Y⇔Δ回路のインピーダンス変換式

本記事では、電験の「理論」科目等で頻出の$\mathrm{Y}$回路$\Longleftrightarrow\Delta$回路の変換式($\mathrm{Y}-\Delta$変換または$\Delta-\mathrm{Y}$変換の式)を導出する。

Y回路→Δ回路のインピーダンス変換

Y回路とΔ回路

図1のように、$\mathrm{A,\ B,\ C}$の各端子にインピーダンス$\dot{Z}_\mathrm{a},\ \dot{Z}_\mathrm{b},\ \dot{Z}_\mathrm{c}$が$\mathrm{Y}$結線、および$\dot{Z}_1,\ \dot{Z}_2,\ \dot{Z}_3$が$\Delta$結線で構成されているとする。

 

図1 $\mathrm{Y}$回路$\rightarrow\Delta$回路への変換

 

この$\Delta$回路のインピーダンス$\dot{Z}_1,\ \dot{Z}_2,\ \dot{Z}_3$を$\mathrm{Y}$回路のインピーダンス$\dot{Z}_\mathrm{a},\ \dot{Z}_\mathrm{b},\ \dot{Z}_\mathrm{c}$で表すことができれば、それが$\mathrm{Y}$回路$\rightarrow\Delta$回路のインピーダンス変換式となる。

 

各端子間のインピーダンス

B-C端子間短絡時

図2のように、図1の各回路の端子$\mathrm{B}$および$\mathrm{C}$を短絡させ、その先に新たに$\mathrm{D}$という端子を設ける。

 

図2 $\mathrm{Y}$回路と$\Delta$回路($\mathrm{B-C}$端子間短絡)

 

このとき、各回路の$\mathrm{A-D}$間の合成インピーダンス$\dot{Z}_{\mathrm{AD}}$を求める。

 

$\mathrm{Y}$回路においては、

$$\dot{Z}_{\mathrm{AD}}=\dot{Z}_\mathrm{a}+\frac{\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}}{\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{c}} ・・・(1)$$

 

$\Delta$回路においては、

$$\dot{Z}_{\mathrm{AD}}=\frac{\dot{Z}_{3}\dot{Z}_{1}}{\dot{Z}_{3}+\dot{Z}_{1}} ・・・(2)$$

 

C-A端子間短絡時

同様に、図3のように図1の各回路の端子$\mathrm{C}$および$\mathrm{A}$を短絡させ、その先に新たに$\mathrm{E}$という端子を設ける。

 

 

図3 $\mathrm{Y}$回路と$\Delta$回路($\mathrm{C-A}$端子間短絡)

 

このとき、各回路の$\mathrm{B-E}$間の合成インピーダンス$\dot{Z}_\mathrm{BE}$を求める。

 

$\mathrm{Y}$回路においては、

$$\dot{Z}_\mathrm{BE}=\dot{Z}_\mathrm{b}+\frac{\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}}{\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{a}} ・・・(3)$$

 

$\Delta$回路においては、

$$\dot{Z}_\mathrm{BE}=\frac{\dot{Z}_{1}\dot{Z}_{2}}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}} ・・・(4)$$

 

A-B端子間短絡時

さらに、図4のように図1の各回路の端子$\mathrm{A}$および$\mathrm{E}$を短絡させ、その先に新たに$\mathrm{F}$という端子を設ける。

 

 

図4 $\mathrm{Y}$回路と$\Delta$回路($\mathrm{A-B}$端子間短絡)

 

このとき、各回路の$\mathrm{C-F}$間の合成インピーダンス$\dot{Z}_\mathrm{CF}$を求める。

 

$\mathrm{Y}$回路においては、

$$\dot{Z}_\mathrm{CF}=\dot{Z}_\mathrm{c}+\frac{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}}{\dot{Z}_\mathrm{a}+\dot{Z}_\mathrm{b}} ・・・(5)$$

 

$\Delta$回路においては、

$$\dot{Z}_\mathrm{CF}=\frac{\dot{Z}_{2}\dot{Z}_{3}}{\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} ・・・(6)$$

