四端子回路と無損失線路の融合問題

本記事では、電験一種の理論科目（旧制度）で出題された、四端子回路と無損失線路の融合問題を取り上げる。

近年ではこのような融合問題はあまり見られないが、前半は無損失線路（進行波）、後半は四端子定数の基礎問題であり、それぞれの知識を使って丁寧に追っていけば解くことはできる。

目次

四端子回路と無損失線路：問題

出典：電験一種筆記試験　「理論」昭和55年度問1

図1のように、二つの無損失線路（サージインピーダンスはそれぞれ$\dot{Z_1}$および$\dot{Z_2}$とする）の接続点に四端子回路が挿入されている。

進行波が左方より接続点に入射してくるものとして、次の問に答えよ。

 

図1　無損失線路と四端子回路の接続

 

$(1)$
電圧反射係数$\dot{\it{\Gamma}_r}$および電圧透過係数$\dot{\it{\Gamma}_t}$を求めよ。

ただし、四端子回路の四端子定数は$\dot{A},\ \dot{B},\ \dot{C},\ \dot{D}$とし、すべて定数とする。

 

$(2)$
四端子回路が図2のような T形の抵抗回路であるとき、$(1)$の結果を用いて、$\dot{\it{\Gamma}_r}$および$\dot{\it{\Gamma}_t}$を計算せよ。

 

図2　T形抵抗回路

 

$(3)$
$\dot{Z_1}=\dot{Z_2}=R_a=R_b=R_c$であるとき、$(2)$の結果を用いて、$\it{\Gamma}_r$および$\it{\Gamma}_t$を計算せよ。

 

各電圧・電流の関係式

$(1)$
四端子回路への入射波（添字$i$）、反射波（添字$r$）、透過波（添字$t$）の電圧・電流をそれぞれ図3のように与える。

 

図3　四端子回路の進行波による電圧・電流

 

このとき、各電圧と電流の関係は、各線路のサージインピーダンス$\dot{Z_1},\ \dot{Z_2}$を用いると、

$$\begin{cases}
\dot{V_i}&=\dot{Z_1}\dot{I_i}　&・・・(1)\\
\dot{V_r}&=\dot{Z_1}\dot{I_r}　&・・・(2)\\
\dot{V_t}&=\dot{Z_2}\dot{I_t}　&・・・(3)
\end{cases}$$

 

次に、四端子回路への入力（添字$1$）および出力（添字$2$）の電圧・電流を図4のように与える。

 

図4　四端子回路の入出力電圧・電流

 

図3と図4の電圧・電流の関係を考えると、

$$\begin{cases}
\dot{V_1}&=\dot{V_i}+\dot{V_r}　&・・・(4)\\
\dot{V_2}&=\dot{V_t}　&・・・(5)\\
\dot{I_1}&=\dot{I_i}-\dot{I_r}　&・・・(6)\\
\dot{I_2}&=\dot{I_t}　&・・・(7)
\end{cases}$$

 

また、回路の四端子定数を用いて、入出力電圧・電流の関係を考えると、

$$\begin{cases}
\dot{V_1}&=\dot{A}\dot{V_2}+\dot{B}\dot{I_2}　&・・・(8)\\
\dot{I_1}&=\dot{C}\dot{V_2}+\dot{D}\dot{I_2}　&・・・(9)\\
\end{cases}$$

 

電圧反射・透過係数の算出

$(6),\ (7)$式に$(1)～(3)$式を代入して、

$$\begin{align*}
\dot{I_1}&=\frac{\dot{V_i}-\dot{V_r}}{\dot{Z_1}}　&・・・(10)\\
\dot{I_2}&=\frac{\dot{V_t}}{\dot{Z_2}}　&・・・(11)
\end{align*}$$

 

$(4),\ (5),\ (10),\ (11)$式を$(8),\ (9)$式に代入して$\dot{V_1},\ \dot{V_2},\ \dot{I_1},\ \dot{I_2}$を消去すると、

$$\begin{align*}
\dot{V_i}+\dot{V_r}&=\dot{A}\dot{V_t}+\frac{\dot{B}}{\dot{Z_2}}\dot{V_t}　&・・・(12)\\\\
\frac{\dot{V_i}-\dot{V_r}}{\dot{Z_1}}&=\dot{C}\dot{V_t}+\frac{\dot{D}}{\dot{Z_2}}\dot{V_t}\\
\dot{V_i}-\dot{V_r}&=\dot{Z_1}\dot{C}\dot{V_t}+\frac{\dot{Z_1}\dot{D}}{\dot{Z_2}}\dot{V_t}　&・・・(13)
\end{align*}$$

