本記事では、潮流計算を行うために必要となる電力方程式について解説する。
潮流計算を行うための要素
潮流計算（Load flow（またはPower flow）analysis）は、電力系統における発電機の発電出力や負荷の消費電力が与えられた場合、送電線等を流れる潮流や各部の電圧および位相を計算する手法となる。
以下、潮流計算を行うための要素について解説する。
ブランチとノード
電力系統は、発電機や変圧器、送電線および負荷などの要素で構成される。
潮流計算では、このうち変圧器や送電線などの電力を送るための設備はブランチ（branch）として扱う。
そして、発電機や負荷などの端子、および2つ以上のブランチを接続するための母線等はノード（node）という。
ブランチおよびノードには（後述する図1のように）それぞれに番号が割り振られる。
ノードの種類
ノードには変数として有効電力$P$，無効電力$Q$，電圧（大きさ）$V$，位相角$\delta$の4つの変数（または電圧を直交座標表示して$\dot{V}\equiv e+jf$とする場合、その実部$e$および虚部$f$）が存在する。
潮流計算ではこのうち2つが指定され、残りの2つの未知量を求めることになる。
ここで、潮流計算におけるノードの種類について表1 にまとめる。
表1 潮流計算におけるノードの種類
| ノード名称 | 既知量 | 未知量 | 対象ノード |
|---|---|---|---|
| $P-V$指定ノード | 有効電力$P$ 電圧$V$ | 無効電力$Q$ 位相角$\delta$ | 発電機ノード |
| $P-Q$指定ノード | 有効電力$P$ 無効電力$Q$ | 電圧$V$ 位相角$\delta$ | 負荷ノード |
| スラックノード（基準ノード） | 電圧$V$ 位相角$\delta=0$ | 有効電力$P$ 無効電力$Q$ | 少なくとも特定の１つのノード （発電機ノードや連系線ノード） |
電力系統の構成要素のうち、発電機が接続される発電機ノードは、は送り出される有効電力（発電電力）が既知の値で、かつAVR（自動電圧調整器）によって送電端電圧も調整されるので、一般に$P-V$指定ノード（$P-V$ nodes）とされる。
一方、負荷が接続される負荷ノードは有効電力（消費電力）を既知の値として考え、かつ力率により無効電力も求まるので、$P-Q$指定ノード（$P-Q$ nodes）という。
また、これ以外に系統で生じる送電損失については未知量であるため、その調整用のためにスラックノード（slack node）が設定される。
スラックノードは系統全体の有効電力のバランスをとる目的で、少なくとも特定の１つのノード（発電機ノードや連系線ノード）にのみ指定される。
さらに、基準ノード（reference node）は位相の基準となるもので、便宜上スラックノードと同一のものとされる。
ノードアドミタンス行列
ノードアドミタンス行列とは
電力系統に流れるノード電流$\boldsymbol{\dot{I}}=\displaystyle\left(\begin{array}{c}\dot{I}_1\\\dot{I}_2\\ \vdots \\\dot{I}_n \end{array}\right)$とノード電圧$\boldsymbol{\dot{V}}=\displaystyle\left(\begin{array}{c}\dot{V}_1\\\dot{V}_2\\ \vdots \\ \dot{V}_n \end{array}\right)$の間には、次の関係が成立する。
または、
$$\boldsymbol{\dot{I}}=\boldsymbol{\dot{Y}}\boldsymbol{\dot{V}} ・・・(1)’$$
もしくは、
$$\dot{I}_k=\displaystyle \sum_{l=1}^n\dot{Y}_{kl}\dot{V}_l \left(k=1,\ 2,\ \cdots,\ n\right) ・・・(1)^{”}$$
この$\boldsymbol{\dot{Y}}=\displaystyle\left(\begin{array}{cc} \dot{Y}_{11} & \dot{Y}_{12} & \cdots & \dot{Y}_{1n} \\\dot{Y}_{21} & \dot{Y}_{22} & \cdots & \dot{Y}_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dot{Y}_{n1} & \dot{Y}_{n2} & \cdots & \dot{Y}_{nn}\end{array}\right)$をノードアドミタンス行列（または単に$\boldsymbol{Y}$行列）という。
なお、ノードアドミタンス行列のうち、対角要素$Y_{kk}$は駆動点アドミタンス、非対角要素$Y_{kl}$は伝達アドミタンスという。
ノードアドミタンス行列の逆行列をノードインピーダンス行列（または単に$\boldsymbol{Z}$行列）という。
$(1)\sim(1)^{”}$式をノードインピーダンス行列$\boldsymbol{\dot{Z}}=\boldsymbol{\dot{Y}^{-1}}=\displaystyle\left(\begin{array}{cc} \dot{Z}_{11} & \dot{Z}_{12} & \cdots & \dot{Z}_{1n} \\\dot{Z}_{21} & \dot{Z}_{22} & \cdots & \dot{Z}_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dot{Z}_{n1} & \dot{Z}_{n2} & \cdots & \dot{Z}_{nn}\end{array}\right)$を用いて書き換えると、
