Y⇔Δ回路のインピーダンス変換式

電験の「理論」科目等で頻出のY回路⇔Δ回路の変換式について導出する。

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Y→Δ回路のインピーダンス変換

Y回路とΔ回路

端子A, B, Cにそれぞれインピーダンスが図1のようにY結線およびΔ結線で構成されているとする。

このΔ結線のインピーダンスをY結線の値で表すことができれば、それがY回路からΔ回路のインピーダンス変換式となる。

図1 Y回路→Δ回路への変換

各端子間のインピーダンス

B-C端子間短絡時

図2のように、端子BおよびCを短絡させ、その先に新たにDという端子を設ける。

図2 Y-Δ回路(B-C端子間短絡)

このとき、各回路のA-D間の合成インピーダンス$\dot{Z_{AD}}$は、

Y回路:$\displaystyle{\dot{Z_{AD}}=\dot{Z_{a}}+\frac{ \dot{Z_{b}} \dot{Z_{c}} }{ \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{c}}}} ・・・(1)$

Δ回路:$\displaystyle{\dot{Z_{AD}}=\frac{ \dot{Z_{3}} \dot{Z_{1}} }{ \dot{Z_{3}} + \dot{Z_{1}}}}  \ \ \ \ ・・・(2)$

C-A端子間短絡時

同様に、図3のように、端子CおよびAを短絡させ、端子Eを設ける。

図3 Y-Δ回路(C-A端子間短絡)

このとき、各回路のB-E間の合成インピーダンス$\dot{Z_{BE}}$は、

Y回路:$\displaystyle{\dot{Z_{BE}}=\dot{Z_{b}}+\frac{ \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} }{ \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{a}}}} ・・・(3)$

Δ回路:$\displaystyle{\dot{Z_{BE}}=\frac{ \dot{Z_{1}} \dot{Z_{2}} }{ \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}}}  \ \ \ \ ・・・(4)$

A-B端子間短絡時

さらに、図4のように、端子AおよびBを短絡させ、端子Fを設ける。

図4 Y-Δ回路(A-B端子間短絡)

このとき、各回路のB-E間の合成インピーダンス$\dot{Z_{CF}}$は、

Y回路:$\displaystyle{\dot{Z_{CF}}=\dot{Z_{c}}+\frac{ \dot{Z_{a}} \dot{Z_{b}} }{ \dot{Z_{a}} + \dot{Z_{b}}}} ・・・(5)$

Δ回路:$\displaystyle{\dot{Z_{CF}}=\frac{ \dot{Z_{2}} \dot{Z_{3}} }{ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}}}  \ \ \ \ ・・・(6)$

変換式の導出

$(1)=(2)$式より、

$$\displaystyle{\frac{ \dot{Z_{3}} \dot{Z_{1}} }{ \dot{Z_{3}} + \dot{Z_{1}}}=\dot{Z_{a}}+\frac{ \dot{Z_{b}} \dot{Z_{c}} }{ \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{c}}}} $$

両辺を逆数にして、

$$\begin{align*}
\frac{1}{\dot{Z_{3}}}+\frac{1}{\dot{Z_{1}}}&=\frac{1}{\dot{Z_{a}}+ \displaystyle{ \frac{ \dot{Z_{b}} \dot{Z_{c}} }{ \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{c}}}}}\\ \\
&=\frac{ \dot{Z_{b}}+ \dot{Z_{c}} }{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} } ・・・(7)
\end{align*}$$

同様に、$(3)=(4), (5)=(6)$式より、

$$\displaystyle{\frac{ \dot{Z_{1}} \dot{Z_{2}} }{ \dot{Z_{1}} + \dot{Z_{2}}}=\dot{Z_{b}}+\frac{ \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} }{ \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{a}}}} $$

$$\begin{align*}
\therefore\frac{1}{\dot{Z_{1}}}+\frac{1}{\dot{Z_{2}}}&=\frac{1}{\dot{Z_{b}}+ \displaystyle{ \frac{ \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} }{ \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{a}}}}}\\ \\
&=\frac{ \dot{Z_{c}}+ \dot{Z_{a}} }{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} } ・・・(8)
\end{align*}$$

