さまざまな交流波形の平均値・実効値まとめ

本記事では、さまざまな交流波形の平均値・実効値、およびそれらの値から導かれる波形率・波高率をまとめる。





各指標の定義式

平均値

平均値は、1周期間でとりうる瞬時値の平均の値となる。

周期$T$の交流波形$v\left(t\right)$の平均値$V_\mathrm{avr}$は、次式で計算できる。

$$V_\mathrm{avr}=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\left|v\left(t\right)\right|\mathrm{d}t ・・・(1)$$

 

実効値

実効値(RMS値; Root Mean Square Value)は、時間で変化する交流を「同一の抵抗に接続した際の消費電力が等しくなる直流」に換算した値で、「瞬時値の二乗平均の平方根」で表される。

周期$T$の交流波形$v\left(t\right)$の実効値$V_\mathrm{rms}$は、次の式で計算できる。

$$V_\mathrm{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\left\{v\left(t\right)\right\}^2\mathrm{d}t} ・・・(2)$$

 

波形率と波高率

波形率(フォームファクタ)は平均値に対する実効値の比で、交流波形がどれだけ直流波形(平均値=実効値)に近いかを示す指標である。

また、波高率(クレストファクタ)は実効値に対する最大値(波高値)の比で、波形の「鋭さ」を表す指標である。

 

波形率および波高率は次のように計算できる。

$$\begin{align*}
\textsf{波形率}&=\frac{\textsf{実効値}}{\textsf{平均値}} ・・・(3)\\\\
\textsf{波高率}&=\frac{\textsf{最大値}}{\textsf{実効値}} ・・・(4)
\end{align*}$$

 

波形率は電気計測の分野で、平均値を指示するアナログ式の計器などの指示値に掛け合わせ、対象を交流とみなしたときの実効値を算出するために用いられる。

また、波高率は交流電源の品質を表す指標の1つとして用いられる[参考]

 

各波形の平均値・実効値・波形率・波高率まとめ

本記事で解説する各交流波形の平均値・実効値・波形率・波高率を表に示す。

同表において、$T$は周期、$V_\mathrm{m}$は波高値を示す。

 

表 各波形の平均値・実効値・波形率・波高率

名称波形平均値実効値波形率波高値
正弦波$$\frac{2}{\pi}V_\mathrm{m}$$$$\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}$$$$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$$$$\sqrt{2}$$
半波整流波$$\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}$$$$\frac{V_\mathrm{m}}{2}$$$$\frac{\pi}{2}$$$$2$$
全波整流波$$\frac{2}{\pi}V_\mathrm{m}$$$$\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}$$$$\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$$$$\sqrt{2}$$
方形波$$V_\mathrm{m}$$$$V_\mathrm{m}$$$$1$$$$1$$
パルス波$$\frac{V_\mathrm{m}}{2}$$$$\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}$$$$\sqrt{2}$$$$\sqrt{2}$$
のこぎり波①$$\frac{V_\mathrm{m}}{2}$$$$\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}$$$$\frac{2}{\sqrt{3}}$$$$\sqrt{3}$$
のこぎり波②$$\frac{V_\mathrm{m}}{2}$$$$\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}$$$$\frac{2}{\sqrt{3}}$$$$\sqrt{3}$$
三角波$$\frac{V_\mathrm{m}}{2}$$$$\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}$$$$\frac{2}{\sqrt{3}}$$$$\sqrt{3}$$

 

実効値および平均値の計算(正弦波系)

正弦波

図1に周期$T$,波高値$V_\mathrm{m}$の正弦波交流波形を示す。

 

図1 正弦波

 

図1の波形の時間$t$に対する瞬時値$v\left(t\right)$は、次の式で表すことができる。

$$v\left(t\right)=V_\mathrm{m}\sin\frac{2\pi}{T}t$$

 

図1のような正負で同じ値をとり得る交流波形の場合は、$(1)$式において1周期$T$で平均をとると$0$になるため、その半分である$\displaystyle{\frac{T}{2}}$で平均値を計算する。