$$\left(\begin{array}{c}\dot{V}_1\\\dot{V}_2\\ \vdots \\\dot{V}_n \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \dot{Z}_{11} & \dot{Z}_{12} & \cdots & \dot{Z}_{1n} \\\dot{Z}_{21} & \dot{Z}_{22} & \cdots & \dot{Z}_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dot{Z}_{n1} & \dot{Z}_{n2} & \cdots & \dot{Z}_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{I}_1\\\dot{I}_2\\ \vdots \\ \dot{I}_n \end{array}\right)$$
または、
$$\boldsymbol{\dot{V}}=\boldsymbol{\dot{Z}}\boldsymbol{\dot{I}}$$
もしくは、
$$\dot{V}_k=\displaystyle \sum_{l=1}^n\dot{Z}_{kl}\dot{I}_l \left(k=1,\ 2,\ \cdots,\ n\right)$$
実際の系統における例
例として、電験一種二次試験「電力・管理」令和3年度問3にて出題された、3母線の電力系統を扱う。
図1 3母線の電力系統
図1の系統において、条件は下記とする（実際に試験問題として出題されたものとは異なるため、注意してほしい）。
- 各線路は$\pi$形等価回路で表される。
- 線路$k-l$の直列リアクタンスを$X_{kl}$，対地静電容量$C_{kl}$とする（なお、角周波数は$\omega$とする）。
上記の条件を図1の系統に反映させたものを図2に示す。
図2 3母線の電力系統（直列リアクタンスおよび対地静電容量を図示）
図2の系統において、母線1の電流$\dot{I}_1$は、キルヒホッフの電流則より、
\dot{I}_1&=\frac{\dot{V}_1-\dot{V}_2}{jX_{12}}+\frac{\dot{V}_1-\dot{V}_3}{jX_{13}}+\frac{j\omega C_{12}}{2}\dot{V}_1+\frac{j\omega C_{13}}{2}\dot{V}_1\\\\
&=j\left(-\frac{1}{X_{12}}-\frac{1}{X_{13}}+\frac{\omega C_{12}}{2}+\frac{\omega C_{13}}{2}\right)\dot{V}_1+j\frac{1}{X_{12}}\dot{V}_2+j\frac{1}{X_{13}}\dot{V}_3 ・・・(2)
\end{align*}$$
同様に、母線2,3の電流$\dot{I}_2,\ \dot{I}_3$は、
\dot{I}_2&=\frac{\dot{V}_2-\dot{V}_1}{jX_{12}}+\frac{\dot{V}_2-\dot{V}_3}{jX_{23}}+\frac{j\omega C_{12}}{2}\dot{V}_2+\frac{j\omega C_{23}}{2}\dot{V}_2\\\\
&=j\frac{1}{X_{12}}\dot{V}_1+j\left(-\frac{1}{X_{12}}-\frac{1}{X_{23}}+\frac{\omega C_{12}}{2}+\frac{\omega C_{23}}{2}\right)\dot{V}_2+j\frac{1}{X_{23}}\dot{V}_3 ・・・(3)\\\\
\dot{I}_3&=\frac{\dot{V}_3-\dot{V}_1}{jX_{13}}+\frac{\dot{V}_3-\dot{V}_2}{jX_{23}}+\frac{j\omega C_{13}}{2}\dot{V}_3+\frac{j\omega C_{23}}{2}\dot{V}_3\\\\
&=j\frac{1}{X_{13}}\dot{V}_1+j\frac{1}{X_{23}}\dot{V}_2+j\left(-\frac{1}{X_{13}}-\frac{1}{X_{23}}+\frac{\omega C_{13}}{2}+\frac{\omega C_{23}}{2}\right)\dot{V}_3 ・・・(4)
\end{align*}$$
$(2)\sim(4)$式をまとめると、
$$\left(\begin{array}{c}\dot{I}_1\\\dot{I}_2 \\ \dot{I}_3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \dot{Y}_{11} & \dot{Y}_{12} & \dot{Y}_{13} \\\dot{Y}_{21} & \dot{Y}_{22} & \dot{Y}_{23}\\ \dot{Y}_{31} & \dot{Y}_{32} & \dot{Y}_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{V}_1\\\dot{V}_2\\ \dot{V}_3 \end{array}\right) ・・・(5)$$
