変圧器結線と零相回路

変圧器の結線の種類によって、零相回路がどのように表現できるかを考察する。

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Δ結線時の零相電流

まず、3つの同一構造・特性の巻線を$\Delta$結線したものを図1に示す。
(この図は電源が省略されているが、変圧器の二次巻線といった出力側であると解釈してほしい)

図1 $\Delta$結線

このときの各相端子に出力される線電流$\dot{I_{ab}},\ \dot{I_{bc}},\ \dot{I_{ca}}$について考える。

$\dot{I_{ab}},\ \dot{I_{bc}},\ \dot{I_{ca}}$を巻線内電流$\dot{I_a},\ \dot{I_b},\ \dot{I_c}$で表すと、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c}\dot{I_{ab}} \\ \dot{I_{bc}} \\ \dot{I_{ca}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\dot{I_a}-\dot{I_b} \\ \dot{I_b}-\dot{I_c} \\ \dot{I_c}-\dot{I_a}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0 \\ 0&1&-1 \\ -1&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{I_a} \\ \dot{I_b} \\ \dot{I_c}\end{array}\right) ・・・(1)
\end{align*}$$

$\dot{I_{ab}},\ \dot{I_{bc}},\ \dot{I_{ca}}$を対称座標法変換したものを${_\Delta}\dot{I_0},\ {_\Delta}\dot{I_1},\ {_\Delta}\dot{I_2}$とすると、$(1)$式の両辺を対称座標法変換して、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c}{_\Delta}\dot{I_0} \\ {_\Delta}\dot{I_1} \\ {_\Delta}\dot{I_2}\end{array}\right)&=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1&1&1 \\ 1&a&a^2 \\ 1&a^2&a\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0 \\ 0&1&-1 \\ -1&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{I_a} \\ \dot{I_b} \\ \dot{I_c}\end{array}\right)\\\\&=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1&1&1 \\ 1&a&a^2 \\ 1&a^2&a\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0 \\ 0&1&-1 \\ -1&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&1&1 \\ 1&a^2&a \\ 1&a&a^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array}\right)\\\\&=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0 \\ \frac{1}{3}(1-a^2)&\frac{1}{3}(-1+a)&\frac{1}{3}(-a+a^2) \\ \frac{1}{3}(1-a)&\frac{1}{3}(-1+a^2)&\frac{1}{3}(-a^2+a)\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&1&1 \\ 1&a^2&a \\ 1&a&a^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array}\right)\\\\&=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0 \\ 0&1-a^2&0 \\ 0&0&1-a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{array}\right)\\\\\\&\therefore{_\Delta}\dot{I_0}=0,\ {_\Delta}\dot{I_1}=(1-a^2)\dot{I_1},\ {_\Delta}\dot{I_2}=(1-a)\dot{I_2} ・・・(2)
\end{align*}$$

$(2)$式より、$\Delta$結線において、零相電流は外部端子には出力されない(=巻線内を環流する)ということがわかる。

また、外部端子間の電圧$\dot{V_{ab}},\ \dot{V_{bc}},\ \dot{V_{ca}}$は、$\Delta$結線の場合は巻線に発生する電圧$\dot{V_{a}},\ \dot{V_{b}},\ \dot{V_{c}}$に等しい。変換行列を$\boldsymbol{a}$とすると、対称座標法変換後の端子電圧${_\Delta}\dot{V_0},\ {_\Delta}\dot{V_1},\ {_\Delta}\dot{V_2}$は、

$$\begin{align*}
\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{c}\dot{V_{ab}} \\ \dot{V_{bc}} \\ \dot{V_{ca}}\end{array}\right)&=\boldsymbol{a} \left(\begin{array}{c}\dot{V_a} \\ \dot{V_b} \\ \dot{V_c}\end{array}\right)\\\\
\therefore\left(\begin{array}{c}\dot{{_\Delta}V_{0}} \\ \dot{{_\Delta}V_{1}} \\ \dot{{_\Delta}V_{2}}\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}\dot{V_0} \\ \dot{V_1} \\ \dot{V_2}\end{array}\right) ・・・(3)
\end{align*}$$

したがって、端子間に零相電圧${_\Delta}\dot{V_0}$は発生しているが、出力される零相電流${_\Delta}\dot{I_0}$がゼロであるため、対称分回路における零相回路は開放状態とみなすことができる。

なお、正相電流${_\Delta}\dot{I_1}$および逆相電流${_\Delta}\dot{I_2}$の大きさを考えると、

$${_\Delta}\dot{I_1}=(1-a^2)\dot{I_1}=\left\{1-\left(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\}\dot{I_1}=\left(\frac{3}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\dot{I_1}\\\\\\\therefore\left|\frac{{_\Delta}\dot{I_1}}{\dot{I_1}}\right|=\sqrt{3},\ \tan^{-1}\left\{\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{{_\Delta}\dot{I_1}}{\dot{I_1}}\right)}{\mathrm{Re}\left(\frac{{_\Delta}\dot{I_1}}{\dot{I_1}}\right)}\right\}=\frac{\pi}{6}\\\\\\\\{_\Delta}\dot{I_2}=(1-a)\dot{I_2}=\left\{1-\left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\}\dot{I_2}=\left(\frac{3}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\dot{I_2}\\\\\\\therefore\left|\frac{{_\Delta}\dot{I_2}}{\dot{I_2}}\right|=\sqrt{3},\ \tan^{-1}\left\{\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{{_\Delta}\dot{I_2}}{\dot{I_2}}\right)}{\mathrm{Re}\left(\frac{{_\Delta}\dot{I_2}}{\dot{I_2}}\right)}\right\}=-\frac{\pi}{6}$$

