近似値を求める手法である。

この直流法に対し、ニュートン・ラフソン法のような収束計算による厳密な計算手法を交流法という。

過去に電験の問題として出題された際の名称は「簡易法」となっていたが、あまり一般的な名称ではないようなので、本記事では「直流法」で呼称する。

 

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直流法の計算式

直流法による考え方を理解するために、図1のような2つのノードからなる送電線を考える。

同図の送電線は抵抗成分および対地静電容量を無視し、線路リアクタンス(直列リアクタンス)$X$のみが存在するものとする。

また、送電端電圧を$\dot{V}_\mathrm{s}=V_\mathrm{s}\angle 0$,受電端電圧を$\dot{V}_\mathrm{r}=V_\mathrm{r}\angle-\delta$とする(位相の基準を送電端とする)。

 

図1 2つのノードからなる送電線

 

図1において、送電線を流れる電流$\dot{I}$は、

$$\begin{align*}
\dot{I}&=\frac{\dot{V}_\mathrm{s}-\dot{V}_\mathrm{r}}{jX}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{s}\angle 0-V_\mathrm{r}\angle-\delta}{jX}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{s}-V_\mathrm{r}\left\{\cos\left(-\delta\right)+j\sin\left(-\delta\right)\right\}}{jX}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{s}-V_\mathrm{r}\left(\cos\delta-j\sin\delta\right)}{jX} ・・・(1)
\end{align*}$$

 

ここで、送電線の抵抗成分は無視するため、図1の潮流(有効電力)$P$は送受電端で等しく、その大きさは$(1)$式より、

$$\begin{align*}
P&=\mathrm{Re}\left\{\dot{V}_\mathrm{s}\cdot\overline{\dot{I}}\right\}\\\\
&=\mathrm{Re}\left[V_\mathrm{s}\cdot\overline{\left\{\frac{V_\mathrm{s}-V_\mathrm{r}\left(\cos\delta-j\sin\delta\right)}{jX}\right\}}\right]\\\\
&=\mathrm{Re}\left\{V_\mathrm{s}\cdot\frac{V_\mathrm{s}-V_\mathrm{r}\left(\cos\delta+j\sin\delta\right)}{-jX}\right\}\\\\
&=\mathrm{Re}\left\{\frac{V^2_\mathrm{s}-V_\mathrm{s}V_\mathrm{r}\left(\cos\delta+j\sin\delta\right)}{-jX}\right\}\\\\
&=\mathrm{Re}\left\{\frac{V_\mathrm{s}V_\mathrm{r}}{X}\sin\delta+j\frac{V^2_\mathrm{s}-V_\mathrm{s}V_\mathrm{r}\cos\delta}{X}\right\}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{s}V_\mathrm{r}}{X}\sin\delta ・・・(2)
\end{align*}$$

 

ここで、通常の電力系統では$V_\mathrm{s}=V_\mathrm{r}\fallingdotseq1.0\mathrm{p.u.}$であり、かつ$\delta$が小さいとき$\sin\delta\fallingdotseq\delta$であるから、$(2)$式は、

$$P\fallingdotseq\frac{\delta}{X} ・・・(3)$$

 

$(3)$式には「送電線の潮流(有効電力)$P$は、ノード間の位相差$\delta$および線路リアクタンス$X$で決定される」という、直流回路におけるオームの法則(潮流→電流、位相差→電位差、線路リアクタンス→抵抗)に似た意味合いがある。

このように直流法は、($(3)$式を求める際の)近似条件下において、電力系統の潮流計算を直流回路の計算と同様に行える手法となる。

 

直流法を用いる場合の注意点

直流法は、前項のように電圧変動の影響や電力損失がないという仮定のもとで計算する手法となる。

そのため、上記の条件が成り立たない場合には誤差が大きくなるので、注意を要する。

(ただ、特に超高圧系統においては送電線の抵抗成分はリアクタンス成分に比べて小さく、計算誤差があまり問題にならない場合が多い)

 

直流法は有効電力潮流のみに注目したい場合、潮流の概略の分布を知りたい(高い精度を必要としない)場合などに用いられる。

 

