ミルマンの定理の導出

本記事では、回路計算に使用する手法の1つであるミルマンの定理を導出する。





ミルマンの定理の概要

ミルマンの定理(Millman’s theorem, 帆足−ミルマンの定理、全電圧の定理ともいうは、複数の電圧源および直列アドミタンスが並列接続された回路の開放電圧を求めるために使用される。

 

図1のような$n$個の電圧源$\dot{E}_1,\ \dot{E}_2,\ \dot{E}_3,\ \cdots,\ \dot{E}_n$および直列アドミタンス$\dot{Y}_1,\ \dot{Y}_2,\ \dot{Y}_3,\ \cdots,\ \dot{Y}_n$の並列接続で構成される回路において、端子$\mathrm{A-B}$間の開放電圧$\dot{V}_\mathrm{AB}$は、次式で表される。

$$\dot{V}_\mathrm{AB}=\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k\dot{E}_k}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k} ・・・(1)$$

 

図1 複数の電圧源および直列アドミタンスの並列回路

 

ミルマンの定理の導出

図1の回路における$(1)$式を導出する。

電圧源E1のみが存在する回路

まず、図1の回路において電圧源$\dot{E}_1$のみが存在し、その他の電圧源は短絡した回路を図2に示す。

なお同図において、$\dot{E}_1$と$\dot{Y}_1$の直列回路の節点を$\mathrm{A}_1$および$\mathrm{B}_1$とする。

 

図2 電圧源$\dot{E}_1$のみが存在する回路

 

図2において、$\mathrm{A}_1-\mathrm{B}_1$間に流れる電流$\dot{I}_{11}$(同図の向きを正とする)は、電圧$\dot{E}_1$,および$\displaystyle{\frac{1}{\dot{Y}_1}}$と$\displaystyle{\frac{1}{\dot{Y}_2+\dot{Y}_3+\cdots+\dot{Y}_n}}$との直列合成インピーダンスを考慮して、

$$\begin{align*}
\dot{I}_{11}&=\frac{\dot{E}_1}{\displaystyle{\frac{1}{\dot{Y}_1}}+\displaystyle{\frac{1}{\dot{Y}_2+\dot{Y}_3+\cdots+\dot{Y}_n}}}\\\\
&=\frac{\dot{Y}_1\left(\dot{Y}_2+\dot{Y}_3+\cdots+\dot{Y}_n\right)}{\dot{Y}_1+\dot{Y}_2+\dot{Y}_3+\cdots+\dot{Y}_n}\dot{E}_1\\\\
&=\frac{\dot{Y}_1\dot{Y}_2+\dot{Y}_1\dot{Y}_3+\cdots+\dot{Y}_1\dot{Y}_n}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k}\dot{E}_1 ・・・(2)
\end{align*}$$

 

電圧源Enのみが存在する回路

次に、図1の回路において電圧源$\dot{E}_2$のみが存在し、その他の電圧源は短絡した回路を図3に示す。

 

図3 電圧源$\dot{E}_2$のみが存在する回路

 

図3において、$\mathrm{A}_1-\mathrm{B}_1$間に流れ込む電流$\dot{I}_{12}$(同図の向きを正とする)は、電圧$\dot{E}_2$,および$\displaystyle{\frac{1}{\dot{Y}_2}}$と$\displaystyle{\frac{1}{\dot{Y}_1+\dot{Y}_3+\cdots+\dot{Y}_n}}$との直列合成インピーダンスで計算される電流のうち、$\dot{Y}_1$への分流を考慮して、

$$\begin{align*}
\dot{I}_{12}&=\frac{\dot{E}_2}{\displaystyle{\frac{1}{\dot{Y}_2}}+\displaystyle{\frac{1}{\dot{Y}_1+\dot{Y}_3+\cdots+\dot{Y}_n}}}\times\frac{\dot{Y}_1}{\dot{Y}_1+\dot{Y}_3+\cdots+\dot{Y}_n}\\\\
&=\frac{\dot{Y}_1}{\displaystyle{\frac{\dot{Y}_1+\dot{Y}_3+\cdots+\dot{Y}_n}{\dot{Y}_2}}+1}\dot{E}_2\\\\
&=\frac{\dot{Y}_1\dot{Y}_2}{\dot{Y}_1+\dot{Y}_2+\dot{Y}_3+\cdots+\dot{Y}_n}\dot{E}_2\\\\
&=\frac{\dot{Y}_1\dot{Y}_2}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k}\dot{E}_2 ・・・(3)
\end{align*}$$