したがって、$v\left(t\right)$の平均値$V_\mathrm{avr}$は、$(1)$式より、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{avr}&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{T}{2}}}\int^{\frac{T}{2}}_{0}V_\mathrm{m}\sin\frac{2\pi}{T}t\ \mathrm{d}t\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{T}\left[-\frac{T}{2\pi}\cos\frac{2\pi}{T}t\right]^{\frac{T}{2}}_{0}\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{T}\cdot\frac{T}{2\pi}\left(-\cos\pi+\cos 0\right)\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}\cdot2\\\\
&=\frac{2}{\pi}V_\mathrm{m}
\end{align*}$$

 

また、$v\left(t\right)$の実効値$V_\mathrm{rms}$は、$(2)$式および三角関数の倍角の公式を用いて、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{rms}&=\sqrt{\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\left(V_\mathrm{m}\sin\frac{2\pi}{T}t\right)^2\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{2T}\int^{T}_{0}\left(1-\cos2\cdot\frac{2\pi}{T}t\right)\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{2T}\left[t-\frac{T}{4\pi}\sin\frac{4\pi}{T}t\right]^{T}_{0}}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{2T}\left\{\left(T-\frac{T}{4\pi}\sin4\pi\right)-\left(0-\frac{T}{4\pi}\sin0\right)\right\}}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{2T}\cdot T}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}
\end{align*}$$

 

ちなみに、図1の正弦波や後述する図8の三角波のように、正負で対称性があり、かつ最大値を通る縦軸に平行な直線に対して線対称な波形の場合、周期$T$に対して$\displaystyle{\frac{T}{4}}$分のみを考慮するだけでも、実効値を計算することができる。

(本記事では、なるべく$(2)$の定義式に基づいて計算を行っている)

$$\begin{align*}
V_\mathrm{rms}&=\sqrt{\frac{1}{\displaystyle{\frac{T}{4}}}\int^{\frac{T}{4}}_{0}\left(V_\mathrm{m}\sin\frac{2\pi}{T}t\right)^2\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{2V^2_\mathrm{m}}{T}\int^{\frac{T}{4}}_{0}\left(1-\cos2\cdot\frac{2\pi}{T}t\right)\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{2V^2_\mathrm{m}}{T}\left[t-\frac{T}{4\pi}\sin\frac{4\pi}{T}t\right]^{\frac{T}{4}}_{0}}\\\\
&=\sqrt{\frac{2V^2_\mathrm{m}}{T}\left\{\left(\frac{T}{4}-\frac{T}{4\pi}\sin\pi\right)-\left(0-\frac{T}{4\pi}\sin0\right)\right\}}\\\\
&=\sqrt{\frac{2V^2_\mathrm{m}}{T}\cdot\frac{T}{4}}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}
\end{align*}$$

 

さらに上記の結果より、図1の波形の波形率および波高率は、

$$\begin{align*}
\textsf{波形率}&=\frac{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}}}{\displaystyle{\frac{2}{\pi}V_\mathrm{m}}}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\\\\
\textsf{波高率}&=\frac{V_\mathrm{m}}{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}}}=\sqrt{2}
\end{align*}$$

 

半波整流波

図2に周期$T$,波高値$V_\mathrm{m}$の正弦波に対する半波整流波を示す。

 

図2 半波整流波

 

図2の波形の時間$t$に対する瞬時値$v\left(t\right)$は、$0\leq t\leq T$の範囲内において、次の式で表すことができる。

$$v\left(t\right)=\begin{cases}
V_\mathrm{m}\sin\displaystyle{\frac{2\pi}{T}}t&\left(0\leq t<\displaystyle{\frac{T}{2}}\right)\\\\
0&\left(\displaystyle{\frac{T}{2}}\leq t\leq T\right)
\end{cases}$$

 

したがって、$v\left(t\right)$の平均値$V_\mathrm{avr}$は、$(1)$式より、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{avr}&=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\left|v\left(t\right)\right|\mathrm{d}t\\\\
&=\frac{1}{T}\left(\int^{\frac{T}{2}}_{0}V_\mathrm{m}\sin\frac{2\pi}{T}t\ \mathrm{d}t+\int^{T}_{\frac{T}{2}}0\ \mathrm{d}t\right)\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{T}\left[-\frac{T}{2\pi}\cos\frac{2\pi}{T}t\right]^{\frac{T}{2}}_{0}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{T}\cdot\frac{T}{2\pi}\left(-\cos\pi+\cos 0\right)\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2\pi}\cdot2\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}
\end{align*}$$

 

