本記事では、四端子回路に関する相反定理について解説する。
相反定理
図1のような四端子回路において、下記の条件を考える。
- 図1の四端子回路は内部に電源がなく、かつ受動線形素子（抵抗、インダクタンス、コンデンサなど）で構成される。
- 回路の端子$1-1’$を開放、かつ端子$2-2’$間を短絡したとき（図1上）、端子$1-1’$間に発生する開放電圧を$\dot{V}_1$, 端子$2-2’$間に流れる短絡電流を$\dot{I}_1$とする。
（このとき、端子$1-1’$間に流れる電流は開放状態なのでゼロである） - 端子$2-2’$を開放、かつ端子$1-1’$間を短絡したとき（図1下）、端子$2-2’$間に発生する開放電圧を$\dot{V}_2$, 端子$1-1’$間に流れる短絡電流を$\dot{I}_2$とする。
（このとき、端子$2-2’$間に流れる電流は開放状態なのでゼロである）
図1 相反回路
上記の条件下において、
$$\left.\frac{\dot{V}_1}{\dot{I}_1}\right|_ {\dot{I}_2=0}=\left.\frac{\dot{V}_2}{\dot{I}_2}\right|_{\dot{I}_1=0} ・・・(1)$$
が成り立つとき、図1の回路を相反回路といい、$(1)$式を四端子回路の相反定理という。
そもそも、「相反性がある」という言葉は、「2つのものを入れ替えても同等である」という意味である。
図1の回路および$(1)$式からわかるように、入力と出力を入れ替えても電圧と電流の関係は等しいため、この回路には「相反性がある」ことは明らかである。
AD－BC=1の証明
図2の四端子回路が相反回路である場合、同回路の四端子定数$\dot{A},\ \dot{B},\ \dot{C},\ \dot{D}$の間に、
$$\dot{A}\dot{D}-\dot{B}\dot{C}=1 ・・・(2)$$
という関係が成立する。
図2 四端子回路（四端子定数表記）
ここで、$(2)$式を導出してみる。
まず、図2の回路において、送電端電圧および電流を$\dot{V}_s$および$\dot{I}_s$, 受電端電圧および電流を$\dot{V}_r$および$\dot{I}_r$とすると、各電圧・電流の関係は、四端子定数$\dot{A},\ \dot{B},\ \dot{C},\ \dot{D}$を用いて、下記の式で表される。
$$\begin{cases}
\dot{V}_s&=\dot{A}\dot{V}_r+\dot{B}\dot{I}_r &・・・(3)\\\\
\dot{I}_s&=\dot{C}\dot{V}_r+\dot{D}\dot{I}_r &・・・(4)
\end{cases}$$
ただし、$\left.\dot{A}=\displaystyle{\frac{\dot{V}_s}{\dot{V}_r}}\right|_{\dot{I}_r=0},\ \left.\dot{B}=\displaystyle{\frac{\dot{V}_s}{\dot{I}_r}}\right|_{\dot{V}_r=0},\ \left.\dot{C}=\displaystyle{\frac{\dot{I}_s}{\dot{V}_r}}\right|_{\dot{I}_r=0},\ \left.\dot{D}=\displaystyle{\frac{\dot{I}_s}{\dot{I}_r}}\right|_{\dot{V}_r=0}$
$(3),\ (4)$式は行列表記すると、
$$\left(\begin{array}{c} \dot{V}_s \\ \dot{I}_s \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C}& \dot{D} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \dot{V}_r \\ \dot{I}_r \end{array}\right)$$
ここで、$(3)$および$(4)$式を（電圧）＝（インピーダンス）×（電流）の形に書き換えてみる。
すなわち、$\dot{V}_s$および$\dot{V}_r$を$\dot{I}_s$および$\dot{I}_r$の式となるようにする。
$(3)$式を変形して、
$$\dot{V}_r=\frac{\dot{V}_s-\dot{B}\dot{I}_r}{\dot{A}} ・・・(5)$$
$(5)$式を$(4)$式に代入し、
$$\begin{align*}
\dot{I_s}&=\frac{\dot{C}}{\dot{A}}\left(\dot{V}_s-\dot{B}\dot{I}_r\right)+\dot{D}\dot{I}_r\\\\
&=\frac{\dot{C}}{\dot{A}}\dot{V}_s-\left(\frac{\dot{B}\cdot\dot{C}}{\dot{A}}-\dot{D}\right)\dot{I}_r ・・・(6)
\end{align*}$$
$(6)$式を$\dot{V}_s$の式に書き換えると、
$$\begin{align}
\dot{V}_s&=\frac{\dot{A}}{\dot{C}}\dot{I}_s+\frac{\dot{A}}{\dot{C}}\left(\frac{\dot{B}\cdot\dot{C}}{\dot{A}}-\dot{D}\right)\dot{I}_r\\\\
&=\frac{\dot{A}}{\dot{C}}\dot{I}_s+\left(\dot{B}-\frac{\dot{A}\cdot\dot{D}}{\dot{C}}\right)\dot{I}_r ・・・(7)
\end{align}$$
また、$(4)$式より、
$$\dot{V}_r=\frac{1}{\dot{C}}\dot{I}_s-\frac{\dot{D}}{\dot{C}}\dot{I}_r ・・・(8)$$
$(7)$および$(8)$式を行列表示すると
$$\left(\begin{array}{c} \dot{V}_s \\ \dot{V}_r \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \dot{Z}_{11} & \dot{Z}_{12} \\ \dot{Z}_{21} & \dot{Z}_{22} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \dot{I}_s \\ \dot{I}_r \end{array}\right)\equiv\boldsymbol{Z}\left(\begin{array}{c} \dot{I}_s \\ \dot{I}_r \end{array}\right) ・・・(9)$$