多ノード系統における直流法の計算式

潮流の計算式①

前節の考え方を多ノード系統にも適用する。

$n$個のノードからなり、電力損失がない系統において、あるノード$k$から別のノード$l$に流れる潮流$P_{kl}$は、ノード間の電圧の位相差を$\delta_{kl}=\delta_k-\delta_l$,ノード間に接続されるブランチのリアクタンスを$X_{kl}$とすれば、$(3)$式を用いて次のように表せる。

$$P_{kl}=\frac{\delta_{kl}}{X_{kl}}=\frac{\delta_k-\delta_l}{X_{kl}} ・・・(4)$$

 

直流法では潮流に対してキルヒホッフの第一法則が成り立ち、あるノード$k$に流入する電力$P_k$は、$(4)$式より、

$$\begin{align*}
P_k&=\frac{\delta_{k1}}{X_{k1}}+\frac{\delta_{k2}}{X_{k2}}+\cdots+\frac{\delta_{kn}}{X_{kn}}\\\\
&=\displaystyle \sum_{l=1}^n \frac{\delta_{kl}}{X_{kl}} ・・・(5)
\end{align*}$$

$(5)$式においては、$k=l$のとき$\delta_{kk}=\delta_{k}-\delta_{k}=0,\ X_{kl}=\infty$(ブランチ自体が存在しない)となり$\displaystyle\frac{\delta_{kl}}{X_{kl}}=0$となるため、「$k\neq l$」の条件付けをしている文献もあるが、本記事ではこの場合も含めた表記としている。

 

ここで、$\delta_{kl}=\delta_k-\delta_l$の関係を用いて、$(5)$式を変形すると、

$$\begin{align*}
P_k&=\frac{\delta_{k}-\delta_{1}}{X_{k1}}+\frac{\delta_{k}-\delta_{2}}{X_{k2}}+\cdots+\frac{\delta_{k}-\delta_{n}}{X_{kn}}\\\\
&=-\frac{\delta_{1}}{X_{k1}}-\frac{\delta_{2}}{X_{k2}}-\cdots+\left(\frac{1}{X_{k1}}+\frac{1}{X_{k2}}+\cdots+\frac{1}{X_{kn}}\right)\delta_{k}-\cdots-\frac{\delta_{n}}{X_{kn}}\\\\
&=-\frac{\delta_{1}}{X_{k1}}-\frac{\delta_{2}}{X_{k2}}-\cdots+\displaystyle \sum_{l=1}^n \frac{\delta_k}{X_{kl}}-\cdots-\frac{\delta_{n}}{X_{kn}} ・・・(5)’
\end{align*}$$

 

$(5)’$式は$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$のいずれの場合も成り立つため、電力$P_1,\ P_2,\ \cdots,\ P_n$と電圧位相$\delta_1,\ \delta_2,\ \cdots,\ \delta_n$の関係を行列を用いて表現すると、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} P_1 \\ P_2 \\ \vdots \\ P_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \displaystyle \sum_{l=1}^n \frac{1}{X_{1l}} & \displaystyle-\frac{1}{X_{12}} & \cdots & \displaystyle-\frac{1}{X_{1n}} \\ \displaystyle-\frac{1}{X_{21}} & \displaystyle \sum_{l=1}^n \frac{1}{X_{2l}} & \cdots & \displaystyle-\frac{1}{X_{2n}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle-\frac{1}{X_{n1}} & \displaystyle-\frac{1}{X_{n2}} & \cdots &\displaystyle \sum_{l=1}^n \frac{1}{X_{nl}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \delta_{1} \\ \delta_{2} \\ \vdots \\ \delta_{n} \end{array}\right)
\end{align*} ・・・(6)$$

 

$(6)$式が$n$個のノードからなる系統における潮流の計算式となる。

 

なお、$(6)$式の係数行列($n$次の正方行列)は、電力方程式のノードアドミタンス行列に相当する。

 

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潮流の計算式②

$(6)$式で、電力$P_1,\ P_2,\ \cdots,\ P_n$の式をすべて足し合わせると、

$$P_1+P_2+\cdots+P_n=0 ・・・(7)$$

 

$(7)$式は電力損失がないという条件下において成り立つものであり、各ノードにおける流入電力の合計値は$0$になることを示している。

 

ここで、同式を変形すると、あるノード$k$における流入電力$P_k$は、

$$P_k=-P_1-P_2-\cdots-P_{k-1}-P_{k+1}-\cdots-P_n ・・・(7)’$$

となる。$(7)’$式は「あるノードにおける流入電力は、その他の$n-1$個のノードにおける流入電力を用いて表すことができる」ことを示している。

 