また、$v\left(t\right)$の実効値$V_\mathrm{rms}$は、$(2)$式および三角関数の倍角の公式を用いて、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{rms}&=\sqrt{\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\left\{v\left(t\right)\right\}^2\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{1}{T}\left\{\int^{\frac{T}{2}}_{0}\left(V_\mathrm{m}\sin\frac{2\pi}{T}t\right)^2\mathrm{d}t+\int^{T}_{\frac{T}{2}}0^2\ \mathrm{d}t\right\}}\\\\
&=\sqrt{\frac{1}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{0}\left(V_\mathrm{m}\sin\frac{2\pi}{T}t\right)^2\mathrm{d}t}\\\\
&=V_\mathrm{m}\sqrt{\frac{1}{2T}\int^{\frac{T}{2}}_{0}\left(1-\cos2\cdot\frac{2\pi}{T}t\right)\mathrm{d}t}\\\\
&=V_\mathrm{m}\sqrt{\frac{1}{2T}\left[t-\frac{T}{4\pi}\sin\frac{4\pi}{T}t\right]^{\frac{T}{2}}_{0}}\\\\
&=V_\mathrm{m}\sqrt{\frac{1}{2T}\left\{\left(\frac{T}{2}-\frac{T}{4\pi}\sin4\pi\right)-\left(0-\frac{T}{4\pi}\sin0\right)\right\}}\\\\
&=V_\mathrm{m}\sqrt{\frac{1}{2T}\cdot\frac{T}{2}}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2}
\end{align*}$$

 

さらに上記の結果より、図2の波形の波形率および波高率は、

$$\begin{align*}
\textsf{波形率}&=\frac{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{2}}}{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\pi}}}=\frac{\pi}{2}\\\\
\textsf{波高率}&=\frac{V_\mathrm{m}}{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{2}}}=2
\end{align*}$$

 

全波整流波

図3に周期$T$,波高値$V_\mathrm{m}$の正弦波に対する全波整流波を示す。

 

図3 全波整流波

 

図3の波形の時間$t$に対する瞬時値$v\left(t\right)$は、$0\leq t\leq\displaystyle{\frac{T}{2}}$に関しては図1と同様の式で表すことができる。

したがって、$v\left(t\right)$の平均値$V_\mathrm{avr}$は、図1の場合と同様の計算となり、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{avr}&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{T}{2}}}\int^{\frac{T}{2}}_{0}V_\mathrm{m}\sin\frac{2\pi}{T}t\ \mathrm{d}t\\\\
&=\frac{2}{\pi}V_\mathrm{m}
\end{align*}$$

 

また、$v\left(t\right)$の実効値$V_\mathrm{rms}$も同様に、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{rms}&=\sqrt{\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\left(V_\mathrm{m}\sin\frac{2\pi}{T}t\right)^2\mathrm{d}t}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}
\end{align*}$$

 

そして上記の結果より、図3の波形の波形率および波高率は、

$$\begin{align*}
\textsf{波形率}&=\frac{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}}}{\displaystyle{\frac{2}{\pi}V_\mathrm{m}}}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}\\\\
\textsf{波高率}&=\frac{V_\mathrm{m}}{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}}}=\sqrt{2}
\end{align*}$$

 

実効値および平均値の計算(方形波系)

方形波

図4に周期$T$,波高値$V_\mathrm{m}$の方形波(矩形波)を示す。

 

図4 方形波

 

図4の波形の時間$t$に対する瞬時値$v\left(t\right)$は、$0\leq t\leq T$の範囲内において、次の式で表すことができる。

$$v\left(t\right)=\begin{cases}
V_\mathrm{m}&\left(0\leq t<\displaystyle{\frac{T}{2}}\right)\\\\
-V_\mathrm{m}&\left(\displaystyle{\frac{T}{2}}\leq t\leq T\right)
\end{cases}$$

 

ここで、図4は正負で同じ値をとり得る交流波形であるため、図1の場合と同様に$\displaystyle{\frac{T}{2}}$で平均値を計算する。

したがって、$v\left(t\right)$の平均値$V_\mathrm{avr}$は、$(1)$式より、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{avr}&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{T}{2}}}\int^{\frac{T}{2}}_{0}V_\mathrm{m}\ \mathrm{d}t\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{T}\left[t\right]^{\frac{T}{2}}_{0}\\\\
&=\frac{2V_\mathrm{m}}{T}\cdot\frac{T}{2}\\\\
&=V_\mathrm{m}
\end{align*}$$