 

変換式の導出

$(1)\sim(6)$式を用いて、$\mathrm{Y}$回路$\rightarrow\Delta$回路へのインピーダンス変換式を求める。

 

$(2)=(1)$式より、

$$\frac{\dot{Z}_{3}\dot{Z}_{1}}{\dot{Z}_{3}+\dot{Z}_{1}}=\dot{Z}_\mathrm{a}+\frac{\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}}{\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{c}}$$

 

上式の両辺を逆数にして、

$$\begin{align*}
\frac{1}{\dot{Z}_3}+\frac{1}{\dot{Z}_1}&=\frac{1}{\displaystyle{\dot{Z}_\mathrm{a}+\frac{\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}}{\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{c}}}}\\\\
&=\frac{\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{c}}{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}} ・・・(7)
\end{align*}$$

 

同様に、$(4)=(3)$式、$(6)=(5)$式より、

$$\begin{align*}
\frac{\dot{Z}_{1}\dot{Z}_{2}}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}}&=\dot{Z}_\mathrm{b}+\frac{\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}}{\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{a}}\\\\
\therefore\frac{1}{\dot{Z}_1}+\frac{1}{\dot{Z}_2}&=\frac{1}{\displaystyle{\dot{Z}_\mathrm{b}+\frac{\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}}{\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{a}}}}\\\\
&=\frac{\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{a}}{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}} ・・・(8)
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\frac{\dot{Z}_{2}\dot{Z}_{3}}{\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}}&=\dot{Z}_\mathrm{c}+\frac{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}}{\dot{Z}_\mathrm{a}+\dot{Z}_\mathrm{b}}\\\\
\therefore\frac{1}{\dot{Z}_2}+\frac{1}{\dot{Z}_3}&=\frac{1}{\displaystyle{\dot{Z}_\mathrm{c}+\frac{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}}{\dot{Z}_\mathrm{a}+\dot{Z}_\mathrm{b}}}}\\\\
&=\frac{\dot{Z}_\mathrm{a}+\dot{Z}_\mathrm{b}}{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}} ・・・(9)
\end{align*}$$

 

$\left\{(7)+(8)+(9)\right\}\div2$より、

$$\frac{1}{\dot{Z}_1}+\frac{1}{\dot{Z}_2}+\frac{1}{\dot{Z}_3}=\frac{\dot{Z}_\mathrm{a}+\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{c}}{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}} ・・・(10)$$

 

$(10)-(9)$式より、

$$\begin{align*}
\frac{1}{\dot{Z}_1}&=\frac{\dot{Z}_\mathrm{c}}{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}}\\\\
\therefore\dot{Z}_1&=\frac{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}}{\dot{Z}_\mathrm{c}}  ・・・(11)
\end{align*}$$

 

同様に、$(10)-(7)$式より、

$$\begin{align*}
\frac{1}{\dot{Z}_2}&=\frac{\dot{Z}_\mathrm{a}}{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}}\\\\
\therefore\dot{Z}_2&=\frac{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}}{\dot{Z}_\mathrm{a}}  ・・・(12)
\end{align*}$$

 

さらに、$(10)-(8)$式より、

$$\begin{align*}
\frac{1}{\dot{Z}_3}&=\frac{\dot{Z}_\mathrm{b}}{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}}\\\\
\therefore\dot{Z}_3&=\frac{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}}{\dot{Z}_\mathrm{b}}  ・・・(13)
\end{align*}$$

 

$(11)\sim(13)$式が$\mathrm{Y}$回路$\rightarrow\Delta$回路へのインピーダンス変換式である。

Δ回路→Y回路のインピーダンス変換

各端子間のインピーダンス

逆に図1の同じ回路間において、図5のように$\Delta$回路$\rightarrow\mathrm{Y}$回路へのインピーダンス変換式を導出する。

 

図5 $\Delta$回路$\rightarrow\mathrm{Y}$回路への変換

 

