重ね合わせの理の証明

電気回路の計算には必須となる「重ね合わせの理」について、なぜこの理論が成立するのかを証明という形で考察する。

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重ね合わせの理とは

重ね合わせの理という原理の内容は下記となる。

『複数の電源を持つ線形回路において、任意の点における電流および任意の点の間の電圧は、各電源が単独に存在していた場合の電流および電圧の和に等しい』

つまり、図1のような電源が複数ある場合の回路計算においては、電源を一つだけ残して取り除いた場合でそれぞれ電圧・電流を計算し、最後にそれぞれの計算値を「重ね合わせる」ことにより、最初の回路における値を求める。

図1 複数の電源がある回路

なお、電圧源を取り除く場合は当該回路部分を短絡、電流源を取り除く場合は当該回路部分を開放したものとして考える。

図1の回路に重ね合わせの理を適用する場合、電圧源$E_1,\ E_2$は短絡、電流源$J$は開放して考えるので、図2のようにそれぞれの電源が単独で存在する3つの回路に分離することができる。

図2 「各電源が単独で存在する回路」への分離
(点線は回路が繋がっていないことを示す)

複数の電圧源がある回路

$n$個の電圧源$E_1$, $E_2$, …, $E_n$が存在する線形回路において、各閉路に電流$I_1$, $I_2$, …, $I_n$が流れていたとする。このときの回路内の電圧と電流の関係は、回路のインピーダンス行列を用いると、

$$\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c} E_1 \\ E_2 \\ \vdots \\ E_n \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cccc} Z_{ 11 } & Z_{ 12 } & \ldots & Z_{ 1n } \\ Z_{ 21 } & Z_{ 22 } & \ldots & Z_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Z_{ n1 } & Z_{ n2 } & \ldots & Z_{ nn } \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} I_1 \\ I_2 \\ \vdots \\ I_n \end{array}\right) ・・・(1)\end{eqnarray}$$

次に、電圧源$E_1$のみが存在する場合の各閉路の電流を${_1}I_1$, $ {_1} I_2$, …, $ {_1} I_n$とすると、このときの回路内の電圧・電流の関係は、

$$\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c} E_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cccc} Z_{ 11 } & Z_{ 12 } & \ldots & Z_{ 1n } \\ Z_{ 21 } & Z_{ 22 } & \ldots & Z_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Z_{ n1 } & Z_{ n2 } & \ldots & Z_{ nn } \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} {_1} I_1 \\ {_1} I_2 \\ \vdots \\ {_1} I_n \end{array}\right)  ・・・(2.1)\end{eqnarray}$$

同様に、電圧源$E_2$のみが存在する場合の各閉路の電流を${_2}I_1$, $ {_2} I_2$, …, $ {_2} I_n$とすると、このときの回路内の電圧・電流の関係は、

$$\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c} 0 \\ E_2 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cccc} Z_{ 11 } & Z_{ 12 } & \ldots & Z_{ 1n } \\ Z_{ 21 } & Z_{ 22 } & \ldots & Z_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Z_{ n1 } & Z_{ n2 } & \ldots & Z_{ nn } \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} {_2} I_1 \\ {_2} I_2 \\ \vdots \\ {_2} I_n \end{array}\right) ・・・(2.2) \end{eqnarray}$$

これを$n$個の電圧源ごとに考えていくと、$n$番目の$E_n$についての式は、

$$\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ E_n \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cccc} Z_{ 11 } & Z_{ 12 } & \ldots & Z_{ 1n } \\ Z_{ 21 } & Z_{ 22 } & \ldots & Z_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Z_{ n1 } & Z_{ n2 } & \ldots & Z_{ nn } \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} {_n} I_1 \\ {_n} I_2 \\ \vdots \\ {_n} I_n \end{array}\right) ・・(2.n) \end{eqnarray}$$

となる。

ここで、単独で$E_1$, $E_2$, …, $E_n$が存在する場合の式$(2.1),\ (2.2),\ \ldots(2.n)$を全て足し合わせると、

$$\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c} E_1 \\ E_2 \\ \vdots \\ E_n \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cccc} Z_{ 11 } & Z_{ 12 } & \ldots & Z_{ 1n } \\ Z_{ 21 } & Z_{ 22 } & \ldots & Z_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Z_{ n1 } & Z_{ n2 } & \ldots & Z_{ nn } \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} {_1}I_1+ {_2}I_1+\ldots+{_n}I_1 \\ {_1}I_2+ {_2}I_2+\ldots+{_n}I_2 \\ \vdots \\ {_1}I_n+ {_2}I_n+\ldots+{_n}I_n \end{array}\right) ・・・(3)\end{eqnarray}$$

右辺の電流について、$(1)$式と$(3)$式を比較すると、

$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} I_1 \\ I_2 \\ \vdots \\ I_n \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} {_1}I_1+ {_2}I_1+\ldots+{_n}I_1 \\ {_1}I_2+ {_2}I_2+\ldots+{_n}I_2 \\ \vdots \\ {_1}I_n+ {_2}I_n+\ldots+{_n}I_n \end{array}\right) ・・・(4)\end{eqnarray}$$

$(4)$式から結局、最初の回路の電流は、各電圧源が単独に存在する場合の電流の総和に等しい。すなわち、回路の電流について重ね合わせの理が成り立つことを表している。