 

また、$v\left(t\right)$の実効値$V_\mathrm{rms}$は、$(2)$式より、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{rms}&=\sqrt{\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\left\{v\left(t\right)\right\}^2\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{1}{T}\left\{\int^{\frac{T}{2}}_{0}V_\mathrm{m}^2\mathrm{d}t+\int^{T}_{\frac{T}{2}}\left(-V_\mathrm{m}\right)^2\ \mathrm{d}t\right\}}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{T}\int^{T}_{0}\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{T}\left[t\right]^{T}_{0}}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{T}\cdot T}\\\\
&=V_\mathrm{m}
\end{align*}$$

 

そして上記の結果より、図4の波形の波形率および波高率は、

$$\begin{align*}
\textsf{波形率}&=\frac{V_\mathrm{m}}{V_\mathrm{m}}=1\\\\
\textsf{波高率}&=\frac{V_\mathrm{m}}{V_\mathrm{m}}=1
\end{align*}$$

 

パルス波

図5に周期$T$,波高値$V_\mathrm{m}$のパルス波を示す。

(同図の波形は通流率$0.5$の直流波形であると考えることもできる)

 

図5 パルス波

 

図5の波形の時間$t$に対する瞬時値$v\left(t\right)$は、$0\leq t\leq T$の範囲内において、次の式で表すことができる。

$$v\left(t\right)=\begin{cases}
V_\mathrm{m}&\left(0\leq t<\displaystyle{\frac{T}{2}}\right)\\\\
0&\left(\displaystyle{\frac{T}{2}}\leq t\leq T\right)
\end{cases}$$

 

したがって、$v\left(t\right)$の平均値$V_\mathrm{avr}$は、$(1)$式より、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{avr}&=\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\left|v\left(t\right)\right|\mathrm{d}t\\\\
&=\frac{1}{T}\left(\int^{\frac{T}{2}}_{0}V_\mathrm{m}\ \mathrm{d}t+\int^{T}_{\frac{T}{2}}0\ \mathrm{d}t\right)\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{T}\left[t\right]^{\frac{T}{2}}_{0}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{T}\cdot\frac{T}{2}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2}
\end{align*}$$

 

また、$v\left(t\right)$の実効値$V_\mathrm{rms}$は、$(2)$式より、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{rms}&=\sqrt{\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\left\{v\left(t\right)\right\}^2\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{1}{T}\left\{\int^{\frac{T}{2}}_{0}V^2_\mathrm{m}\ \mathrm{d}t+\int^{T}_{\frac{T}{2}}0^2\ \mathrm{d}t\right\}}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{T}\left[t\right]^{\frac{T}{2}}_{0}}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{T}\cdot\frac{T}{2}}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{2}}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}
\end{align*}$$

 

そして上記の結果より、図5の波形の波形率および波高率は、

$$\begin{align*}
\textsf{波形率}&=\frac{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}}}{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\\\\
\textsf{波高率}&=\frac{V_\mathrm{m}}{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}}}=\sqrt{2}
\end{align*}$$

 

実効値および平均値の計算(三角波系)

のこぎり波①

図6に周期$\displaystyle{\frac{T}{2}}$,波高値$V_\mathrm{m}$ののこぎり波を示す。

 

図6 のこぎり波①

 

図6の波形の時間$t$に対する瞬時値$v\left(t\right)$は、$0\leq t\leq\displaystyle{\frac{T}{2}}$の範囲内において、次の式で表すことができる。

$$v\left(t\right)=\frac{2V_\mathrm{m}}{T}t$$

 

したがって、$v\left(t\right)$の平均値$V_\mathrm{avr}$は、$(1)$式より、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{avr}&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{T}{2}}}\int^{\frac{T}{2}}_{0}\left|v\left(t\right)\right|\mathrm{d}t\\\\
&=\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{0}\frac{2V_\mathrm{m}}{T}t\ \mathrm{d}t\\\\
&=\frac{2}{T}\cdot\frac{2V_\mathrm{m}}{T}\left[\frac{1}{2}t^2\right]^{\frac{T}{2}}_{0}\\\\
&=\frac{4V_\mathrm{m}}{T^2}\cdot\frac{1}{2}\left(\frac{T}{2}\right)^2\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2}
\end{align*}$$