 

$(12)+(13)$とすると、

$$\begin{align*}
2\dot{V_i}&=\left(\dot{A}+\frac{\dot{B}}{\dot{Z_2}}+\dot{Z_1}\dot{C}+\frac{\dot{Z_1}\dot{D}}{\dot{Z_2}}\right)\dot{V_t}\\\\
\therefore \dot{\it{\Gamma}_t}&=\frac{\dot{V_t}}{\dot{V_i}}=\frac{2}{\dot{A}+\displaystyle{\frac{\dot{B}}{\dot{Z_2}}}+\dot{Z_1}\dot{C}+\displaystyle{\frac{\dot{Z_1}\dot{D}}{\dot{Z_2}}}}\\\\
&=\frac{2\dot{Z_2}}{\dot{Z_2}\dot{A}+\dot{B}+\dot{Z_1}\dot{Z_2}\dot{C}+\dot{Z_1}\dot{D}}　・・・(14)
\end{align*}$$

 

次に、$(12)-(13)$とすると、

$$\begin{align*}
2\dot{V_r}&=\left(\dot{A}+\frac{\dot{B}}{\dot{Z_2}}-\dot{Z_1}\dot{C}-\frac{\dot{Z_1}\dot{D}}{\dot{Z_2}}\right)\dot{V_t}\\\\
&=\left(\dot{A}+\frac{\dot{B}}{\dot{Z_2}}-\dot{Z_1}\dot{C}-\frac{\dot{Z_1}\dot{D}}{\dot{Z_2}}\right)\times\frac{2}{\dot{A}+\displaystyle{\frac{\dot{B}}{\dot{Z_2}}}+\dot{Z_1}\dot{C}+\displaystyle{\frac{\dot{Z_1}\dot{D}}{\dot{Z_2}}}}\dot{V_i}\\\\
\therefore \dot{\it{\Gamma}_r}=\frac{\dot{V_r}}{\dot{V_i}}&=\frac{\dot{A}+\displaystyle{\frac{\dot{B}}{\dot{Z_2}}}-\dot{Z_1}\dot{C}-\displaystyle{\frac{\dot{Z_1}\dot{D}}{\dot{Z_2}}}}{\dot{A}+\displaystyle{\frac{\dot{B}}{\dot{Z_2}}}+\dot{Z_1}\dot{C}+\displaystyle{\frac{\dot{Z_1}\dot{D}}{\dot{Z_2}}}}\\\\
&=\frac{\dot{Z_2}\dot{A}+\dot{B}-\dot{Z_1}\dot{Z_2}\dot{C}-\dot{Z_1}\dot{D}}{\dot{Z_2}\dot{A}+\dot{B}+\dot{Z_1}\dot{Z_2}\dot{C}+\dot{Z_1}\dot{D}}　・・・(15)
\end{align*}$$

 

 

T形抵抗回路

$(2)$
次に、図2のT形抵抗回路に図4の入出力電圧・電流を記したものを図5に示す。

 

図5　T形抵抗回路と入出力電圧・電流

 

図5における電圧・電流の関係式をたてると、

$$\begin{align*}
\dot{V_1}&=R_a\dot{I_1}+R_c\left(\dot{I_1}-\dot{I_2}\right)　&・・・(16)\\\\
R_c\left(\dot{I_1}-\dot{I_2}\right)&=R_b\dot{I_2}+\dot{V_2}　&・・・(17)
\end{align*}$$

 

$(17)$式を$\dot{I_1}$の式として変形すると、

$$\begin{align*}
R_c\dot{I_1}&=\left(R_b+R_c\right)\dot{I_2}+\dot{V_2}\\\\
\therefore \dot{I_1}&=\frac{1}{R_c}\dot{V_2}+\frac{R_b+R_c}{R_c}\dot{I_2}　・・・(18)
\end{align*}$$

 

