鳳・テブナンの定理の証明

本記事では、電気回路計算の基本となる「鳳・テブナンの定理」について、この定理が成立する理由を考察する。

鳳・テブナンの定理とは

鳳・テブナンの定理の考え方は下記となる。

「複数の電源を含む電気回路の中の一対の端子間の抵抗に流れる電流を求めるとき、回路の他の部分を一つの等価電源とみなして計算を行うことができる」

 

図1のように、複数の電源および抵抗を含む電気回路において、任意の2端子$\mathrm{a,\ b}$を開放したときの端子間電圧を$E_0$,回路中の電圧源をすべて短絡、および電流源をすべて開放したときの端子$\mathrm{a,\ b}$からみた回路内の合成抵抗を$R_0$とする。

 

図1 $E_0$および$R_0$の定義

 

このとき、図2のように端子$\mathrm{a-b}$間に抵抗$R$を接続したとき、端子間に流れる電流$I$は、

$$I=\frac{E_0}{R_0+R} ・・・(1)$$

 

図2 電気回路への鳳・テブナンの定理の適用

 

すなわち、鳳・テブナンの定理は「回路中の電源および抵抗の配置がどのようであっても、回路全体を等価電圧源$E_0$および合成抵抗$R_0$で置き換えることができる」ということを表している。

 

鳳・テブナンの定理の証明

図3のように、回路の端子$\mathrm{a-b}$間の開放電圧を$V_{\mathrm{ab}}$,端子間に抵抗$R$を接続したときに流れる電流を$I$とする。

 

図3 端子$\mathrm{a-b}$間に抵抗$R$を接続した場合

 

ここで、図4のように$\mathrm{a-b}$間に起電力$V_{\mathrm{ab}}$となるような電源を追加で接続すると、キルヒホッフの第二法則より、

$$\begin{align*}
V_{\mathrm{ab}}-V_{\mathrm{ab}}-RI=0\\\\
\therefore I=0
\end{align*}$$

 

図4 端子$\mathrm{a-b}$間に電源$V_{\mathrm{ab}}$を接続した場合

 

図4の回路は、重ね合わせの理を用いると、図5のような2つの回路に分離できる。

 

図5 図4の回路の「重ね合わせの理」による分離

 

同図左側の回路は、電気回路内の電圧源を短絡、かつ電流源を開放した場合であり、電源$V_{\mathrm{ab}}$から回路側に電流$I’$が流れる。

同図右側の回路は、電源$V_{\mathrm{ab}}$を短絡除去した場合であり、図3の回路に等しい。

 

ここで、図5左側の回路において、端子$\mathrm{a-b}$からみて左側の抵抗、すなわち電気回路内の合成抵抗を$R_0$として、図2の電流の向きを正とすると、電流$I’$は、

$$I’=-\frac{V_{\mathrm{ab}}}{R_0+R} ・・・(2)$$

 

一方、図5右側の回路において、図4で$I=0$であったことを考慮すると、流れる電流$I$は大きさが$I’$と同じで向きが逆であるから、これらで打ち消し合ってゼロとなると考えられるため、結局、

$$I=-I’=\frac{V_{\mathrm{ab}}}{R_0+R} ・・・(3)$$

 

$(3)$式で、$V_{\mathrm{ab}}$を$E_0$と置けば$(1)$式となり、鳳・テブナンの定理が成立することがわかる。

 

 

ノートンの定理

鳳・テブナンの定理と似た手法として、ノートンの定理がある。

これは「複数の電源を含む電気回路を、1つの電流源と1つの内部コンダクタンスで表すことができる」という定理である。

 

図6の回路において、端子$\mathrm{a-b}$間にコンダクタンス$G$を接続した場合の、端子間電圧$V$は、

$$V=\frac{J_0}{G_0+G} ・・・(4)$$

 

ここで、$J_0$は端子$\mathrm{a-b}$間を短絡した場合に流れる電流、$G_0$は端子$\mathrm{a,\ b}$側から回路側をみた場合の合成コンダクタンスである。

 

なお、ノートンの定理は「電圧源⇔電流源の変換式」を用いて、鳳・テブナンの定理の$E_0$と$R_0$を変換することにより容易に示すことができる。

また、上記の鳳・テブナンの定理と同様に、重ね合わせの理を用いた方法でも証明できる(本記事では割愛する)。

 

図6 ノートンの定理





関連する例題(「電験王」へのリンク)

電験一種

 

電験二種



関連記事

本記事では、キルヒホッフの電流則および電圧則について解説し、法則が成り立つ理由を電磁気的観点から考える。[afTag id=11282]キルヒホッフの第一法則(電流則)法則の概要キルヒ[…]

関連記事

本記事では、電気回路の計算には必須となる「重ね合わせの理」について、この理論が成立する理由を考察する。[afTag id=11282]重ね合わせの理とは重ね合わせの理(または重ねの理、重畳の理)という[…]

関連記事

本記事では、電験の「理論」科目等で頻出の$\mathrm{Y}$回路$\Longleftrightarrow\Delta$回路の変換式($\mathrm{Y}-\Delta$変換または$\Delta-\mathrm{Y}$変換の式)を導[…]