 

また、$v\left(t\right)$の実効値$V_\mathrm{rms}$は、$(2)$式より、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{rms}&=\sqrt{\frac{1}{\displaystyle{\frac{T}{2}}}\int^{\frac{T}{2}}_{0}\left\{v\left(t\right)\right\}^2\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{2}{T}\int^{\frac{T}{2}}_{0}\left(\frac{2V_\mathrm{m}}{T}t\right)^2\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{2}{T}\cdot\left(\frac{2V_\mathrm{m}}{T}\right)^2\left[\frac{1}{3}t^3\right]^{\frac{T}{2}}_{0}}\\\\
&=\sqrt{\frac{8V^2_\mathrm{m}}{T^3}\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{T}{2}\right)^3}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{3}}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}
\end{align*}$$

 

さらに上記の結果より、図6の波形の波形率および波高率は、

$$\begin{align*}
\textsf{波形率}&=\frac{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}}}{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\\\
\textsf{波高率}&=\frac{V_\mathrm{m}}{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}}}=\sqrt{3}
\end{align*}$$

 

のこぎり波②

のこぎり波の別パターンとして、図7に周期$T$,波高値$V_\mathrm{m}$の波形を示す。

図7 のこぎり波②

 

図7の波形の時間$t$に対する瞬時値$v\left(t\right)$は、$0\leq t\leq T$の範囲内において、次の式で表すことができる。

$$v\left(t\right)=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{2V_\mathrm{m}}{T}}t&\left(0\leq t<\displaystyle{\frac{T}{2}}\right)\\\\
\displaystyle{\frac{2V_\mathrm{m}}{T}}t-2V_\mathrm{m}&\left(\displaystyle{\frac{T}{2}}\leq t\leq T\right)
\end{cases}$$

 

ここで、図7は1周期でみたときに正負で同じ値をとり得る波形のため、図1の場合と同様に$\displaystyle{\frac{T}{2}}$で平均値を計算する。

したがって、$v\left(t\right)$の平均値$V_\mathrm{avr}$は、のこぎり波①と同様の計算となり、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{avr}&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{T}{2}}}\int^{\frac{T}{2}}_{0}\left|v\left(t\right)\right|\mathrm{d}t\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2}
\end{align*}$$

 

また、$v\left(t\right)$の実効値$V_\mathrm{rms}$は、$(2)$式より、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{rms}&=\sqrt{\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\left\{v\left(t\right)\right\}^2\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{1}{T}\left\{\int^{\frac{T}{2}}_{0}\left(\frac{2V_\mathrm{m}}{T}t\right)^2\mathrm{d}t+\int^{T}_{\frac{T}{2}}\left(\frac{2V_\mathrm{m}}{T}t-2V_\mathrm{m}\right)^2\ \mathrm{d}t\right\}}\\\\
&=\sqrt{\frac{1}{T}\left\{\left[\frac{T}{2V_\mathrm{m}}\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{2V_\mathrm{m}}{T}t\right)^3\right]^{\frac{T}{2}}_{0}+\left[\frac{T}{2V_\mathrm{m}}\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{2V_\mathrm{m}}{T}t-2V_\mathrm{m}\right)^3\right]^{T}_{\frac{T}{2}}\right\}}\\\\
&=\sqrt{\frac{1}{6V_\mathrm{m}}\left[V^3_\mathrm{m}+\left\{0-\left(-V_\mathrm{m}\right)^3\right\}\right]}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{3}}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}
\end{align*}$$

 

さらに上記の結果より、図7の波形の波形率および波高率は、

$$\begin{align*}
\textsf{波形率}&=\frac{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}}}{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\\\
\textsf{波高率}&=\frac{V_\mathrm{m}}{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}}}=\sqrt{3}
\end{align*}$$

 

三角波

図8に周期$T$,波高値$V_\mathrm{m}$の三角波を示す。

 

図8 三角波

 