ただし、
\dot{Y}_{11}&=j\left(-\frac{1}{X_{12}}-\frac{1}{X_{13}}+\frac{\omega C_{12}}{2}+\frac{\omega C_{13}}{2}\right)\\\\
\dot{Y}_{22}&=j\left(-\frac{1}{X_{12}}-\frac{1}{X_{23}}+\frac{\omega C_{12}}{2}+\frac{\omega C_{23}}{2}\right)\\\\
\dot{Y}_{33}&=j\left(-\frac{1}{X_{13}}-\frac{1}{X_{23}}+\frac{\omega C_{13}}{2}+\frac{\omega C_{23}}{2}\right)\\\\
\dot{Y}_{12}&=\dot{Y}_{21}=j\frac{1}{X_{12}}\\\\
\dot{Y}_{13}&=\dot{Y}_{31}=j\frac{1}{X_{13}}\\\\
\dot{Y}_{23}&=\dot{Y}_{32}=j\frac{1}{X_{23}}
\end{align*}$$
$(5)$式より、駆動点アドミタンス$\dot{Y}_{kk}\left(k=1,\ 2,\ 3\right)$は、ノードに接続される線路の直列アドミタンスおよび対地アドミタンスの総和で求められる。
また、伝達アドミタンスは線路の直列アドミタンスで求められ、$\dot{Y}_{kl}=\dot{Y}_{lk}\left(k=1,\ 2,\ 3,\ l=1,\ 2,\ 3,\ k\neq l\right)$となり、ノードアドミタンス行列は対称行列となる。
図1ではノード数（母線）が3であったが、系統の規模が大きくなると、ノード数に対するブランチ（線路）の数は相対的に少なくなる。
このとき、ノードアドミタンス行列の要素が0になる割合が増え、疎行列（成分のほとんどが0である行列）の特徴をもつ。
一方、その逆行列であるノードインピーダンス行列はすべての要素が0ではないという特徴があり、計算が複雑になるため、一般的に潮流計算には用いられない。
電力方程式
電力方程式とは
電力系統において、あるノード$k$に流れる有効電力$P_k$および無効電力$Q_k$（遅れ無効電力を正とする）として、複素電力$\dot{S}_k$をそのノードの電圧$V_k$および電流$I_k$で表すと、
$$S_k=P_k+jQ_k=\dot{V}_k\overline{\dot{I}_k} ・・・(6)$$
本記事では、有効電力、無効電力および複素電力の定義式とその導出について解説する。有効電力の定義式電圧・電流の瞬時値の式時間$t$で値が変化する交流波形で表される電圧および電流の瞬時値を$v(t)$[…]
$(6)$式に$(1)^{”}$式を代入すると、
$$S_k=P_k+jQ_k=\displaystyle \sum_{l=1}^n\overline{\dot{Y}}_{kl}\overline{\dot{V}}_l\dot{V}_k ・・・(7)$$
となり、複素電力$\dot{S}_k$をノードアドミタンス行列を用いて表すことができる。これを電力方程式（power equation）という。
なお、$P-Q$指定ノードにおいて有効電力および無効電力の指定値を$P_{ks},\ Q_{ks}$とするとき、電力方程式は次式のようになる。
$$P_{ks}+jQ_{ks}=\displaystyle \sum_{l=1}^n\overline{\dot{Y}}_{kl}\overline{\dot{V}}_l\dot{V}_k ・・・(8)$$
一方、$P-V$指定ノードにおいて有効電力および電圧の指定値を$P_{ks},\ V_{ks}$とするとき、電力方程式は次式のようになる。
$$\begin{cases}
P_{ks}&=\mathrm{Re}\left\{\displaystyle \sum_{l=1}^n\overline{\dot{Y}}_{kl}\overline{\dot{V}}_l\dot{V}_k\right\}\\\\
V_{ks}&=\left|\dot{V}_k\right|
\end{cases} ・・・(9)$$
電力方程式の直交座標表示
ここで、ノードアドミタンス行列の要素$\dot{Y}_{kl}$について、
$$\dot{Y}_{kl}\equiv G_{kl}+jB_{kl}$$
として、またノード電圧$\dot{V}_{k},\ \dot{V}_{l}$について、
$$\dot{V}_{k}\equiv e_k+jf_k,\ \dot{V}_{l}\equiv e_l+jf_l$$
とおくと、$(7)$式の電力方程式は、
P_k+jQ_k&=\displaystyle \sum_{l=1}^n\left(G_{kl}-jB_{kl}\right)\left(e_l-jf_l\right)\left(e_k+jf_k\right)\\\\
&=\displaystyle \sum_{l=1}^n\left\{G_{kl}e_l-B_{kl}f_l-j\left(G_{kl}f_l+B_{kl}e_l\right)\right\}\left(e_k+jf_k\right)\\\\
&=\displaystyle \sum_{l=1}^n\left[G_{kl}\left(e_ke_l+f_kf_l\right)-B_{kl}\left(e_kf_l-e_lf_k\right)+j\left\{G_{kl}\left(e_lf_k-e_kf_l\right)-B_{kl}\left(e_ke_l+f_kf_l\right)\right\}\right] ・・・(10)