またここで、前項の$(5)’$式を変形すると、

$$\begin{align*}
P_k&=-\frac{\delta_{1}}{X_{k1}}-\frac{\delta_{2}}{X_{k2}}-\cdots+\left(\frac{1}{X_{k1}}+\frac{1}{X_{k2}}+\cdots+\frac{1}{X_{kn}}\right)\delta_{k}-\cdots-\frac{\delta_{n}}{X_{kn}}\\\\
&=-\frac{\delta_{1}}{X_{k1}}-\frac{\delta_{2}}{X_{k2}}-\cdots+\left(\frac{1}{X_{k1}}+\frac{1}{X_{k2}}+\cdots+\frac{1}{X_{kn}}\right)\delta_{k}-\cdots-\frac{\delta_{n}}{X_{kn}}\\\\
&\qquad+\left(\frac{1}{X_{k1}}+\frac{1}{X_{k2}}+\cdots+\frac{1}{X_{kn}}\right)\delta_{n}-\left(\frac{1}{X_{k1}}+\frac{1}{X_{k2}}+\cdots+\frac{1}{X_{kn}}\right)\delta_{n}\\\\
&=-\frac{\delta_{1}-\delta_{n}}{X_{k1}}-\frac{\delta_{2}-\delta_{n}}{X_{k2}}-\cdots+\left(\frac{1}{X_{k1}}+\frac{1}{X_{k2}}+\cdots+\frac{1}{X_{kn}}\right)\left(\delta_{k}-\delta_{n}\right)\\\\
&\qquad-\cdots-\frac{\delta_{n-1}-\delta_{n}}{X_{k,n-1}}-\frac{\delta_{n}-\delta_{n}}{X_{kn}}\\\\
&=-\frac{\delta_{1n}}{X_{k1}}-\frac{\delta_{2n}}{X_{k2}}-\cdots+\displaystyle \sum_{l=1}^n \frac{\delta_{kn}}{X_{kl}}-\cdots-\frac{\delta_{n-1,n}}{X_{k,n-1}} ・・・(5)^{”}
\end{align*}$$

 

$(5)^{”}$式は$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n-1$のいずれの場合も成り立つため、電力$P_1,\ P_2,\ \cdots,\ P_{n-1}$と、$n$番目のノードを基準としたときの電圧位相差$\delta_{1n},\ \delta_{2n},\ \cdots,\ \delta_{n-1,n}$の関係を行列を用いて表現すると、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} P_1 \\ P_2 \\ \vdots \\ P_{n-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \displaystyle \sum_{l=1}^n \frac{1}{X_{1l}} & \displaystyle-\frac{1}{X_{12}} & \cdots & \displaystyle-\frac{1}{X_{1,n-1}} \\ \displaystyle-\frac{1}{X_{21}} & \displaystyle \sum_{l=1}^n \frac{1}{X_{2l}} & \cdots & \displaystyle-\frac{1}{X_{2,n-1}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle-\frac{1}{X_{n1}} & \displaystyle-\frac{1}{X_{n2}} & \cdots &\displaystyle \sum_{l=1}^n \frac{1}{X_{n-1,l}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \delta_{1n} \\ \delta_{2n} \\ \vdots \\ \delta_{n-1,n} \end{array}\right) ・・・(8)
\end{align*}$$

 

$(8)$式も$n$個のノードからなる系統における潮流の計算式となるが、$(6)$式と比較して1つ少ない$n-1$個の式にて計算することができる。

(係数行列も$\left(n-1\right)$次の正方行列となる)

これは$P_1,\ P_2,\ \cdots,\ P_n$のうち$n-1$個の解が得られれば、$(7)’$式によって$n$番目の解を得られることからもわかる。

 

 

直流法の計算例

最後に、直流法を潮流計算に適用した場合の例を紹介する。

適用系統と計算条件

今回も適用例として「ニュートン・ラフソン法による潮流計算(実践編)」でも用いたものと同じ、図2に示すような3母線の電力系統を扱う。

 

図2 3母線の電力系統

 