 

$\dot{E}_3,\ \cdots,\ \dot{E}_n$に関しても同様に、それぞれの電圧源が単独で存在し、その他は短絡した回路を考える。

それぞれの回路において、$\mathrm{A}_1-\mathrm{B}_1$間に流れ込む電流$\dot{I}_{13},\ \cdots,\ \dot{I}_{1n}$は、

$$\begin{cases}
\dot{I}_{13}&=\displaystyle{\frac{\dot{Y}_1\dot{Y}_3}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k}}\dot{E}_3\\\\
&\qquad\vdots\\\\
\dot{I}_{1n}&=\displaystyle{\frac{\dot{Y}_1\dot{Y}_n}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k}}\dot{E}_n
\end{cases} ・・・(4)$$

 

単独電圧源の回路の重ね合わせ

そして、$\dot{E}_1,\ \dot{E}_2,\ \dot{E}_3,\ \cdots,\ \dot{E}_n$が単独で存在する回路をすべて重ね合わせ、図1の回路に戻す。

$(2)\sim(4)$式より、図1の回路の$\mathrm{A}_1-\mathrm{B}_1$間に流れる電流$\dot{I}_1$は、各電流の向きに注意して、

$$\begin{align*}
\dot{I}_1&=\dot{I}_{11}-\dot{I}_{12}-\dot{I}_{13}-\cdots-\dot{I}_{1n}\\\\
&=\frac{\dot{Y}_1\dot{Y}_2+\dot{Y}_1\dot{Y}_3+\cdots+\dot{Y}_1\dot{Y}_n}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k}\dot{E}_1-\frac{\dot{Y}_1\dot{Y}_2}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k}\dot{E}_2-\frac{\dot{Y}_1\dot{Y}_3}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k}\dot{E}_3-\cdots-\frac{\dot{Y}_1\dot{Y}_n}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k}\dot{E}_n\\\\
&=\frac{\dot{Y}_1\dot{Y}_2\left(\dot{E}_1-\dot{E}_2\right)+\dot{Y}_1\dot{Y}_3\left(\dot{E}_1-\dot{E}_3\right)+\cdots+\dot{Y}_1\dot{Y}_n\left(\dot{E}_1-\dot{E}_n\right)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k} ・・・(5)
\end{align*}$$

 

したがって、図1の回路の端子$\mathrm{A-B}$間の開放電圧$\dot{V}_\mathrm{AB}$は、$(5)$式より、

$$\begin{align*}
\dot{V}_\mathrm{AB}&=\dot{E}_1-\frac{\dot{I}_1}{\dot{Y}_1}\\\\
&=\dot{E}_1-\frac{\dot{Y}_2\left(\dot{E}_1-\dot{E}_2\right)+\dot{Y}_3\left(\dot{E}_1-\dot{E}_3\right)+\cdots+\dot{Y}_n\left(\dot{E}_1-\dot{E}_n\right)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k}\\\\
&=\frac{\left(\dot{Y}_1+\dot{Y}_2+\dot{Y}_3+\cdots+\dot{Y}_n\right)\dot{E}_1-\left\{\dot{Y}_2\left(\dot{E}_1-\dot{E}_2\right)+\dot{Y}_3\left(\dot{E}_1-\dot{E}_3\right)+\cdots+\dot{Y}_n\left(\dot{E}_1-\dot{E}_n\right)\right\}}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k}\\\\
&=\frac{\dot{Y}_1\dot{E}_1+\dot{Y}_2\dot{E}_2+\dot{Y}_3\dot{E}_3+\cdots+\dot{Y}_n\dot{E}_n}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k}\\\\
&=\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k\dot{E}_k}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Y}_k}
\end{align*}$$

となり、$(1)$式が導かれる。

 

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ミルマンの定理における双対性

ミルマンの定理に対応する(双対性がある)定理として、次のようなものがある。

$n$個の複数の電流源$\dot{I}_1,\ \dot{I}_2,\ \dot{I}_3,\ \cdots,\ \dot{I}_n$および並列インピーダンス$\dot{Z}_1,\ \dot{Z}_2,\ \dot{Z}_3,\ \cdots,\ \dot{Z}_n$の直列接続で構成された図4の回路において、端子$\mathrm{A-B}$間に流れる短絡電流$\dot{I}_\mathrm{AB}$は、次の式によって求められる。

$$\dot{I}_\mathrm{AB}=\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k\dot{I}_k}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k} ・・・(6)$$

