鳳・テブナンの定理の証明

電気回路計算の基本となる「鳳・テブナンの定理」について、なぜその定理が成立するのかということを証明する。

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鳳・テブナンの定理とは

鳳・テブナンの定理は、「複数の電源を含む電気回路の中の一対の端子間の抵抗に流れる電流を求めるとき、回路の他の部分を一つの等価電源とみなして計算を行うことができる」という考え方である。

図1のように、複数の電源および抵抗を含む電気回路の中の任意の2端子$a,\ b$を開放したときの端子間電圧を$E_0$,回路中の電圧源をすべて短絡、電流源をすべて開放したときの端子$a,\ b$から見た回路内の合成抵抗を$R_0$とする。

図1 $E_0$および$R_0$の定義

このとき、図2のように端子$a$-$b$に抵抗$R$を接続したとき,端子間に流れる電流$I$は、

$$I=\frac{E_0}{R_0+R} ・・・(1)$$

となる。

図2 電気回路への鳳・テブナンの定理の適用

すなわち、鳳・テブナンの定理は、回路中の電源および抵抗の配置がどのようであっても、回路全体を等価電圧源$E_0$および合成抵抗$R$で置き換えることができる、というものである。

鳳・テブナンの定理の証明

図3のように、回路の端子$a$-$b$間開放電圧を$V_{ab}$, 端子間に抵抗$R$を接続し、流れる電流を$I$とする。

図3 端子$a$-$b$間に抵抗$R$を接続した場合

ここで、図4のように$a$-$b$間に起電力$V_{ab}$となるような電源を追加で接続すると、キルヒホッフの第二法則より、

$$V_{ab}-V_{ab}-RI=0 \therefore I=0$$

となる。

図4 端子$a$-$b$間に電源$V_{ab}$を接続した場合

図4の回路は、重ね合わせの理を用ると、図5のような2つの回路に分離できる。

同図左側の回路は、電気回路内の電圧源を短絡、電流源を開放した場合であり、電源$V_{ab}$から回路側に電流$I’$が流れる。

同図右側の回路は、電源$V_{ab}$を短絡除去した場合であり、図3の回路に等しい。

図5 図4の回路の「重ね合わせの理」による分離

ここで、左側の回路において、端子$a$-$b$から 左側の抵抗、すなわち電気回路内の合成抵抗を$R_0$とおくと、電流$I’$は、図2の電流の向きを正とすると、

$$I’=-\frac{V_{ab}}{R_0+R} ・・・(2)$$

一方、右側の回路においては、図4で$I=0$であったことを考慮すると、大きさが$I’$と同じで向きが逆であるから、打ち消し合ってゼロとなったと考えられるため、結局、

$$I=-I’=\frac{V_{ab}}{R_0+R} ・・・(3)$$

$(3)$式で$V_{ab}$を$E_0$と置けば、$(1)$式となり、鳳・テブナンの定理が成立することが示された。

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ノートンの定理

鳳・テブナンの定理と似た手法として、ノートンの定理がある。

これは複数の電源を含む電気回路を、1つの電流源と1つの内部コンダクタンスで表すことができるという定理である。

図6の回路において、端子$a$-$b$間にコンダクタンス$G$を接続した場合の、端子間電圧$V$は、

$$V=\frac{J_0}{G_0+G} ・・・(4)$$

ここで、$J_0$は端子$a$-$b$間を短絡した場合に流れる電流、$G_0$は端子$a$, $b$側から電気回路を見た場合の合成コンダクタンスである。

なお、ノートンの定理は「重ね合わせの理」で示した電圧源⇔電流源の変換式を用いて、鳳・テブナンの定理の$E_0$と$R_0$を変換することにより容易に示すことができる。
また、上記の鳳・テブナンの定理と同様に重ね合わせの理を用いた方法でも証明できる(本記事では割愛する)。

図6 ノートンの定理


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