図8の波形の時間$t$に対する瞬時値$v\left(t\right)$は、$0\leq t\leq T$の範囲内において、次の式で表すことができる。

$$v\left(t\right)=\begin{cases}
\displaystyle{\frac{4V_\mathrm{m}}{T}}t&\left(0\leq t<\displaystyle{\frac{T}{4}}\right)\\\\
\displaystyle{-\frac{4V_\mathrm{m}}{T}}t+2V_\mathrm{m}&\left(\displaystyle{\frac{T}{4}}\leq t\leq\displaystyle{\frac{3}{4}T}\right)\\\\
\displaystyle{\frac{4V_\mathrm{m}}{T}}t-4V_\mathrm{m}&\left(0\leq t<\displaystyle{\frac{T}{4}}\right)
\end{cases}$$

 

ここで、図8は正負で同じ値をとり得る波形のため、図1の場合と同様に$\displaystyle{\frac{T}{2}}$で平均値を計算する。

したがって、$v\left(t\right)$の平均値$V_\mathrm{avr}$は、$(2)$式より、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{avr}&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{T}{2}}}\int^{\frac{T}{2}}_{0}\left|v\left(t\right)\right|\mathrm{d}t\\\\
&=\frac{2}{T}\left\{\int^{\frac{T}{4}}_{0}\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t\ \mathrm{d}t+\int^{\frac{T}{2}}_{\frac{T}{4}}\left(-\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t+2V_\mathrm{m}\right)\ \mathrm{d}t\right\}\\\\
&=\frac{2}{T}\left(\left[\frac{2V_\mathrm{m}}{T}t^2\right]^{\frac{T}{4}}_{0}+\left[-\frac{2V_\mathrm{m}}{T}t^2+2V_\mathrm{m}t\right]^{\frac{T}{2}}_{\frac{T}{4}}\right)\\\\
&=\frac{2}{T}\left[\frac{2V_\mathrm{m}}{T}\left(\frac{T}{4}\right)^2-\frac{2V_\mathrm{m}}{T}\left\{\left(\frac{T}{2}\right)^2-\left(\frac{T}{4}\right)^2\right\}+2V_\mathrm{m}\left(\frac{T}{2}-\frac{T}{4}\right)\right]\\\\
&=\left(\frac{V_\mathrm{m}}{4}-\frac{3V_\mathrm{m}}{4}+V_\mathrm{m}\right)\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2}
\end{align*}$$

 

$(1)$式で表される平均値$V_\mathrm{avr}$の定義式は、(直線および横軸で囲まれる面積)÷(積分区間の長さ)となることがわかる。

図8の三角波の場合、直線および横軸で囲まれる面積(三角形の面積)は$\displaystyle{\frac{1}{2}}\times\displaystyle{\frac{T}{2}}\times V_\mathrm{m}=\displaystyle{\frac{T}{4}}V_\mathrm{m}$、積分区間の長さ(三角形の底辺)は$\displaystyle{\frac{T}{2}}$であるから、次のように定義式に沿って計算するのと同じ結果が得られる。

$$\begin{align*}
V_\mathrm{avr}&=\frac{T}{4}V_\mathrm{m}\div\frac{T}{2}\\\\
&=\frac{T}{4}V_\mathrm{m}\times\frac{2}{T}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{2}
\end{align*}$$

 

また、$v\left(t\right)$の実効値$V_\mathrm{rms}$は、$(2)$式より、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{rms}&=\sqrt{\frac{1}{T}\int^{T}_{0}\left\{v\left(t\right)\right\}^2\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{1}{T}\left\{\int^{\frac{T}{4}}_{0}\left(\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t\right)^2\mathrm{d}t+\int^{\frac{3}{4}T}_{\frac{T}{4}}\left(-\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t+2V_\mathrm{m}\right)^2\ \mathrm{d}t+\int^{T}_{\frac{3}{4}T}\left(\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t-4V_\mathrm{m}\right)^2\ \mathrm{d}t\right\}}\\\\
&=\sqrt{\frac{1}{T}\left(\frac{T}{12}V^2_\mathrm{m}+\frac{T}{6}V^2_\mathrm{m}+\frac{T}{12}V^2_\mathrm{m}\right)}\\\\
&=\sqrt{\frac{1}{T}\cdot\frac{T}{3}V^2_\mathrm{m}}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{3}}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}
\end{align*}$$

 

