並列共振回路の理論

本記事では、抵抗・リアクトル・コンデンサによる$RLC$並列共振回路について解説する。

共振回路の基本および共通事項については、下記「直列共振回路の理論」を参照してほしい。
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RLC並列共振回路(素子がすべて並列の場合)

回路の並列共振現象

図1のような抵抗$R$,リアクトル$L$,コンデンサ$C$がすべて並列に接続された回路を考える。

同図の回路には、実効値$I$の電流源$\dot{I}$が接続されており、また角周波数を$\omega$とする。

なお、本記事では特に断りのない限り、$\dot{I}$を位相の基準とする。

 

図1 $RLC$並列回路(電流源接続)

 

図1の回路のアドミタンス$\dot{Y}$は、

$$\dot{Y}=\frac{1}{R}+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right) ・・・(1)$$

 

また、同図中の端子電圧$\dot{V}$は、

$$\dot{V}=\frac{\dot{I}}{\dot{Y}}=\frac{\dot{I}}{\displaystyle{\frac{1}{R}}+j\left(\omega C-\displaystyle{\frac{1}{\omega L}}\right)} ・・・(2)$$

 

ここで、$\omega=\omega_0=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}}$(共振角周波数)となるときの$\dot{Y}$は、$(1)$式より、

$$\begin{align*}
\dot{Y}|_{\omega=\omega_0}&=\frac{1}{R}+j\left(\omega_0 C-\frac{1}{\omega_0 L}\right)\\\\
&=\frac{1}{R}+j\left(\sqrt{\frac{C}{L}}-\sqrt{\frac{C}{L}}\right)\\\\
&=\frac{1}{R} ・・・(3)
\end{align*}$$

 

さらに、このときの端子電圧$\dot{V}$,および抵抗・リアクトル・コンデンサに流れ込む電流$\dot{I}_\mathrm{R},\ \dot{I}_\mathrm{L},\ \dot{I}_\mathrm{C}$は、$(2),\ (3)$式より、

$$\begin{align*}
\dot{V}|_{\omega=\omega_0}&=R\dot{I} ・・・(4)\\\\
\dot{I}_\mathrm{R}|_{\omega=\omega_0}&=\frac{\dot{V}}{R}=\dot{I} ・・・(5)\\\\
\dot{I}_\mathrm{L}|_{\omega=\omega_0}&=\frac{\dot{V}}{j\omega_0 L}=-jR\sqrt{\frac{C}{L}}\dot{I} ・・・(6)\\\\
\dot{I}_\mathrm{C}|_{\omega=\omega_0}&=j\omega_0 C\dot{V}=jR\sqrt{\frac{C}{L}}\dot{I} ・・・(7)
\end{align*}$$

 

$(4)$式より、$\omega=\omega_0$のとき($(2)$式の分母の虚部(サセプタンス)が0になり)、端子電圧$\dot{V}$は最大値をとる。

また$(5)\sim(7)$式より、$\omega=\omega_0$で$\dot{I}_\mathrm{L}=-\dot{I}_\mathrm{C}$,すなわち$\dot{I}_\mathrm{L}$と$\dot{I}_\mathrm{C}$は互いに大きさが等しく、位相差が$\pi$である。

 

このことから、リアクトルとコンデンサは素子間で閉回路を構成するような形になり、外部へ電流は流れ出ない。

そして、抵抗には電流源からの電流がすべて流れ込み、$\dot{I}_\mathrm{R}=\dot{I}$となるため、$R$の値によっては高い電圧が発生する。

これが並列共振現象(parallel resonance)である(反共振ともいう)。

 

並列共振回路のQ値とベクトル図

なお、$(6)$または$(7)$式を変形すると、

$$\left|\dot{I}_\mathrm{L}\right|_{\omega=\omega_0}=\left|\dot{I}_\mathrm{C}\right|_{\omega=\omega_0}=R\sqrt{\frac{C}{L}}\left|\dot{I}\right|\equiv Q\left|\dot{I}\right| ・・・(8)$$

 

ただし、

$$Q\equiv\displaystyle{R\sqrt{\frac{C}{L}}}=\displaystyle{\frac{R}{\omega_0 L}}=\omega_0 CR ・・・(9)$$

 

$(9)$式は図1の並列共振回路の$\mathrm{Q}$値を表す。

 

以上より、各電流のベクトル図は図2のようになる。

 

図2 並列共振時における各電流のベクトル図

 

並列共振回路の共振曲線

図1の回路において、コンダクタンス$G=\displaystyle{\frac{1}{R}}$を用いると、$(1)$式のアドミタンス$\dot{Y}$は、

$$\dot{Y}=G+j\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right) ・・・(10)$$

 

こちらの$(10)$式と、直列共振回路のインピーダンス$\dot{Z}$(「直列共振回路の理論」$(2)$式)には対応関係があり、同様の式変形を行うことで、図3のような共振曲線を描くことができる。

 