B-C端子間の合成インピーダンス

$\mathrm{B-C}$端子間の合成インピーダンス$\dot{Z}_\mathrm{BC}$は、$\Delta$回路の場合は$\dot{Z}_2$と$\left(\dot{Z}_3+\dot{Z}_1\right)$, $\mathrm{Y}$回路の場合は$\dot{Z}_\mathrm{b}$と$\dot{Z}_\mathrm{c}$の直列回路となる。

 

したがって、$\Delta$回路においては、

$$\dot{Z}_\mathrm{BC}=\frac{\dot{Z}_{2}\left(\dot{Z}_3+\dot{Z}_1\right)}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} ・・・(14)$$

 

$\mathrm{Y}$回路においては、

$$\dot{Z}_\mathrm{BC}=\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{c} ・・・(15)$$

 

C-A端子間の合成インピーダンス

$\mathrm{C-A}$端子間の合成インピーダンス$\dot{Z}_\mathrm{CA}$は、$\Delta$回路の場合は$\dot{Z}_3$と$\left(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2\right)$, $\mathrm{Y}$回路の場合は$\dot{Z}_\mathrm{c}$と$\dot{Z}_\mathrm{a}$の直列回路となる。

 

したがって、$\Delta$回路においては、

$$\dot{Z}_\mathrm{CA}=\frac{\dot{Z}_{3}\left(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2\right)}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} ・・・(16)$$

 

$\mathrm{Y}$回路においては、

$$\dot{Z}_\mathrm{CA}=\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{a} ・・・(17)$$

 

A-B端子間の合成インピーダンス

$\mathrm{A-B}$端子間の合成インピーダンス$\dot{Z}_\mathrm{AB}$は、$\Delta$回路の場合は$\dot{Z}_1$と$\left(\dot{Z}_2+\dot{Z}_3\right)$, $\mathrm{Y}$回路の場合は$\dot{Z}_\mathrm{a}$と$\dot{Z}_\mathrm{b}$の直列回路となる。

 

したがって、$\Delta$回路においては、

$$\dot{Z}_\mathrm{AB}=\frac{\dot{Z}_{1}\left(\dot{Z}_2+\dot{Z}_3\right)}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} ・・・(18)$$

 

$\mathrm{Y}$回路においては、

$$\dot{Z}_\mathrm{AB}=\dot{Z}_\mathrm{a}+\dot{Z}_\mathrm{b} ・・・(19)$$

 

変換式の導出

$(14)\sim(19)$式を用いて、$\Delta$回路$\rightarrow\mathrm{Y}$回路へのインピーダンス変換式を求める。

 

$(15)=(14),\ (17)=(16),\ (19)=(18)$式より、

$$\begin{align*}
\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{c}&=\frac{\dot{Z}_{2}\left(\dot{Z}_3+\dot{Z}_1\right)}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} &・・・(20)\\\\
\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{a}&=\frac{\dot{Z}_{3}\left(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2\right)}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} &・・・(21) \\\\
\dot{Z}_\mathrm{a}+\dot{Z}_\mathrm{b}&=\frac{\dot{Z}_{1}\left(\dot{Z}_2+\dot{Z}_3\right)}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} &・・・(22)
\end{align*}$$

 

$\left\{(20)+(21)+(22)\right\}\div2$より、

$$\dot{Z}_\mathrm{a}+\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{c}=\frac{\dot{Z}_{1}\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{2}\dot{Z}_{3}+\dot{Z}_{3}\dot{Z}_{1}}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} ・・・(23)$$

 

$(23)-(20),\ (23)-(21),\ (23)-(22)$式より、

$$\begin{align*}
\dot{Z}_\mathrm{a}&=\frac{\dot{Z}_{3}\dot{Z}_{1}}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} &・・・(24)\\\\
\dot{Z}_\mathrm{b}&=\frac{\dot{Z}_{1}\dot{Z}_{2}}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} &・・・(25)\\\\
\dot{Z}_\mathrm{c}&=\frac{\dot{Z}_{2}\dot{Z}_{3}}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} &・・・(26)
\end{align*}$$