上式の2行目→3行目の計算について
上式の2行目のカッコ{}内第一項の計算は、

$$\begin{align*}
\int^{\frac{T}{4}}_{0}\left(\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t\right)^2\mathrm{d}t&=\left(\frac{4V_\mathrm{m}}{T}\right)^2\left[\frac{1}{3}t^3\right]_0^{\frac{T}{4}}\\\\
&=\left(\frac{4V_\mathrm{m}}{T}\right)^2\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{T}{4}\right)^3\\\\
&=\frac{T}{12}V^2_\mathrm{m}
\end{align*}$$

 

同第二項の計算は、
$$\begin{align*}
\int^{\frac{3}{4}T}_{\frac{T}{4}}\left(-\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t+2V_\mathrm{m}\right)^2\ \mathrm{d}t&=\left[-\frac{T}{4V_\mathrm{m}}\cdot\frac{1}{3}\left(-\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t+2V_\mathrm{m}\right)^3\right]^{\frac{3}{4}T}_{\frac{T}{4}}\\\\
&=-\frac{T}{12V_\mathrm{m}}\left\{\left(-\frac{4V_\mathrm{m}}{T}\cdot\frac{3}{4}T+2V_\mathrm{m}\right)^3-\left(-\frac{4V_\mathrm{m}}{T}\cdot\frac{T}{4}+2V_\mathrm{m}\right)^3\right\}\\\\
&=-\frac{T}{12V_\mathrm{m}}\left\{\left(-V_\mathrm{m}\right)^3-V^3_\mathrm{m}\right\}\\\\
&=\frac{T}{6}V^2_\mathrm{m}
\end{align*}$$

 

同第三項の計算は、
$$\begin{align*}
\int^{T}_{\frac{3}{4}T}\left(\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t-4V_\mathrm{m}\right)^2\mathrm{d}t&=\left[\frac{T}{4V_\mathrm{m}}\cdot\frac{1}{3}\left(\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t-4V_\mathrm{m}\right)^3\right]^{T}_{\frac{3}{4}T}\\\\
&=\frac{T}{12V_\mathrm{m}}\left\{\left(\frac{4V_\mathrm{m}}{T}\cdot T-4V_\mathrm{m}\right)^3-\left(\frac{4V_\mathrm{m}}{T}\cdot\frac{3}{4}T-4V_\mathrm{m}\right)^3\right\}\\\\
&=-\frac{T}{12V_\mathrm{m}}\left\{0^3-\left(-V_\mathrm{m}\right)^3\right\}\\\\
&=\frac{T}{12}V^2_\mathrm{m}
\end{align*}$$

 

以上より、

$$\begin{align*}
&\quad\sqrt{\frac{1}{T}\left\{\int^{\frac{T}{4}}_{0}\left(\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t\right)^2\mathrm{d}t+\int^{\frac{3}{4}T}_{\frac{T}{4}}\left(-\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t+2V_\mathrm{m}\right)^2\ \mathrm{d}t+\int^{T}_{\frac{3}{4}T}\left(\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t-4V_\mathrm{m}\right)^2\ \mathrm{d}t\right\}}\\\\
&=\sqrt{\frac{1}{T}\left(\frac{T}{12}V^2_\mathrm{m}+\frac{T}{6}V^2_\mathrm{m}+\frac{T}{12}V^2_\mathrm{m}\right)}
\end{align*}$$

 

なお、図1の正弦波のときと同様に、$\displaystyle{\frac{T}{4}}$分のみを考慮すると、

$$\begin{align*}
V_\mathrm{rms}&=\sqrt{\frac{1}{\displaystyle{\frac{T}{4}}}\int^{\frac{T}{4}}_{0}\left(\frac{4V_\mathrm{m}}{T}t\right)^2\mathrm{d}t}\\\\
&=\sqrt{\frac{4}{T}\cdot\frac{T}{12}V^2_\mathrm{m}}\\\\
&=\sqrt{\frac{V^2_\mathrm{m}}{3}}\\\\
&=\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}
\end{align*}$$

 

さらに上記の結果より、図8の波形の波形率および波高率は、

$$\begin{align*}
\textsf{波形率}&=\frac{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}}}{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\\\\
\textsf{波高率}&=\frac{V_\mathrm{m}}{\displaystyle{\frac{V_\mathrm{m}}{\sqrt{3}}}}=\sqrt{3}
\end{align*}$$

となり、のこぎり波①,②と同じ結果になる。

 

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参考文献