となり、正相および逆相成分において、線電流は巻線内に流れる電流(=相電流)に対し、大きさは$\sqrt{3}$倍、位相差は$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$であることがわかる。

Y結線時の零相電流

次に、3つの巻線を$Y$結線したものを図2に示す。 同図では、中性点はインピーダンス$\dot{Z_n}$を介して大地に接続されており、中性点発生電圧を$\dot{V_n}$とする。

図2 $Y$結線

各相の巻線の対地電圧はそれぞれ$\dot{V_a}+\dot{V_n},\ \dot{V_b}+\dot{V_n},\ \dot{V_c}+\dot{V_n}$であり、これらを対称座標法変換すると、

$$\begin{align*}
\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{c}\dot{V_a}+\dot{V_n} \\ \dot{V_b}+\dot{V_n} \\ \dot{V_c}+\dot{V_n}\end{array}\right)&=\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{c}\dot{V_a} \\ \dot{V_b} \\ \dot{V_c}\end{array}\right)+\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{c}\dot{V_n} \\ \dot{V_n} \\ \dot{V_n}\end{array}\right)\\\\&=\left(\begin{array}{c}\dot{V_0} \\ \dot{V_1} \\ \dot{V_2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\dot{V_n} \\ 0 \\ 0\end{array}\right)\\\\&=\left(\begin{array}{c} -\dot{Z_0}\dot{I_0} \\ \dot{E_a}-\dot{Z_1}\dot{I_1} \\ -\dot{Z_2}\dot{I_2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-3\dot{Z_n}\dot{I_0} \\ 0 \\ 0\end{array}\right)  ・・・(4) \end{align*}$$

$(4)$式において、巻線の零相インピーダンス$\dot{Z_0}$と中性点インピーダンス$3\dot{Z_n}$を接続した回路に、零相電流$ \dot{I_0}$が流れることにより、巻線の零相電圧$\dot{V_0}$が発生することがわかる。すなわち、零相電流$\dot{I_0}$は巻線から接地されている中性点を通って流れることになる。

また、$Y$結線の場合は外部に流れる線電流${_Y}\dot{I_0}$と巻線内に流れる電流$ \dot{I_0}$(=相電流)が等しいため、対称分回路における零相回路は巻線の零相インピーダンス$\dot{Z_0}$と中性点インピーダンス$3\dot{Z_n}$を直列接続した回路とみなすことができる。

この場合の零相電流${_Y}\dot{I_0}$は、$(4)$式より、

$${_Y}\dot{I_0}=\dot{I_0}=-\frac{\dot{V_0}}{\dot{Z_0}+3\dot{Z_n}} ・・・(5)$$

なお、以上は「発電機の基本式」で導出した式と同じであることは明らかである。

発電機の基本式はこちら↓

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なお、各相端子間に出力される線間電圧$\dot{V_{ab}},\ \dot{V_{bc}},\ \dot{V_{ca}}$についても考えてみる。

$\dot{V_{ab}},\ \dot{V_{bc}},\ \dot{V_{ca}}$を巻線に発生する電圧$\dot{V_a},\ \dot{V_b},\ \dot{V_c}$(=相電圧)で表すと、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c}\dot{V_{ab}} \\ \dot{V_{bc}} \\ \dot{V_{ca}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\dot{V_a}-\dot{V_b} \\ \dot{V_b}-\dot{V_c} \\ \dot{V_c}-\dot{V_a}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0 \\ 0&1&-1 \\ -1&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{V_a} \\ \dot{V_b} \\ \dot{V_c}\end{array}\right) ・・・(6)
\end{align*}$$

$\dot{V_{ab}},\ \dot{V_{bc}},\ \dot{V_{ca}}$を対称座標法変換したものを${_Y}\dot{V_0},\ {_Y}\dot{V_1},\ {_Y}\dot{V_2}$とすると、$(6)$式の両辺を対称座標法変換して、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c}{_Y}\dot{V_0} \\ {_Y}\dot{V_1} \\ {_Y}\dot{V_2}\end{array}\right)&=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1&1&1 \\ 1&a&a^2 \\ 1&a^2&a\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0 \\ 0&1&-1 \\ -1&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{V_a} \\ \dot{V_b} \\ \dot{V_c}\end{array}\right)\\\\&=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}1&1&1 \\ 1&a&a^2 \\ 1&a^2&a\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0 \\ 0&1&-1 \\ -1&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&1&1 \\ 1&a^2&a \\ 1&a&a^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{V_0} \\ \dot{V_1} \\ \dot{V_2}\end{array}\right)\\\\&=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0 \\ \frac{1}{3}(1-a^2)&\frac{1}{3}(-1+a)&\frac{1}{3}(-a+a^2) \\ \frac{1}{3}(1-a)&\frac{1}{3}(-1+a^2)&\frac{1}{3}(-a^2+a)\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1&1&1 \\ 1&a^2&a \\ 1&a&a^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{V_0} \\ \dot{V_1} \\ \dot{V_2}\end{array}\right)\\\\&=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0 \\ 0&1-a^2&0 \\ 0&0&1-a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{V_0} \\ \dot{V_1} \\ \dot{V_2}\end{array}\right)\\\\\\&\therefore{_Y}\dot{V_0}=0,\ {_Y}\dot{V_1}=(1-a^2)\dot{V_1},\ {_Y}\dot{V_2}=(1-a)\dot{V_2} ・・・(7)
\end{align*}$$