$(18)$式を$(16)$式に代入すると、

$$\begin{align*}
\dot{V_1}&=\frac{R_a}{R_c}\dot{V_2}+\frac{R_aR_b+R_cR_a}{R_c}\dot{I_2}+\dot{V_2}+\left(R_b+R_c\right)\dot{I_2}-R_c\dot{I_2}\\\\
&=\frac{R_c+R_a}{R_c}\dot{V_2}+\frac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c}\dot{I_2}　・・・(19)
\end{align*}$$

 

$(18),\ (19)$を行列表記にして、四端子定数を求めると、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c}   \dot{V_1} \\  \dot{I_1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}  \displaystyle{\frac{R_c+R_a}{R_c}} & \displaystyle{\frac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c}} \\ \displaystyle{\frac{1}{R_c}} & \displaystyle{\frac{R_b+R_c}{R_c}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}   \dot{V_2} \\  \dot{I_2} \end{array}\right)
\end{align*}$$
$$\therefore \begin{cases}
\dot{A}&=\displaystyle{\frac{R_c+R_a}{R_c}}\\\\
\dot{B}&=\displaystyle{\frac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c}}\\\\
\dot{C}&=\displaystyle{\frac{1}{R_c}}\\\\
\dot{D}&=\displaystyle{\frac{R_b+R_c}{R_c}}
\end{cases}　・・・(20)$$

 

この四端子定数$\dot{A},\ \dot{B},\ \dot{C},\ \dot{D}$は、図2の回路をインピーダンス回路およびアドミタンス回路に分解して、それぞれの四端子定数を掛け合わせることで導く方法もある（下記、電気うさぎ氏のツイート参照）。

 

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$(20)$式を$(14),\ (15)$式に代入すると、

$$\begin{align*}
\dot{\it{\Gamma}_r}&=\frac{\dot{Z_2}\displaystyle{\frac{R_c+R_a}{R_c}}+\displaystyle{\frac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c}}-\displaystyle{\frac{\dot{Z_1}\dot{Z_2}}{R_c}}-\dot{Z_1}\displaystyle{\frac{R_b+R_c}{R_c}}}{\dot{Z_2}\displaystyle{\frac{R_c+R_a}{R_c}}+\displaystyle{\frac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c}}+\displaystyle{\frac{\dot{Z_1}\dot{Z_2}}{R_c}}+\dot{Z_1}\displaystyle{\frac{R_b+R_c}{R_c}}}\\\\
&=\frac{\left(R_c+R_a\right)\dot{Z_2}+\left(R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a\right)-\dot{Z_1}\dot{Z_2}-\left(R_b+R_c\right)\dot{Z_1}}{\left(R_c+R_a\right)\dot{Z_2}+\left(R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a\right)+\dot{Z_1}\dot{Z_2}+\left(R_b+R_c\right)\dot{Z_1}}　・・・(21)\\\\
\dot{\it{\Gamma}_t}&=\frac{2\dot{Z_2}}{\dot{Z_2}\displaystyle{\frac{R_c+R_a}{R_c}}+\displaystyle{\frac{R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a}{R_c}}+\displaystyle{\frac{\dot{Z_1}\dot{Z_2}}{R_c}}+\dot{Z_1}\displaystyle{\frac{R_b+R_c}{R_c}}}\\\\
&=\frac{2R_c\dot{Z_2}}{\left(R_c+R_a\right)\dot{Z_2}+\left(R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a\right)+\dot{Z_1}\dot{Z_2}+\left(R_b+R_c\right)\dot{Z_1}}　・・・(22)
\end{align*}$$

 

回路定数がすべて同じ値の場合

$(3)$
$\dot{Z_1}=\dot{Z_2}=R_a=R_b=R_c$を$(21),\ (22)$に代入すると、

$$\begin{align*}
\dot{\it{\Gamma}_r}&=\frac{2{R_a}^2+3{R_a}^2-{R_a}^2-2{R_a}^2}{2{R_a}^2+3{R_a}^2+{R_a}^2+2{R_a}^2}
\\\\&=\frac{2{R_a}^2}{8{R_a}^2}=\frac{1}{4}\\\\
\dot{\it{\Gamma}_t}&=\frac{2{R_a}^2}{2{R_a}^2+3{R_a}^2+{R_a}^2+2{R_a}^2}
\\\\&=\frac{2{R_a}^2}{8{R_a}^2}=\frac{1}{4}
\end{align*}$$

となり、全ての回路定数が同じ値の場合は$\dot{\it{\Gamma}_r}=\dot{\it{\Gamma}_t}$となる。

 

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