 

図4 複数の電流源および並列インピーダンスの直列回路

 

Wikipediaでは「全電流の定理と呼称しているが、出典が不明なのでこれが正式名称であるかは定かではない。

 

式の導出

$(6)$式に関しては、ミルマンの定理との双対性を意識することで導出できる。

 

まず、図4の回路において電流源$\dot{I}_1$のみが存在し、その他の電流源は開放した回路を図5に示す。

 

図5 電流源$\dot{I}_1$のみが存在する回路

 

図5において、$\dot{Z}_1$に発生する電圧$\dot{V}_{11}$(同図の向きを正とする)は、電流$\dot{I}_1$が各インピーダンス$\dot{Z}_1$と$\displaystyle{\dot{Z}_2+\dot{Z}_3+\cdots+\dot{Z}_n}$のうち、$\dot{Z}_1$へ分流する分を考慮して、

$$\begin{align*}
\dot{V}_{11}&=\dot{Z}_1\times\dot{I}_1\times\frac{\dot{Z}_2+\dot{Z}_3+\cdots+\dot{Z}_n}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+\dot{Z}_3+\cdots+\dot{Z}_n}\\\\
&=\frac{\dot{Z}_1\left(\dot{Z}_2+\dot{Z}_3+\cdots+\dot{Z}_n\right)}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+\dot{Z}_3+\cdots+\dot{Z}_n}\dot{I}_1\\\\
&=\frac{\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_1\dot{Z}_3+\cdots+\dot{Z}_1\dot{Z}_n}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k}\dot{I}_1 ・・・(7)
\end{align*}$$

 

次に、図4の回路において電流源$\dot{I}_2$のみが存在し、その他の電流源を開放した回路を図6に示す。

 

図6 電流源$\dot{I}_2$のみが存在する回路

 

図6において、$\dot{Z}_1$に発生する電圧$\dot{V}_{12}$(同図の向きを正とする)は、電流$\dot{I}_2$が各インピーダンス$\dot{Z}_2$と$\displaystyle{\dot{Z}_1+\dot{Z}_3+\cdots+\dot{Z}_n}$のうち、後者へ分流する分を考慮して、

$$\begin{align*}
\dot{V}_{12}&=\dot{Z}_1\times\dot{I}_1\times\frac{\dot{Z}_2}{\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+\dot{Z}_3+\cdots+\dot{Z}_n}\\\\
&=\frac{\dot{Z}_1\dot{Z}_2}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k}\dot{I}_2 ・・・(8)
\end{align*}$$

 

$\dot{I}_3,\ \cdots,\ \dot{I}_n$に関しても同様に、それぞれの電流源が単独で存在し、その他は開放した回路を考える。

それぞれの回路において、$\dot{Z}_1$に発生する電圧$\dot{V}_{13},\ \cdots,\ \dot{V}_{1n}$は、

$$\begin{cases}
\dot{V}_{13}&=\displaystyle{\frac{\dot{Z}_1\dot{Z}_3}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k}}\dot{I}_3\\\\
&\qquad\vdots\\\\
\dot{V}_{1n}&=\displaystyle{\frac{\dot{Z}_1\dot{Z}_n}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k}}\dot{I}_n
\end{cases} ・・・(9)$$

 

そして、$\dot{I}_1,\ \dot{I}_2,\ \dot{I}_3,\ \cdots,\ \dot{I}_n$が単独で存在する回路をすべて重ね合わせ、図4の回路に戻す。

$(7)\sim(9)$式より、図4の回路の$\dot{Z}_1$に発生する電圧$\dot{V}_1$は、各電圧の向きに注意して、

$$\begin{align*}
\dot{V}_1&=\dot{V}_{11}-\dot{V}_{12}-\dot{V}_{13}-\cdots-\dot{V}_{1n}\\\\
&=\frac{\dot{Z}_1\dot{Z}_2+\dot{Z}_1\dot{Z}_3+\cdots+\dot{Z}_1\dot{Z}_n}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k}\dot{Z}_1-\frac{\dot{Z}_1\dot{Z}_2}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k}\dot{I}_2-\frac{\dot{Z}_1\dot{Z}_3}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k}\dot{I}_3-\cdots-\frac{\dot{Z}_1\dot{Z}_n}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k}\dot{I}_n\\\\
&=\frac{\dot{Z}_1\dot{Z}_2\left(\dot{I}_1-\dot{I}_2\right)+\dot{Z}_1\dot{Z}_3\left(\dot{I}_1-\dot{I}_3\right)+\cdots+\dot{Z}_1\dot{Z}_n\left(\dot{I}_1-\dot{I}_n\right)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k} ・・・(10)
\end{align*}$$

