四端子定数のまとめ

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四端子回路の概要

下図のように、入力端子および出力端子を各2端子備えた回路網を四端子回路という。
(本記事では、入力端子を送電端、出力端子を受電端と呼ぶこととする)

四端子回路において、送電端電圧・電流をそれぞれ$\dot{V_s}$, $\dot{I_s}$, および受電端電圧・電流をそれぞれ$\dot{V_r}$, $\dot{I_r}$とすると、下記の式が成り立つ。

$$\dot{V_s}=\dot{A}\dot{V_r}+\dot{B}\dot{I_r} ・・・(1)\\
\dot{I_s}=\dot{C}\dot{V_r}+\dot{D}\dot{I_r} ・・・(2) $$

行列表記にすると、

$$\left(\begin{array}{c} \dot{V_s} \\ \dot{I_s} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \dot{V_r} \\ \dot{I_r} \end{array}\right) $$

これらの電圧・電流の相互関係を表す$\dot{A}, \dot{B}, \dot{C},\dot{D}$は四端子定数と呼ばれる。

本記事では電力系統の模擬によく用いられる回路において、四端子定数を導出する。

頻出回路の四端子定数

T形等価回路

 

まず、受電端開放時、$\dot{I_r}=0$であるから、$(1)$式より、

$$\dot{V_r}=\frac{ \displaystyle {\frac{1}{\dot{Y}}}}{ \displaystyle {\frac{\dot{Z}}{2}}+ \displaystyle {\frac{1}{\dot{Y}}}}\dot{V_s}$$

分母・分子に$2\dot{Y}$をかけると、

$$\dot{V_r}=\frac{2}{2+\dot{Z}\dot{Y}}\dot{V_s}$$

$$\therefore\dot{A}=\frac{\dot{V_s}}{\dot{V_r}}=1+\frac{\dot{Z} \dot{Y} }{2}$$

同様の条件で、$(2)$式より、

$$\dot{I_s}=\dot{Y}\dot{V_r}$$

$$\therefore\dot{C}= \frac{\dot{I_s}}{\dot{V_r}}=\dot{Y}$$

次に、受電端短絡時、$\dot{V_r}=0$であるから、$(2)$式より、

$$\dot{I_r}= \frac{ \displaystyle {\frac{1}{\dot{Y}}}}{ \displaystyle {\frac{\dot{Z}}{2}}+ \displaystyle {\frac{1}{\dot{Y}}}} \dot{I_s}$$

分母・分子に$2\dot{Y}$をかけると、

$$\dot{I_r}=\frac{2}{2+\dot{Z}\dot{Y}}\dot{I_s}$$

$$\therefore\dot{D}=\frac{\dot{I_s}}{\dot{I_r}}=1+\frac{\dot{Z} \dot{Y} }{2}(=\dot{A})$$

また、同条件下において、$\dot{V_s}$を$\dot{I_s}$および$\dot{I_r}$で表すと、

$$ \dot{V_s}= \frac{\dot{Z}}{2} \dot{I_s}+ \frac{\dot{Z}}{2} \dot{I_r}$$

上式に$\dot{I_s}=\dot{D}\dot{I_r}=\displaystyle{\left(1+\frac{\dot{Z} \dot{Y} }{2}\right)}\dot{I_r}$を代入すれば、

$$ \dot{V_s}= \left\{\frac{\dot{Z}}{2}\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}\right)+ \frac{\dot{Z}}{2}\right\} \dot{I_r}$$

$$\therefore\dot{B}=\frac{\dot{V_s}}{\dot{I_r}}=\frac{\dot{Z}}{2}\left(2+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}\right)\\
    =\dot{Z}\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right) $$

以上より、T形等価回路の四端子定数は、

$$\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} \displaystyle{1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} & \displaystyle{\dot{Z}}\left( 1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right) \\ \displaystyle {\dot{Y}} & \displaystyle {1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} \end{array}\right)$$

となる。

アドミタンス回路

回路にアドミタンス$\dot{Y}$しか接続されていないシンプルな回路となるが、この回路はT形等価回路の左右の$\displaystyle{\frac{\dot{Z}}{2}}$が接続されていない場合(図では点線としている)と考えることができる。

したがって、四端子定数は、T形等価回路の四端子定数に$\dot{Z}=0$を代入すればよく、

$$\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ \displaystyle {\dot{Y}} & 1 \end{array}\right)$$

となる。

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π形等価回路

まず、受電端開放時、$\dot{I_r}=0$であるから、$(1)$式より、

$$\dot{V_r}=\frac{ \displaystyle {\frac{2}{\dot{Y}}}}{ \displaystyle {\dot{Z}}+ \displaystyle {\frac{2}{\dot{Y}}}}\dot{V_s}$$

分母・分子に$\dot{Y}$をかけると、

$$\dot{V_r}=\frac{2}{2+\dot{Z}\dot{Y}}\dot{V_s}$$

$$\therefore\dot{A}=\frac{\dot{V_s}}{\dot{V_r}}=1+\frac{\dot{Z} \dot{Y} }{2}$$

また、同条件下において、$\dot{I_s}$を$\dot{V_s}$および$\dot{V_r}$で表すと、

$$ \dot{I_s}= \frac{\dot{Y}}{2} \dot{V_s}+ \frac{\dot{V_s}-\dot{V_r}}{\dot{Z}}\\
    =\left ( \frac{\dot{Y}}{2} +\frac{1}{\dot{Z}}\right )\dot{V_s}-\frac{1}{\dot{Z}}\dot{V_r}$$