$$\displaystyle{\frac{ \dot{Z_{2}} \dot{Z_{3}} }{ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}}=\dot{Z_{c}}+\frac{ \dot{Z_{a}} \dot{Z_{b}} }{ \dot{Z_{a}} + \dot{Z_{b}}}} $$

$$\begin{align*}
\therefore\frac{1}{\dot{Z_{2}}}+\frac{1}{\dot{Z_{3}}}&=\frac{1}{\dot{Z_{c}}+ \displaystyle{ \frac{ \dot{Z_{a}} \dot{Z_{b}} }{ \dot{Z_{a}} + \dot{Z_{b}}}}}\\ \\
&=\frac{ \dot{Z_{a}}+ \dot{Z_{b}} }{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} } ・・・(9)
\end{align*}$$

$\{ (7)+(8)+(9)\}\div2$より、

$$\begin{align*}
\frac{1}{\dot{Z_{1}}}+ \frac{1}{\dot{Z_{2}}}+\frac{1}{\dot{Z_{3}}}=\frac{ \dot{Z_{a}}+ \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{c}} }{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} } ・・・(10)
\end{align*}$$

$(10)-(9)$より、

$$\begin{align*}
\frac{1}{\dot{Z_{1}}}&=\frac{\dot{Z_{c}} }{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} }\\ \\
\therefore\dot{Z_{1}}&= \frac{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} } {\dot{Z_{c}} }  ・・・(11)
\end{align*}$$

同様に、$(10)-(7)$より、

$$\begin{align*}
\frac{1}{\dot{Z_{2}}}&=\frac{\dot{Z_{a}} }{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} }\\ \\
\therefore\dot{Z_{2}}&= \frac{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} } {\dot{Z_{a}} }  ・・・(12)
\end{align*}$$

さらに、$(10)-(8)$より、

$$\begin{align*}
\frac{1}{\dot{Z_{3}}}&=\frac{\dot{Z_{b}} }{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} }\\ \\
\therefore\dot{Z_{3}}&= \frac{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} } {\dot{Z_{b}} }  ・・・(13)
\end{align*}$$

$(11)$~$(13)$式がY回路→Δ回路へのインピーダンス変換式である。

Δ→Y回路のインピーダンス変換

各端子間のインピーダンス

逆に、同じ回路間において、Δ回路からY回路のインピーダンス変換式を導出する。

図5 Δ回路→Y回路への変換

B-C端子間の合成インピーダンス

B-C端子間の合成インピーダンスは、Δ回路の場合は$ \dot{Z_{2}}$と$\dot{Z_{3}}+ \dot{Z_{1}}$, Y回路の場合は$ \dot{Z_{b}}$と$ \dot{Z_{c}}$の直列回路となるので、

Δ回路:$\displaystyle{\dot{Z_{BC}}=\frac{ \dot{Z_{2}} (\dot{Z_{3}}+\dot{Z_{1}}) }{ \dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}}} ・・・(14)$

Y回路:$\dot{Z_{BC}}=\dot{Z_{b}}+ \dot{Z_{c}}     ・・・(15)$

C-A端子間の合成インピーダンス

C-A端子間の合成インピーダンスは、Δ回路の場合は$\dot{Z_{3}}$と$\dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}}$, Y回路の場合は$ \dot{Z_{c}}$と$ \dot{Z_{a}}$の直列回路となるので、

Δ回路:$\displaystyle{\dot{Z_{CA}}=\frac{ \dot{Z_{3}} (\dot{Z_{1}}+\dot{Z_{2}}) }{ \dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}}} ・・・(16)$

Y回路:$\dot{Z_{CA}}=\dot{Z_{c}}+ \dot{Z_{a}}     ・・・(17)$

A-B端子間の合成インピーダンス

A-B端子間の合成インピーダンスは、Δ回路の場合は$\dot{Z_{1}}$と$\dot{Z_{2}}+ \dot{Z_{3}}$, Y回路の場合は$ \dot{Z_{a}}$と$ \dot{Z_{b}}$の直列回路となるので、

Δ回路:$\displaystyle{\dot{Z_{AB}}=\frac{ \dot{Z_{1}} (\dot{Z_{2}}+\dot{Z_{3}}) }{ \dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}}} ・・・(18)$