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複数の電流源がある回路

$n$個の電流源$J_1$, $J_2$, …, $J_n$が存在する線形回路において、各閉路間に電圧$V_1$, $V_2$, …, $V_n$が発生するとする。このときの回路内の電圧と電流の関係は、回路のアドミタンス行列を用いると、

$$\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c} J_1 \\ J_2 \\ \vdots \\ J_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} Y_{ 11 } & Y_{ 12 } & \ldots & Y_{ 1n } \\ Y_{ 21 } & Y_{ 22 } & \ldots & Y_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Y_{ n1 } & Y_{ n2 } & \ldots & Y_{ nn } \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \\ \vdots \\ V_n \end{array}\right) ・・・(5)\end{eqnarray}$$

電圧源の場合と同様に、単独で$J_1$, $J_2$, …, $J_n$が存在する場合の式は、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} J_1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)&= \left(\begin{array}{cccc} Y_{ 11 } & Y_{ 12 } & \ldots & Y_{ 1n } \\ Y_{ 21 } & Y_{ 22 } & \ldots & Y_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Y_{ n1 } & Y_{ n2 } & \ldots & Y_{ nn } \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} {_1}V_1 \\ {_1}V_2 \\ \vdots \\ {_1}V_n \end{array}\right) ・・・(6.1)\\\\\\ \left(\begin{array}{c} 0 \\ J_2 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right)&= \left(\begin{array}{cccc} Y_{ 11 } & Y_{ 12 } & \ldots & Y_{ 1n } \\ Y_{ 21 } & Y_{ 22 } & \ldots & Y_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Y_{ n1 } & Y_{ n2 } & \ldots & Y_{ nn } \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} {_2}V_1 \\ {_2}V_2 \\ \vdots \\ {_2}V_n \end{array}\right) ・・・(6.2) \\\\\\
\vdots\\\\\\
\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ J_n \end{array}\right)&= \left(\begin{array}{cccc} Y_{ 11 } & Y_{ 12 } & \ldots & Y_{ 1n } \\ Y_{ 21 } & Y_{ 22 } & \ldots & Y_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Y_{ n1 } & Y_{ n2 } & \ldots & Y_{ nn } \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} {_n}V_1 \\ {_n}V_2 \\ \vdots \\ {_n}V_n \end{array}\right) ・・・(6.n)
\end{align*}$$

ここで、$(6.1),\ (6.2),\ \ldots(6.n)$を全て足し合わせると、

$$\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c} J_1 \\ J_2 \\ \vdots \\ J_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cccc} Y_{ 11 } & Y_{ 12 } & \ldots & Y_{ 1n } \\ Y_{ 21 } & Y_{ 22 } & \ldots & Y_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Y_{ n1 } & Y_{ n2 } & \ldots & Y_{ nn } \end{array}\right) \left( \begin{array}{c} {_1}V_1+ {_2}V_1+\ldots+{_n}V_1 \\ {_1}V_2+ {_2}V_2+\ldots+{_n}V_2 \\ \vdots \\ {_1}V_n+ {_2}V_n+\ldots+{_n}V_n \end{array}\right) ・・・(7)\end{eqnarray}$$

右辺の電圧について、$(1)$式と$(3)$式を比較すると、

$$\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{c} V_1 \\ V_2 \\ \vdots \\ V_n \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} {_1}V_1+ {_2}V_1+\ldots+{_n}V_1 \\ {_1}V_2+ {_2}V_2+\ldots+{_n}V_2 \\ \vdots \\ {_1}V_n+ {_2}V_n+\ldots+{_n}V_n \end{array}\right) ・・・(8)\end{eqnarray}$$

$(8)$式から結局、最初の回路に発生する電圧は、各電流源が単独に存在する場合に回路内に発生する電圧の総和に等しい。すなわち、回路の電圧についても重ね合わせの理が成り立っていると言える。

電圧源と電流源が混在している回路

これまでは電圧源または電流源のどちらか1種類のみ存在する場合を考えてきたが、両方が混在する場合はどうすればよいか。

図3の左のような内部抵抗が$R$の電圧源$E$ を、右の内部コンダクタンスが$G$の電流源$J$に変換する場合を考える。

図3 電圧源⇔電流源の変換

まず、左右の回路は等価であるから、端子間に発生する電圧を$V$, 端子間に流れる電流を$I$とすると、$V=E-RI,\ I=J-GV$が成り立つ。

次に、 端子間を短絡した場合、右の回路において$V=0$であるから、左の回路においては$E-RI=0$が成り立つ。また、回路全体の電流については$I=J$である。
すなわち、$E-RJ=0 ・・・(9)$

さらに、端子間を開放した場合に、 左の回路において$I=0$であるから、右の回路において$J-GV=0$が成り立つ。 また、回路の電圧においては$E=V$である。
すなわち、$J-GE=0 ・・・(10)$

$(9),\ (10)$式より、$R=\displaystyle{\frac{1}{G}}$となる。
すなわち、電圧源⇔電流源の変換式は、$J=\displaystyle{\frac{E}{R}},\ E=\displaystyle{\frac{J}{G}} ・・・(11)$となる。

$(11)$式を用いれば、電圧源と電流源が混在する回路においても、どちらか片方の種類に統一することができるため、重ね合わせの理による計算が可能となる。

まとめ

$n$個の電圧源$E_1$, $E_2$, …, $E_n$が存在する線形回路において流れる電流は、各電圧源が単独に存在する場合の電流の総和に等しい。

・$n$個の電流源$J_1$, $J_2$, …, $J_n$が存在する線形回路において発生する電圧は、各電流源が単独に存在する場合に回路内に発生する電圧の総和に等しい。

・電圧源および電流源が混在する回路においては、変換式を用いてどちらかに種類を統一することにより、重ね合わせの理が適用可能である。


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