$(7)$式より、線間電圧については零相成分は含まれないことがわかる(これは三相および二相短絡故障の計算において、零相回路が開放状態になっていることからもわかる)。

短絡故障の詳細な解説はこちら↓

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なお、正相電圧${_Y}\dot{V_1}$および逆相電流${_Y}\dot{V_2}$の大きさを考えると、

$${_Y}\dot{V_1}=(1-a^2)\dot{V_1}=\left\{1-\left(-\frac{1}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\}\dot{V_1}=\left(\frac{3}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\dot{V_1}\\\\\\\therefore\left|\frac{{_Y}\dot{V_1}}{\dot{V_1}}\right|=\sqrt{3},\ \tan^{-1}\left\{\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{{_Y}\dot{I_1}}{\dot{I_1}}\right)}{\mathrm{Re}\left(\frac{{_Y}\dot{I_1}}{\dot{I_1}}\right)}\right\}=\frac{\pi}{6}\\\\\\\\{_Y}\dot{V_2}=(1-a)\dot{V_2}=\left\{1-\left(-\frac{1}{2}+j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right\}\dot{V_2}=\left(\frac{3}{2}-j\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\dot{V_2}\\\\\\\therefore\left|\frac{{_Y}\dot{V_2}}{\dot{V_2}}\right|=\sqrt{3},\ \tan^{-1}\left\{\frac{\mathrm{Im}\left(\frac{{_Y}\dot{I_2}}{\dot{I_2}}\right)}{\mathrm{Re}\left(\frac{{_Y}\dot{I_2}}{\dot{I_2}}\right)}\right\}=-\frac{\pi}{6}$$

となり、正相および逆相成分において、線間電圧は相電圧に対し、大きさは$\sqrt{3}$倍、位相差は$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$であることがわかる。

結線の種類に対する零相回路の比較

前節までで単一の結線において考えたが、これらを組み合わせた変圧器としての結線の違いにより、零相回路をどのように考えればよいかみていく。

Δ-Δ結線

変圧器を$\Delta-\Delta$結線とした場合の三相回路および零相回路を図3に示す。

図3 $\Delta-\Delta$結線(上:三相回路、下:零相回路)

同図より、$\Delta$結線は外部に零相電流を流さないため、外部端子とは電気的に切断されている状態であることがわかる。なお、$\Delta$結線内部で環流はするため、零相だけで閉じた回路にはなっている。

Y-Y結線

まず、変圧器を$Y-Y$結線として、巻線の片側だけ中性点を接地した場合の三相回路および零相回路を図4に示す。

図4 $Y-Y$結線(片側のみ中性点接地、上:三相回路、下:零相回路)

$(5)$式より、中性点接地インピーダンスが無限大、すなわち中性点非接地の場合には、${_Y}\dot{I_0}=0$となるため、零相回路は開放状態となる。したがって、回路全体としては零相電流は流れないことになる。

次に、変圧器を$Y-Y$結線として、巻線の中性点を両側とも接地した場合の三相回路および零相回路を図5に示す。

図5 $Y-Y$結線(両側中性点接地、上:三相回路、下:零相回路)

図5の場合は、接地した両側の中性点を通して回路が導通している状態となっており、零相電流が流れる回路が形成されている。

Y-Δ結線

まず、変圧器を$Y-\Delta$結線として、$Y$結線側の中性点は非接地した場合の三相回路および零相回路を図6に示す。

図6  $Y-\Delta$結線($Y$結線中性点非接地、上:三相回路、下:零相回路)

図6および$(5)$式より、$Y$結線側が中性点非接地で零相インピーダンスは無限大となるため、零相回路は開放状態となる。したがって、回路全体としては零相電流は流れない。

最後に、変圧器を$Y-\Delta$結線として、$Y$結線側の中性点を接地した場合の三相回路および零相回路を図7に示す。

図7 $Y-\Delta$結線($Y$結線中性点接地、上:三相回路、下:零相回路)

同図より、$Y$結線側が零相インピーダンス$3\dot{Z_n}$を介して接続されているので、零相電流が流れる回路が形成される。このとき、$\Delta$結線側には零相電流は流れ出さないため、零相回路は$\Delta$結線側以降は切断されているとみなすことができる。

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