 

したがって、図4の回路の端子$\mathrm{A-B}$間の短絡電流$\dot{I}_\mathrm{AB}$は、

$$\begin{align*}
\dot{I}_\mathrm{AB}&=\dot{I}_1-\frac{\dot{V}_1}{\dot{Z}_1}\\\\
&=\dot{I}_1-\frac{\dot{Z}_2\left(\dot{I}_1-\dot{I}_2\right)+\dot{Z}_3\left(\dot{I}_1-\dot{I}_3\right)+\cdots+\dot{Z}_n\left(\dot{I}_1-\dot{I}_n\right)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k}\\\\
&=\frac{\left(\dot{Z}_1+\dot{Z}_2+\dot{Z}_3+\cdots+\dot{Z}_n\right)\dot{I}_1-\left\{\dot{Z}_2\left(\dot{I}_1-\dot{I}_2\right)+\dot{Z}_3\left(\dot{I}_1-\dot{I}_3\right)+\cdots+\dot{Z}_n\left(\dot{I}_1-\dot{I}_n\right)\right\}}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k}\\\\
&=\frac{\dot{Z}_1\dot{I}_1+\dot{Z}_2\dot{I}_2+\dot{Z}_3\dot{I}_3+\cdots+\dot{Z}_n\dot{I}_n}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k}\\\\
&=\frac{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k\dot{I}_k}{\displaystyle \sum_{k=1}^n \dot{Z}_k}
\end{align*}$$

となり、(ミルマンの定理の導出とほぼ同じ手順で)$(6)$式が導かれる。

 

ミルマンの定理と三相交流回路

最後に、ミルマンの定理を三相交流回路に適用した場合を考える。

図7の三相交流回路において、電源と負荷それぞれの中性点端子$\mathrm{o},\ \mathrm{o}’$を接続する。

 

図7 三相交流回路

 

このとき、$\mathrm{o}-\mathrm{o}’$間に発生する電圧$\dot{V}_\mathrm{n}$は、ミルマンの定理を用いれば次のように容易に求められる。

$$\dot{V}_\mathrm{n}=\frac{\dot{Y}_\mathrm{a}\dot{E}_\mathrm{a}+\dot{Y}_\mathrm{b}\dot{E}_\mathrm{b}+\dot{Y}_\mathrm{c}\dot{E}_\mathrm{c}}{\dot{Y}_\mathrm{a}+\dot{Y}_\mathrm{b}+\dot{Y}_\mathrm{c}+\dot{Y}_\mathrm{n}} ・・・(11)$$

 

キルヒホッフの法則を用いて求める場合
各相の線電流を$\dot{I}_\mathrm{a},\ \dot{I}_\mathrm{b},\ \dot{I}_\mathrm{c}$とすると、図7において$\mathrm{a}-\mathrm{a}’-\mathrm{o}’-\mathrm{o}$の閉回路にキルヒホッフの電圧則を適用して、

$$\begin{align*}
\dot{E}_\mathrm{a}-\frac{\dot{I}_\mathrm{a}}{\dot{Y}_\mathrm{a}}-\frac{\dot{I}_\mathrm{a}+\dot{I}_\mathrm{b}+\dot{I}_\mathrm{c}}{\dot{Y}_\mathrm{n}}&=0\\\\
\therefore\dot{Y}_\mathrm{a}\dot{Y}_\mathrm{n}\dot{E}_\mathrm{a}-\dot{Y}_\mathrm{n}\dot{I}_\mathrm{a}-\dot{Y}_\mathrm{a}\left(\dot{I}_\mathrm{a}+\dot{I}_\mathrm{b}+\dot{I}_\mathrm{c}\right)&=0
\end{align*}$$

 