 

$(24)\sim(26)$式が$\Delta$回路$\rightarrow\mathrm{Y}$回路へのインピーダンス変換式である。

 

変換式のまとめ

Y回路→Δ回路への変換

$\mathrm{Y}$回路$\rightarrow\Delta$回路への変換式を再掲すると、

$$\begin{align*}
\dot{Z}_1&=\frac{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}}{\dot{Z}_\mathrm{c}} &・・・(11)\\\\
\dot{Z}_2&=\frac{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}}{\dot{Z}_\mathrm{a}} &・・・(12)\\\\
\dot{Z}_3&=\frac{\dot{Z}_\mathrm{a}\dot{Z}_\mathrm{b}+\dot{Z}_\mathrm{b}\dot{Z}_\mathrm{c}+\dot{Z}_\mathrm{c}\dot{Z}_\mathrm{a}}{\dot{Z}_\mathrm{b}} &・・・(13)
\end{align*}$$

 

Δ回路→Y回路への変換

$\Delta$回路$\rightarrow\mathrm{Y}$回路への変換式を再掲すると、

$$\begin{align*}
\dot{Z}_\mathrm{a}&=\frac{\dot{Z}_{3}\dot{Z}_{1}}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} &・・・(24)\\\\
\dot{Z}_\mathrm{b}&=\frac{\dot{Z}_{1}\dot{Z}_{2}}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} &・・・(25)\\\\
\dot{Z}_\mathrm{c}&=\frac{\dot{Z}_{2}\dot{Z}_{3}}{\dot{Z}_{1}+\dot{Z}_{2}+\dot{Z}_{3}} &・・・(26)
\end{align*}$$

 

変換式の構成の考察

図1および図5の$\mathrm{Y}$回路および$\Delta$回路を同じ端子どうしで重ね合わせたものを図6に示す。

同図は$(11)\sim(13)$および$(24)\sim(26)$式に基づき、それぞれ対応していると考えるインピーダンス同士で色分けしてある。

 

図6 $\mathrm{Y}$回路および$\Delta$回路の重ね合わせ図

 

図6における「対応するインピーダンス」とは、「$\mathrm{Y}$回路においてある端子に接続されるものと、$\Delta$回路においてそれ以外の2つの端子間に接続されるもの」である。

例えば、端子$\mathrm{A}$に接続されている$\dot{Z}_\mathrm{a}$に対応するのは、端子$\mathrm{B-C}$に接続される$\dot{Z}_2$(図6では赤色)となる。

 

このような視点で$\mathrm{Y}$回路$\rightarrow\Delta$回路への変換式である$(11)$~$(13)$ 式をみると、これらはすべて(各インピーダンスの積和)/(対応するインピーダンス)の形になっていることがわかる。

 

逆に$\Delta$回路$\rightarrow\mathrm{Y}$回路への変換式である$(24)$~$(26)$ 式をみると、これらはすべて(対応するインピーダンス以外の2つの積)/(各インピーダンスの和)の形になっていることがわかる。

 

このように、各回路で対応するインピーダンスどうしを組み合わせることにより、$\mathrm{Y}$回路$\Longleftrightarrow\Delta$回路の変換式を構成することができる。





関連する例題(「電験王」へのリンク)

電験一種

 

電験三種

 

関連記事

本記事では、キルヒホッフの電流則および電圧則について解説し、法則が成り立つ理由を電磁気的観点から考える。[afTag id=11282]キルヒホッフの第一法則(電流則)法則の概要キルヒ[…]

関連記事

本記事では、電気回路の計算には必須となる「重ね合わせの理」について、この理論が成立する理由を考察する。[afTag id=11282]重ね合わせの理とは重ね合わせの理(または重ねの理、重畳の理)という[…]

関連記事

本記事では、電気回路計算の基本となる「鳳・テブナンの定理」について、この定理が成立する理由を考察する。[afTag id=11282]鳳・テブナンの定理とは鳳・テブナンの定理の考え方は下記となる。[…]