ただし、
$$\dot{Z}_{11}=\frac{\dot{A}}{\dot{C}},\ \dot{Z}_{12}=\frac{\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C}}{\dot{C}},\ \dot{Z}_{21}=\frac{1}{\dot{C}},\ \dot{Z}_{22}= \frac{\dot{D}}{\dot{C}}$$
$(9)$式に基づき、図2の四端子回路にインピーダンス行列$\boldsymbol{Z}=\left(\begin{array}{cc} \dot{Z}_{11} & \dot{Z}_{12} \\ \dot{Z}_{21} & \dot{Z}_{22} \end{array}\right)$を表記した回路を図3に示す。
図3 四端子回路（インピーダンス行列表記）
ここで、図3は相反回路であるから、$(1)$式に基づき電圧・電流の関係を式にすると、
$$\left.\frac{\dot{V}_s}{\dot{I}_r}\right|_{\dot{I}_s=0}=\left.\frac{\dot{V}_r}{\dot{I}_s}\right|_ {\dot{I}_r=0} ・・・(11)$$
$(11)$式の左辺および右辺は、それぞれ$(10)$式の$\dot{Z}_{12}$および$\dot{Z}_{21}$に対応しており、結局、
$$\begin{align*}
\dot{Z}_{12}=\dot{Z}_{21}&\\\\
\frac{\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C}}{\dot{C}}&=\frac{1}{\dot{C}}\\\\
\therefore\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C}&=1
\end{align*}$$
となり、$(2)$式が導かれる。
逆に、$(2)$式が成り立つとき、$(10)$式より$\dot{Z}_{12}=\dot{Z}_{21}=\displaystyle{\frac{1}{\dot{C}}}$となり、$(11)$式が成立する。
したがって、四端子回路が相反回路である場合の必要十分条件は、$(2)$式が成立することである。
相反回路の例
相反回路の例として、T形等価回路および$\pi$形等価回路について考える。
本記事では、四端子定数の概要と、各頻出回路における四端子定数について導出する。四端子回路の概要図1のように、入力端子および出力端子を各2端子備えた回路網を四端子回路という。 本記事では、入力端子[…]
T形等価回路
図4 T形等価回路
図4の回路の四端子定数は（導出はこちら）、
$$\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} \displaystyle{1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} & \displaystyle{\dot{Z}}\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right) \\ \displaystyle {\dot{Y}} & \displaystyle{1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} \end{array}\right)$$
$(2)$式を求めると、
$$\begin{align*}
\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C}&=\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}\right)^2-\dot{Z}\dot{Y}\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right)\\\\
&=1+\dot{Z}\dot{Y}+\frac{\left(\dot{Z}\dot{Y}\right)^2}{4}-\dot{Z}\dot{Y}-\frac{\left(\dot{Z}\dot{Y}\right)^2}{4}\\\\
&=1
\end{align*}$$
となり、図4は相反回路であるといえる。
π形等価回路
図5 $\pi$形等価回路
図5の回路の四端子定数は（導出はこちら）、
$$\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \displaystyle{1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} & \dot{Z} \\ \displaystyle{\dot{Y}\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right)} & \displaystyle{1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} \end{array}\right)$$
$(2)$式を求めると（実はT形等価回路と全く同じ式となり）、
$$\begin{align*}
\dot{A}\cdot\dot{D}-\dot{B}\cdot\dot{C}&=\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}\right)^2-\dot{Z} \dot{Y}\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right)\\\\
&=1+\dot{Z}\dot{Y}+\frac{\left(\dot{Z}\dot{Y}\right)^2}{4}-\dot{Z}\dot{Y}-\frac{\left(\dot{Z}\dot{Y}\right)^2}{4}\\\\
&=1
\end{align*}$$
となり、図5は相反回路であるといえる。
参考文献
- 佐藤秀則「電気回路における相反性と相反定理についての考察」大分工業高等専門学校紀要第52号，2015
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