$\mathrm{b}-\mathrm{b}’-\mathrm{o}’-\mathrm{o}$および$\mathrm{c}-\mathrm{c}’-\mathrm{o}’-\mathrm{o}$の閉回路についても同様に、

$$\begin{cases}
\dot{Y}_\mathrm{b}\dot{Y}_\mathrm{n}\dot{E}_\mathrm{b}-\dot{Y}_\mathrm{n}\dot{I}_\mathrm{b}-\dot{Y}_\mathrm{b}\left(\dot{I}_\mathrm{a}+\dot{I}_\mathrm{b}+\dot{I}_\mathrm{c}\right)&=0\\\\
\dot{Y}_\mathrm{c}\dot{Y}_\mathrm{n}\dot{E}_\mathrm{c}-\dot{Y}_\mathrm{n}\dot{I}_\mathrm{c}-\dot{Y}_\mathrm{c}\left(\dot{I}_\mathrm{a}+\dot{I}_\mathrm{b}+\dot{I}_\mathrm{c}\right)&=0
\end{cases}$$

 

これらを足し合わせ、電圧$\dot{V}_\mathrm{n}$を求めると、

$$\begin{align*}
\dot{Y}_\mathrm{n}\left(\dot{Y}_\mathrm{a}\dot{E}_\mathrm{a}+\dot{Y}_\mathrm{b}\dot{E}_\mathrm{b}+\dot{Y}_\mathrm{c}\dot{E}_\mathrm{c}\right)&-\left(\dot{Y}_\mathrm{a}+\dot{Y}_\mathrm{b}+\dot{Y}_\mathrm{c}+\dot{Y}_\mathrm{n}\right)\left(\dot{I}_\mathrm{a}+\dot{I}_\mathrm{b}+\dot{I}_\mathrm{c}\right)=0\\\\
\dot{I}_\mathrm{a}+\dot{I}_\mathrm{b}+\dot{I}_\mathrm{c}&=\frac{\dot{Y}_\mathrm{n}\left(\dot{Y}_\mathrm{a}\dot{E}_\mathrm{a}+\dot{Y}_\mathrm{b}\dot{E}_\mathrm{b}+\dot{Y}_\mathrm{c}\dot{E}_\mathrm{c}\right)}{\dot{Y}_\mathrm{a}+\dot{Y}_\mathrm{b}+\dot{Y}_\mathrm{c}+\dot{Y}_\mathrm{n}}\\\\
\therefore\dot{V}_\mathrm{n}&=\frac{\dot{I}_\mathrm{a}+\dot{I}_\mathrm{b}+\dot{I}_\mathrm{c}}{\dot{Y}_\mathrm{n}}\\\\
&=\frac{\dot{Y}_\mathrm{a}\dot{E}_\mathrm{a}+\dot{Y}_\mathrm{b}\dot{E}_\mathrm{b}+\dot{Y}_\mathrm{c}\dot{E}_\mathrm{c}}{\dot{Y}_\mathrm{a}+\dot{Y}_\mathrm{b}+\dot{Y}_\mathrm{c}+\dot{Y}_\mathrm{n}}
\end{align*}$$

 

なお、特に図7が$\dot{E}_\mathrm{a}=E,\ \dot{E}_\mathrm{b}=a^2E,\ \dot{E}_\mathrm{c}=aE$となるような対称三相交流回路で、$\dot{Y}_\mathrm{a}=\dot{Y}_\mathrm{b}=\dot{Y}_\mathrm{c}=\dot{Y}$となるような三相平衡負荷が接続されている場合、$(11)$式の電圧$\dot{V}_\mathrm{n}$は、

$$\begin{align*}
\dot{V}_\mathrm{n}&=\frac{\dot{Y}E+a^2\dot{Y}E+a\dot{Y}E}{3\dot{Y}+\dot{Y}_\mathrm{n}}\\\\
&=\frac{\dot{Y}\left(1+a^2+a\right)E}{3\dot{Y}+\dot{Y}_\mathrm{n}}\\\\
&=0 ・・・(12)
\end{align*}$$

 

かつ、$\mathrm{o}-\mathrm{o}’$間に流れる電流$\dot{I}_\mathrm{a}+\dot{I}_\mathrm{b}+\dot{I}_\mathrm{c}$は、$(12)$式より、

$$\dot{I}_\mathrm{a}+\dot{I}_\mathrm{b}+\dot{I}_\mathrm{c}=\dot{Y}_\mathrm{n}\dot{V}_\mathrm{n}=0 ・・・(13)$$

 

$(12),\ (13)$式より、$\mathrm{o}-\mathrm{o}’$間のアドミタンス$\dot{Y}_\mathrm{n}$の値に依らず、この間の電圧および電流はゼロになる。

このことから、この場合は中性線を省略した場合と同じ結果が得られる。

 

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参考文献