上式に$\dot{V_s}=\dot{A}\dot{V_r}=\displaystyle{\left(1+\frac{\dot{Z} \dot{Y} }{2}\right)}\dot{V_r}$を代入すれば、

$$\qquad\qquad \qquad \quad \dot{I_s}= \left\{\left ( \frac{\dot{Y}}{2} +\frac{1}{\dot{Z}}\right ) \left(1+\frac{\dot{Z} \dot{Y} }{2}\right) -\frac{1}{\dot{Z}}\right\}\dot{V_r}\\
=\dot{Y}\left ( 1+\frac{\dot{Z\dot{Y}}}{4} \right )\dot{V_r}$$

$$\therefore\dot{C}=\frac{\dot{I_s}}{\dot{V_r}}=\dot{Y}\left(1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right) $$

次に、受電端短絡時、$\dot{V_r}=0$であるから、$(2)$式より、

$$\dot{I_r}= \frac{ \displaystyle {\frac{2}{\dot{Y}}}}{\dot{Z}+ \displaystyle {\frac{2}{\dot{Y}}}} \dot{I_s}$$

分母・分子に$\dot{Y}$をかけると、

$$\dot{I_r}=\frac{2}{2+\dot{Z}\dot{Y}}\dot{I_s}$$

$$\therefore\dot{D}=\frac{\dot{I_s}}{\dot{I_r}}=1+\frac{\dot{Z} \dot{Y} }{2} (=\dot{A}) $$

同様の条件で、$(1)$式より、

$$\dot{V_s}=\dot{Z}\dot{I_r}$$

$$\therefore\dot{B}= \frac{\dot{V_s}}{\dot{I_r}}=\dot{Z}$$

以上より、$\pi$形等価回路の四端子定数は、

$$\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} \displaystyle{ 1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} & \dot{Z} \\ \displaystyle{ \dot{Y}\left( 1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{4}\right)} & \displaystyle{ 1+\frac{\dot{Z}\dot{Y}}{2}} \end{array}\right) $$

となる。

インピーダンス回路

この回路はインピーダンス$\dot{Z}$しか接続されていない構成であるが、$\pi$形等価回路の左右の$\displaystyle{\frac{\dot{Y}}{2}}$が接続されていない場合(図では点線としている)と考えることができる。

したがって、四端子定数は、$\pi$形等価回路の四端子定数に$\dot{Y}=0$を代入すればよく、

$$\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} 1 & \dot{Z} \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$

となる。

変圧器

標準パターン(一次側換算)

まず、受電端開放時、$\dot{I_r}=0$であるから、$(1)$式より、

$$\dot{V_s}=\frac{1}{n}\dot{V_r}\\
\therefore \dot{A}= \frac{\dot{V_s}}{\dot{V_r}}= \frac{1}{n}$$

また、同条件下において、$(2)$式より、

$$\quad\dot{I_s}=0\\
\therefore\dot{C}= 0$$

次に、受電端短絡時、$\dot{V_r}=0$であるから、$(1)$式より、

$$\dot{V_s}=n\dot{I_r}\cdot \frac{jX}{n^2}\\
\therefore \dot{B}= \frac{\dot{V_s}}{\dot{I_r}}=\frac{jX}{n}$$

また、同条件下において、$(2)$式より、

$$\quad\dot{I_s}=n\dot{I_r}\\
\therefore\dot{D}= n$$

以上より、変圧器(標準パターン)の四端子定数は、

$\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} \displaystyle{\frac{1}{n}} & \displaystyle{\frac{jX}{n}} \\ 0 & n \end{array}\right) $

特殊パターン(一次側換算)

平成19年度電験一種二次試験「電力・管理」問3において、上図のパターンで出題されている(知りうる限りこの時一回のみ。その他の年度は標準パターンで出題されている)。

図を見ても分かるように、理想変圧器が漏れリアクタンスの右側に接続されている場合である。この場合、一次側に$X$があるため、そもそも換算する必要がない。

したがって、上の標準パターンにおける$\dot{B}$を求める場合の式が異なってきて、

$$\dot{V_s}=n\dot{I_r}\cdot jX\\
\therefore \dot{B}= \frac{\dot{V_s}}{\dot{I_r}}= jnX$$

残りの定数の求め方は標準パターンと同じである。

以上より、 変圧器(理想変圧器が漏れリアクタンスの右側の場合)の四端子定数は、

$\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)= \left(\begin{array}{cc} \displaystyle{ \frac{1}{n}} & jnX \\ 0 & n \end{array}\right)$

分布定数回路

分布定数回路の四端子定数は、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{cc} \dot{A} & \dot{B} \\ \dot{C} & \dot{D} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \cosh\dot{\gamma}l & \dot{Z_0}\sinh\dot{\gamma}l \\ \displaystyle{\frac{1}{\dot{Z_0}}}\sinh\dot{\gamma}l & \cosh\dot{\gamma}l \end{array}\right)
\end{align*}$$

ただし、

$$\begin{cases}
\dot{\gamma}=\sqrt{\left(j\omega L+R\right)\left(j\omega C+G\right)}\\\\
\dot{Z_0}=\displaystyle{\sqrt{\frac{j\omega L+R}{j\omega C+G}}}
\end{cases}$$

導出はこちら↓

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