Y回路:$\dot{Z_{AB}}=\dot{Z_{a}}+ \dot{Z_{b}}     ・・・(19)$

変換式の導出

$(14)=(15),\ (16)=(17),\ (18)=(19)$より、

$$\begin{align*}
\dot{Z_{b}}+ \dot{Z_{c}}&=\frac{ \dot{Z_{2}} (\dot{Z_{3}}+\dot{Z_{1}}) }{ \dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}} ・・・(20)\\\\
\dot{Z_{c}}+ \dot{Z_{a}}&=\frac{ \dot{Z_{3}} (\dot{Z_{1}}+\dot{Z_{2}}) }{ \dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}}  ・・・(21) \\\\
\dot{Z_{a}}+ \dot{Z_{b}}&=\frac{ \dot{Z_{1}} (\dot{Z_{2}}+\dot{Z_{3}}) }{ \dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}}  ・・・(22)
\end{align*}$$

$\{ (20)+(21)+(22)\}\div2$より、

$$ \dot{Z_{a}}+ \dot{Z_{b}}+ \dot{Z_{c}}=\frac{\dot{Z_{1}}\dot{Z_{2}}+ \dot{Z_{2}}\dot{Z_{3}}+\dot{Z_{3}}\dot{Z_{1}} }{\dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}} ・・・(23) $$

$(23)-(20),\ (23)-(21),\ (23)-(22)$より、

$$\begin{align*}
\dot{Z_{a}}&=\frac{\dot{Z_{3}}\dot{Z_{1}} }{\dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}} ・・・(24) \\\\
\dot{Z_{b}}&=\frac{\dot{Z_{1}}\dot{Z_{2}} }{\dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}} ・・・(25) \\\\
\dot{Z_{c}}&=\frac{\dot{Z_{2}}\dot{Z_{3}} }{\dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}} ・・・(26) \\\\
\end{align*}$$

$(24)$~$(26)$式がΔ回路→Y回路へのインピーダンス変換式である。

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変換式のまとめ

Y→Δ変換

Y→Δ変換式を再掲すると、

$$\begin{align*}
\dot{Z_{1}}&= \frac{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} } {\dot{Z_{c}} }  ・・・(11)\\\\
\dot{Z_{2}}&= \frac{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} } {\dot{Z_{a}} }  ・・・(12)\\\\
\dot{Z_{3}}&= \frac{ \dot{Z_{a} } \dot{Z_{b}} + \dot{Z_{b} } \dot{Z_{c}} + \dot{Z_{c}} \dot{Z_{a}} } {\dot{Z_{b}} }  ・・・(13)
\end{align*}$$

Δ→Y変換

Δ→Y変換式を再掲すると、

$$\begin{align*}
\dot{Z_{a}}&=\frac{\dot{Z_{3}}\dot{Z_{1}} }{\dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}} ・・・(24) \\\\
\dot{Z_{b}}&=\frac{\dot{Z_{1}}\dot{Z_{2}} }{\dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}} ・・・(25) \\\\
\dot{Z_{c}}&=\frac{\dot{Z_{2}}\dot{Z_{3}} }{\dot{Z_{1}}+ \dot{Z_{2}} + \dot{Z_{3}}} ・・・(26) \\\\
\end{align*}$$

変換式の構成

図1および図5のY回路およびΔ回路を同じ端子で重ね合わせたものを図6に示す。
同図は$(11)$~$(13)$および$(24)$~$(26)$式に基づき、それぞれ対応していると考えるインピーダンス同士を色分けしてある。

図6 YおよびΔ回路の重ね合わせ図

図6における「対応するインピーダンス」とは、「Y回路におけるある端子に接続されるものと、Δ回路におけるそれ以外の2つの端子間に接続されるもの」である。例えば端子Aに接続されている$\dot{Z_a}$については、端子B-Cに接続される$\dot{Z_2}$となる。

このような視点でY→Δ変換式である$(11)$~$(13)$ 式をみると、これらはすべて(各インピーダンスの積和)/(対応するインピーダンス)の形になっていることがわかる。

逆にΔ→Y変換式である$(24)$~$(26)$ 式をみると、これらはすべて(対応するインピーダンス以外の2つの積)/(各インピーダンスの和)の形になっていることがわかる。

このように、各回路で対応するインピーダンスを見ることにより、回路同士の変換式は構成可能である。


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