三角関数の還元公式

本記事では、三角関数の公式のうち「負角の公式」「余角の公式」「補角の公式」「周期性の公式」といった還元公式とその証明について記述する。





負角の公式(-θの公式)

角度に負の符号がつき、$-\theta$となるときの三角関数の変換公式を通称「負角の公式」という。

公式一覧

「負角の公式」は、下記の通り。

$$\begin{align*}
\sin\left(-\theta\right)&=-\sin\theta\\\\
\cos\left(-\theta\right)&=\cos\theta\\\\
\tan\left(-\theta\right)&=-\tan\theta
\end{align*}$$

 

証明

加法定理より、

$$\begin{cases}
\sin\left(\alpha+\beta\right)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta &・・・(1)\\\\
\sin\left(\alpha-\beta\right)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta &・・・(2)\\\\
\cos\left(\alpha+\beta\right)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta &・・・(3)\\\\
\cos\left(\alpha-\beta\right)&=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta &・・・(4)
\end{cases}$$

 

$(2)$式で$\alpha=0,\ \beta=-\theta$とすると、

$$\begin{align*}
\sin\left(0-\theta\right)&=\sin0\cos\theta-\cos0\sin\theta\\\\
&=0\cdot\cos\theta-1\cdot\sin\theta\\\\
&=-\sin\theta
\end{align*}$$

 

また、$(4)$式で$\alpha=0,\ \beta=-\theta$とすると、

$$\begin{align*}
\cos\left(0-\theta\right)&=\cos0\cos\theta+\sin0\sin\theta\\\\
&=1\cdot\cos\theta+0\cdot\sin\theta\\\\
&=\cos\theta
\end{align*}$$

 

さらに、上の2式の結果を用いて、

$$\begin{align*}
\tan\left(-\theta\right)&=\frac{\sin\left(-\theta\right)}{\cos\left(-\theta\right)}\\\\
&=\frac{-\sin\theta}{\cos\theta}\\\\
&=-\tan\theta
\end{align*}$$

 

活用例

 

余角の公式(π/2±θの公式)

ある鋭角$\theta$に対し、足し合わせて$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$となるような角度をその角の余角という。

すなわち、角度$\theta$の余角は$\displaystyle{\frac{\pi}{2}-\theta}$となる。

この余角に対する三角関数の変換公式を通称「余角の公式」という。

公式一覧

今回は、角度$-\theta$に関する余角$\displaystyle{\frac{\pi}{2}-\left(-\theta\right)}=\displaystyle{\frac{\pi}{2}+\theta}$に関する式も加えると、「余角の公式」は、下記の通り。

$$\begin{align*}
\sin\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)&=\cos\theta\\\\
\cos\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)&=\mp\sin\theta\\\\
\tan\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)&=\mp\frac{1}{\tan\theta}\ \left(=\mp\cot\theta\right)
\end{align*}$$

 

証明

$(1)~(4)$式で$\alpha=\displaystyle{\frac{\pi}{2}},\ \beta=\theta$とすると、

$$\begin{align*}
\sin\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)&=\sin\frac{\pi}{2}\cos\theta+\cos\frac{\pi}{2}\sin\theta\\\\
&=1\cdot\cos\theta+0\cdot\sin\theta\\\\
&=\cos\theta
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)&=\sin\frac{\pi}{2}\cos\theta-\cos\frac{\pi}{2}\sin\theta\\\\
&=1\cdot\cos\theta-0\cdot\sin\theta\\\\
&=\cos\theta
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)&=\cos\frac{\pi}{2}\cos\theta-\sin\frac{\pi}{2}\sin\theta\\\\
&=0\cdot\cos\theta-1\cdot\sin\theta\\\\
&=-\sin\theta
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)&=\cos\frac{\pi}{2}\cos\theta+\sin\frac{\pi}{2}\sin\theta\\\\
&=0\cdot\cos\theta+1\cdot\sin\theta\\\\
&=\sin\theta
\end{align*}$$