図2の系統における計算条件は、下記とする(いずれの値も単位は$[\mathrm{p.u.}]$とする)。

  • 母線1は発電機ノードであり、供給電力$P_1=0.3$,電圧位相$\delta_1=0$である。
  • 母線2は発電機ノードであり、供給電力$P_2=0.7$である。
  • 母線3は負荷ノードである。
  • いずれの線路も、直列リアクタンスのみが存在し$X_{12}=X_{21}=X_{23}=X_{32}=X_{13}=X_{31}=0.1$とする。

 

今回の計算の目的として、上記の条件を満たすような母線2および3の位相$\delta_2,\ \delta_3$を求めていく。

なお、上記の条件を図2に反映したものを図3に示す。

 

図3 3母線の電力系統(条件反映)

 

計算結果

前項の条件を$(8)$式に当てはめると、直流法による潮流の計算式は下記となる。

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} P_1 \\ P_2 \end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} \displaystyle\frac{1}{X_{12}}+\frac{1}{X_{13}} & \displaystyle-\frac{1}{X_{12}} \\ \displaystyle-\frac{1}{X_{21}} & \displaystyle \displaystyle\frac{1}{X_{21}}+\frac{1}{X_{23}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \delta_{13} \\ \delta_{23} \end{array}\right)
\end{align*}$$

 

上式に各値を代入し、位相差$\delta_{13},\ \delta_{23}$を計算すると、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} 0.3 \\ 0.7 \end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} \displaystyle\frac{1}{0.1}+\frac{1}{0.1} & \displaystyle-\frac{1}{0.1} \\ \displaystyle-\frac{1}{0.1} & \displaystyle \frac{1}{0.1}+\frac{1}{0.1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \delta_{13} \\ \delta_{23} \end{array}\right)\\\\
&=\left(\begin{array}{cc} 20 & -10 \\ \displaystyle-10 & \displaystyle 20 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \delta_{13} \\ \delta_{23} \end{array}\right)\\\\
\therefore\left(\begin{array}{c} \delta_{13} \\ \delta_{23} \end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc} 20 & -10 \\ \displaystyle-10 & \displaystyle 20 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} 0.3 \\ 0.7 \end{array}\right)\\\\
&=\frac{1}{30}\left(\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ \displaystyle 1 & \displaystyle 2 \end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{c} 0.3 \\ 0.7 \end{array}\right)\\\\
&=\left(\begin{array}{c} 0.043333 \\ 0.056667 \end{array}\right)
\end{align*}$$

 

ここで、$\delta_{1}=0$より、求める$\delta_{2},\ \delta_{3}$は、

$$\begin{align*}
\delta_{13}&=\delta_{1}-\delta_{3}\\\\
&=-\delta_{3}\\\\
\therefore\delta_{3}&=-\delta_{13}\\\\
&=-0.043333\\\\\\
\delta_{23}&=\delta_{2}-\delta_{3}\\\\
\therefore\delta_{2}&=\delta_{23}+\delta_{3}\\\\
&=0.056667-0.043333\\\\
&=0.013333
\end{align*}$$

 

上記の値をニュートン・ラフソン法で求めた厳密解$\delta_{2}=0.011542,\ \delta_{3}=-0.037349$と比較すると、両者の差(誤差)は、

$$\begin{align*}
\delta_{2}:&\left|0.013333-0.011542\right|=1.791\times10^{-3}\\\\
\delta_{3}:&\left|-0.043333+0.037349\right|=5.984\times10^{-3}
\end{align*}$$

誤差としては$10\%$程度となった(値の大きさが小さいため、少し誤差が高めに出た可能性もある)。

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さらに、各母線間に流れる潮流$P_{12},\ P_{13},\ P_{23}$を$(4)$式を用いて計算すると、

$$\begin{align*}
P_{12}&=\frac{\delta_{12}}{X_{12}}=\frac{0-0.013333}{0.1}=-0.13333\\\\
P_{13}&=\frac{\delta_{13}}{X_{13}}=\frac{0.043333}{0.1}=0.43333\\\\
P_{23}&=\frac{\delta_{23}}{X_{23}}=\frac{0.056667}{0.1}=0.56667
\end{align*}$$

 

上記の結果より、各潮流は母線2→1の方向に$0.13333\mathrm{p.u.}$,母線1→3の方向に$0.43333\mathrm{p.u.}$,母線2→3の方向に$0.56667\mathrm{p.u.}$となる。

 

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参考文献