図3 並列共振回路の共振曲線

 

図3は横軸に周波数$\omega$,縦軸に端子電圧$\dot{V}$をとったグラフとなっており、形状は同記事図4と同じになる。

 

このように、$RLC$直列共振回路と並列共振回路には対応関係(双対性)がある。

具体的には電圧源⇔電流源、(直列)インピーダンス⇔(並列)アドミタンス、(ベクトル図や共振曲線の)電流⇔端子電圧などがある。

また、$\mathrm{Q}$値に関しては(「直列共振回路の理論」$(10)$式および本記事$(9)$式より)互いに逆数の形になっていることがわかる。

 

一方で、共振角周波数$\omega_0=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}}$の値は共通している。

 

 

RLC並列共振回路(抵抗とリアクトルが直列の場合)

回路の共振角周波数

図1とは異なるパターンの$RLC$並列共振回路として、$L$と$R$が直列接続された図4の回路を考える。

こちらは「リアクトル$L$に抵抗成分$R$が存在している」というイメージである。

 

図4 $RLC$並列回路($L$と$R$が直列接続された場合)

 

図4の回路のアドミタンス$\dot{Y}$は、

$$\begin{align*}
\dot{Y}&=\frac{1}{R+j\omega L}+j\omega C\\\\
&=\frac{R-j\omega L}{R^2+\left(\omega L\right)^2}+j\omega C\\\\
&=\frac{R}{R^2+\left(\omega L\right)^2}+j\left\{\omega C-\frac{\omega L}{R^2+\left(\omega L\right)^2}\right\} ・・・(11)
\end{align*}$$

 

また、同図中の端子電圧$\dot{V}$は、

$$\dot{V}=\frac{\dot{I}}{\dot{Y}}=\frac{\dot{I}}{\displaystyle{\frac{R}{R^2+\left(\omega L\right)^2}+j\left\{\omega C-\frac{\omega L}{R^2+\left(\omega L\right)^2}\right\}}} ・・・(12)$$

 

$(11)$式において、虚部(サセプタンス)が0になる角周波数を$\omega_0$とすると、

$$\omega_0 C-\frac{\omega_0 L}{R^2+\left(\omega_0 L\right)^2}=0 ・・・(13)$$

 

ここで、$R\ll\omega L$としたとき、$(13)$式は、

$$\begin{align*}
\omega_0 C-\frac{\omega_0 L}{R^2+\left(\omega_0 L\right)^2}&\fallingdotseq\omega_0 C-\frac{1}{\omega_0 L}=0\\\\
\therefore\omega_0&=\frac{1}{\sqrt{LC}} ・・・(14)
\end{align*}$$

 

なお、上式のような近似を使わないとしたときの$\omega_0\left(>0\right)$は、

$$\begin{align*}
C&=\frac{L}{R^2+\left(\omega_0 L\right)^2}\\\\
\left(\omega_0 L\right)^2&=\frac{L}{C}-R^2\\\\
\therefore\omega_0&=\sqrt{\frac{1}{LC}-\left(\frac{R}{L}\right)^2}
\end{align*}$$

上式より、$R$の値が小さければ、$(14)$式との差はごくわずかになる。

 

回路の電流・電圧とQ値

また、$\omega=\omega_0$のときの端子電圧$\dot{V}$は、$(12)$式より、$R\ll\omega L$の条件も用いると、

$$\begin{align*}
\dot{V}|_{\omega=\omega_0}&\fallingdotseq\frac{\left(\omega_0 L\right)^2}{R}\dot{I}\\\\
&=\frac{L}{CR}\dot{I} ・・・(15)
\end{align*}$$

 

さらに、抵抗とリアクトルの直流回路およびコンデンサに流れ込む電流$\dot{I}_\mathrm{L}=\dot{I}_\mathrm{R},\ \dot{I}_\mathrm{C}$は、$(15)$式を用いて、

$$\begin{align*}
\dot{I}_\mathrm{L}|_{\omega=\omega_0}&=\frac{\dot{V}}{R+j\omega_0L}\\\\
&\fallingdotseq-j\frac{\displaystyle{\frac{L}{CR}\dot{I}}}{\omega_0L}\\\\
&=-j\frac{\dot{I}}{\omega_0CR}\\\\
&=-j\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\dot{I} ・・・(16)\\\\
\dot{I}_\mathrm{C}|_{\omega=\omega_0}&=j\omega_0 C\dot{V}\\\\
&=j\frac{\omega_0L}{R}\dot{I}\\\\
&=j\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\dot{I} ・・・(17)
\end{align*}$$

 

このとき、図4の回路の$\mathrm{Q}$値は、

$$Q\equiv\displaystyle{\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}=\displaystyle{\frac{\omega_0 L}{R}}=\frac{1}{\omega_0 CR} ・・・(18)$$

となり、$\dot{I}_\mathrm{L},\ \dot{I}_\mathrm{C}$のベクトル図は図2と同様の関係となる。

 

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