\end{align*}$$
$(10)$式より、あるノード$k$に流れる有効電力$P_k$および無効電力$Q_k$は、
P_k&=\displaystyle \sum_{l=1}^n\left\{G_{kl}\left(e_ke_l+f_kf_l\right)-B_{kl}\left(e_kf_l-e_lf_k\right)\right\}\\\\
Q_k&=\displaystyle \sum_{l=1}^n\left\{G_{kl}\left(e_lf_k-e_kf_l\right)-B_{kl}\left(e_ke_l+f_kf_l\right)\right\}
\end{cases} ・・・(11)$$
また、ノード電圧の大きさの2乗$V^2_{k}$は、
$$V^2_k=e^2_k+f^2_k ・・・(12)$$
$(11),\ (12)$式が直交座標表示された電力方程式となる。
これらの式より、ノード数が$n$である系統において、未知量は$e_1,\ f_1,\ e_2,\ f_2\ ,\cdots,\ e_n,\ f_n$の$2n$個となる。
また、$P-Q$指定ノードであれば有効電力と無効電力（$(11)$式の$P_k$と$Q_k$）、$P-V$指定ノードであれば有効電力と電圧（$(11)$式の$P_k$および$(12)$式の$V_k$）の2条件が与えられるため、結局$2n$本の方程式が立てられる。
以上より、潮流計算では未知量が$2n$個存在する$2n$本の連立非線形方程式を解くことが目的となる。
電力方程式の極座標表示
一方、ノードアドミタンス行列の要素$\dot{Y}_{kl}$について、
$$\dot{Y}_{kl}\equiv Y_{kl}e^{j\theta_{kl}}$$
として、またノード電圧$\dot{V}_{k},\ \dot{V}_{l}$について、
$$\dot{V}_{k}\equiv V_ke^{j\delta_k},\ \dot{V}_{l}\equiv V_le^{j\delta_l}$$
とおくと、$(7)$式の電力方程式は、
P_k+jQ_k&=\displaystyle \sum_{l=1}^nY_{kl}e^{-j\theta_{kl}}\cdot V_le^{-j\delta_l}\cdot V_ke^{j\delta_k}\\\\
&=\displaystyle \sum_{l=1}^nY_{kl}V_lV_ke^{j\left(\delta_k-\delta_l-\theta_{kl}\right)}\\\\
&=\displaystyle \sum_{l=1}^nY_{kl}V_lV_ke^{j\left(\delta_{kl}-\theta_{kl}\right)} \left(\delta_{kl}\equiv\delta_{k}-\delta_{l}\right)\\\\
&=\displaystyle \sum_{l=1}^nY_{kl}V_lV_k\left\{\cos\left(\delta_{kl}-\theta_{kl}\right)+j\sin\left(\delta_{kl}-\theta_{kl}\right)\right\} ・・・(13)
\end{align*}$$
$(13)$式より、あるノード$k$に流れる有効電力$P_k$および無効電力$Q_k$は、
P_k&=\displaystyle \sum_{l=1}^nY_{kl}V_lV_k\cos\left(\delta_{kl}-\theta_{kl}\right)\\\\
Q_k&=\displaystyle \sum_{l=1}^nY_{kl}V_lV_k\sin\left(\delta_{kl}-\theta_{kl}\right)
\end{cases} ・・・(14)$$
また、ノード電圧$V_{k}$については
$$V_k=\left|\dot{V}_k\right| ・・・(15)$$
$(14),\ (15)$式が極座標表示された電力方程式となる。
これらの式より、ノード数が$n$である系統において、変数は$P_1,\ Q_1,\ V_1,\ \delta_1,\ P_2,\ Q_2,\ V_2,\ \delta_2,\ \cdots,\ P_n,\ Q_n,\ V_n,\ \delta_n$の$4n$個となる。
また、$P-Q$指定ノードであれば有効電力と無効電力（$(14)$式の$P_k$と$Q_k$）、$P-V$指定ノードであれば有効電力と電圧（$(14)$式の$P_k$および$(15)$式の$V_k$）の2条件が与えられ、既知量の数は$2n$個存在することになるため、未知量の数としては$4n-2n=2n$となる。
そして、方程式の数は$2n$本となる。
以上より、こちらも未知量が$2n$個存在する$2n$本の連立非線形方程式となる。
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参考文献
- 電気学会『電気工学ハンドブック 第7版』オーム社，2013
- 関根泰次『電力系統過渡解析論』オーム社，1984
- 新田目倖造『電力系統技術計算の基礎』電気書院，1981
- 加藤政一『詳解電力系統工学』東京電機大学出版局，2017
著書・製品のご紹介
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