キルヒホッフの法則とその解釈

キルヒホッフの電流則および電圧則について解説し、なぜその法則が成り立つのかを電磁気的解釈から考える。

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キルヒホッフの第一法則

法則の概要

キルヒホッフの第一法則、または電流則(KCL;Kirchhoff’s Current Law)とは、

「電気回路の任意の節点に流れ込む電流の和は、その節点から流れ出る電流の和に等しい」

という法則である。

図1のように、節点に流れ込む電流(赤色)を$I_1,\ I_2,\ $節点から流れ出る電流(青色)を$I_3,\ I_4,\ $とすると、下記の式が成り立つ。

$$I_1+I_2=I_3+I_4 ・・・(1)$$

図1 節点を流れる回路

一般式で書くと、任意の節点において、

$$\sum_{ i = 1 }^{ n } I_i=0 ・・・(2)$$

$(2)$式は流れ込む電流の方向を正、流れ出す電流の方向を負とした場合で、KCLは「任意の節点において、各線に流れる電流の総和はゼロになる」と言い換えることもできる。

電磁気学的な解釈

なぜKCLが成立するのか、電磁気的観点から考えてみる。

図2のように、回路の線の中の任意の閉曲面$S$を、電流密度$J$の電流が流れているとする。

図2 線の中を流れる電流

このとき、閉曲面$S$内の電荷$Q$は時間変化しないとする、すなわち$\displaystyle{\frac{dQ}{dt}=0}$であるとすると、マクスウェル方程式における連続の式から、

$$\nabla\cdot\boldsymbol{J}=0 ・・・(3)$$

が成り立つ。$(3)$式の両辺を体積積分し、ガウスの定理を用いて式変形すると、

$$\int_v{\nabla\cdot \boldsymbol{J} }dv=\int_S{\boldsymbol{J} }\cdot d \boldsymbol{ S} =0 ・・・(4)$$

$(4)$式は、任意の閉曲面$S$内に流れ込む電流の総和がゼロであることを示している。これはまさにKCLそのものである。

なお、$\displaystyle{\frac{dQ}{dt}≠0}$、すなわち電荷の時間変化がある場合(コンデンサを接続した場合など)は、KCLは適用できない。

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キルヒホッフの第二法則

法則の概要

キルヒホッフの第二法則、または電圧則(KVL;Kirchhoff’s Voltage Law) とは、

「電気回路の任意の閉じた電路において、各素子に発生する電位差の和は 0 である」

という法則である。

図3のような電源と抵抗が接続された回路を考える。

図3 電源および抵抗で構成された回路

図3の回路において、電流の経路を形成する閉路を色分けしたものを図4に示す。

図4 電流の経路

各閉路においてKVLを適用すると、下記の式を立てることができる。

$$\begin{align*}
E-R_1 I_1-R_2 I_2&=0 ・・・(5)\\
E-R_1 I_1-R_3 I_3&=0 ・・・(6)\\
R_2 I_2-R_3 I_3&=0 ・・・(7)
\end{align*}$$

$(5)$~$(7)$式はそれぞれ図4の赤、青、緑の閉路に対応した式である。

一般式で書くと、任意の閉路において、

$$\sum_{ i = 1 }^{ n } V_i=0 ・・・(8)$$

電磁気学的な解釈

任意の閉路において、ファラデーの電磁誘導の法則より、

$$\nabla× \boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{dt} ・・・(9)$$

ここで、磁束密度$B$の時間変化がないと仮定する、すなわち、$\displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{B}}{dt}}=0$すると、$(9)$式は、

$$\nabla× \boldsymbol{E}=0 ・・・(10)$$

両辺を面積分し、ストークスの定理を適用して書き換えると、

$$\int_S{(\nabla× \boldsymbol{E})}\cdot d \boldsymbol{S}=\oint{ \boldsymbol{E} }\cdot d \boldsymbol{s}=0 ・・・(11)$$

$(11)$式の左辺はまさに電位の定義であり、閉路を適当な区間に分割すると、$(8)$式の左辺と等しくなる。すなわち、閉路中の電位の和はゼロとなることを示している。これはまさにKVLそのものである。

なお、磁束密度$B$の時間変化がある場合でも、$(10)$式を、

$$\nabla× \boldsymbol{E}+\frac{\partial \boldsymbol{B}}{dt}≡0 ・・・(12)$$

と置き換えて計算する、すなわち磁界の変化も込みで誘導起電力と考えることにより、同様の結果が得られる。


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