 

さらに、上で求めた結果を用いて、

$$\begin{align*}
\tan\left(\frac{\pi}{2}\pm\theta\right)&=\frac{\sin\left(\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\pm\theta\right)}{\cos\left(\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\pm\theta\right)}\\\\
&=\frac{\cos\theta}{\mp\sin\theta}\\\\
&=\mp\frac{1}{\tan\theta}
\end{align*}$$

 

活用例

 

 

補角の公式(π±θの公式)

ある角$\theta$に対し、足し合わせて$\pi$となるような角度をその角の補角という。

すなわち、角度$\theta$の補角は$\pi-\theta$となる。

この補角に対する三角関数の変換公式を通称「補角の公式」という。

公式一覧

今回は、角度$-\theta$に関する余角$\pi-\left(-\theta\right)=\pi+\theta$に関する式も加えると、「補角の公式」は、下記の通り。

$$\begin{align*}
\sin\left(\pi\pm\theta\right)&=\mp\sin\theta\\\\
\cos\left(\pi\pm\theta\right)&=-\cos\theta\\\\
\tan\left(\pi\pm\theta\right)&=\pm\tan\theta
\end{align*}$$

 

証明

$(1)~(4)$式で$\alpha=\pi,\ \beta=\theta$とすると、

$$\begin{align*}
\sin\left(\pi+\theta\right)&=\sin\pi\cos\theta+\cos\pi\sin\theta\\\\
&=0\cdot\cos\theta+\left(-1\right)\cdot\sin\theta\\\\
&=-\sin\theta
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\sin\left(\pi-\theta\right)&=\sin\pi\cos\theta-\cos\pi\sin\theta\\\\
&=0\cdot\cos\theta-\left(-1\right)\cdot\sin\theta\\\\
&=\sin\theta
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\cos\left(\pi+\theta\right)&=\cos\pi\cos\theta-\sin\pi\sin\theta\\\\
&=\left(-1\right)\cdot\cos\theta-0\cdot\sin\theta\\\\
&=-\cos\theta
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\cos\left(\pi+\theta\right)&=\cos\pi\cos\theta+\sin\pi\sin\theta\\\\
&=\left(-1\right)\cdot\cos\theta+0\cdot\sin\theta\\\\
&=-\cos\theta
\end{align*}$$

 

さらに、上で求めた結果を用いて、

$$\begin{align*}
\tan\left(\pi\pm\theta\right)&=\frac{\sin\left(\pi\pm\theta\right)}{\cos\left(\pi\pm\theta\right)}\\\\
&=\frac{\mp\sin\theta}{-\cos\theta}\\\\
&=\pm\tan\theta
\end{align*}$$

 

活用例

 

周期性の公式(θ±2nπの公式)

三角関数は周期関数で、その周期は$\sin\theta,\ \cos\theta$の場合は$2\pi$,$\tan\theta$の場合は$\pi$となる。

$n$を整数とすると、三角関数においてある角$\theta$にその周期の$n$倍の角を足し合わせたものは、同じ値となる。

この三角関数の性質について、ここでは「周期性の公式」として記述する。

公式一覧

「周期性の公式」は、下記の通り。

$$\begin{align*}
\sin\left(\theta+2n\pi\right)&=\sin\theta\\\\
\cos\left(\theta+2n\pi\right)&=\cos\theta\\\\
\tan\left(\theta+n\pi\right)&=\tan\theta
\end{align*}$$

 

 

関連記事

本記事では、三角関数の公式のうち、「積和の公式」「和積の公式」とその証明について記述する。[afTag id=11282]積和の公式積和の公式一覧三角関数の「積」の形から「和」の形に変換する式を通称「積和の公式」という。[…]

関連記事

本記事では、双曲線関数について、電気工学の解説に登場する部分を解説する。[afTag id=11282]双曲線関数とは双曲線関数とは、次のように指数関数を用いて定義される関数である。$$\begin{cases}[…]

 

参考文献