変圧器の原理とアンペアターン・キャンセル

本記事では、変圧器の巻数比とアンペアターン・キャンセルについて述べ、電圧・電流の変成作用の原理について解説する。





変圧器のモデル

変圧器は、磁路となる鉄心と、これに挿入された2つ以上の巻線とで構成された機器である。

変圧器は、電源側から一方の巻線に供給された交流電力について、電磁誘導作用を用いて電圧および電流を変成し、もう一方の巻線に接続された回路に同一周波数の交流電力を供給する機能を有している。

 

今回は、図1のように鉄心に一次巻線(巻回数$n_1$)と二次巻線(巻回数$n_2$)が挿入されているモデルを考える。

 

図1 変圧器の構成

 

一次巻線の誘導起電力

図2のように、変圧器の一次巻線端子に、$e_1=\sqrt{2}E_1\sin\omega t$の正弦波交流電圧を印加する場合を考える。

 

図2 一次巻線の誘導起電力と励磁電流

 

巻線はその大部分がインダクタンス成分であり、電流の位相は電圧より$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$遅れる

このことを考慮して、巻線のインピーダンスの大きさを$Z_1\fallingdotseq\omega L_1$とすると、一次巻線に流れる電流$i_0$(励磁電流)は、

$$\begin{align*}
i_0&=\frac{e_1}{Z_1}\\\\
&=\frac{\sqrt{2}E_1}{\omega L_1}\sin⁡\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) ・・・(1)
\end{align*}$$

 

励磁電流$i_0$が一次巻線に流れると、鉄心内に交流の磁束(交番磁束)$\varphi$が生じる。

$(1)$式および磁気回路のオームの法則より、磁束$\varphi$を起磁力$n_1i_0$および磁気抵抗$R_\mathrm{m}=\displaystyle{\frac{l}{\mu A}}$($l$は磁路長、$\mu$は透磁率、$A$は断面積)を用いて表すと、

$$\begin{align*}
\varphi&=\frac{n_1 i_0}{R_\mathrm{m}}\\\\
&=\frac{n_1}{\displaystyle{\frac{l}{\mu A}}}\cdot\frac{\sqrt{2}E_1}{\omega L_1}\sin⁡\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\\\\
&=\frac{\sqrt{2}n_1\mu AE_1}{l\omega L_1}\sin⁡\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) ・・・(2)
\end{align*}$$

 

磁束$\varphi$の最大値を$\Phi_\mathrm{m}\equiv\displaystyle{\frac{\sqrt{2}n_1\mu AE_1}{l\omega L_1}}$とおくと、$(2)$式は、

$$\varphi=\Phi_\mathrm{m}\sin⁡\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right) ・・・(3)$$

 

$(3)$式で表されるような磁束$\varphi$が生じると、レンツの法則により、巻線には$i_0$とは逆向きの電流を流そうとするように起電力$e’_1$が誘導される。

この誘導起電力$e’_1$の式は、$(3)$式および余角の公式より、

$$\begin{align*}
e’_1&=-n_1\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\\\\
&=-n_1\omega\Phi_\mathrm{m}\cos⁡\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\\\\
&=-n_1\omega\Phi_\mathrm{m}\sin\omega t ・・・(4)
\end{align*}$$

 

$(4)$式より、誘導起電力$e’_1$は電源電圧$e_1$と大きさが等しく、符号が反対になる。

 

なお、誘導起電力の実効値$E_1$は、$\omega=2\pi f$($f$は電源周波数)の関係を用いて、$e’_1$と$e_1$の式を比較することで求めることができて

$$\begin{align*}
\sqrt{2}E_1&=2\pi fn_1\Phi_\mathrm{m}\\\\
\therefore E_1&=\frac{2\pi fn_1\Phi_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}\\\\
&=4.44fn_1\Phi_\mathrm{m} ・・・(5)
\end{align*}$$

 

 

一次・二次誘導起電力の比と巻数比の関係

次に、図3のように、一次巻線に電源から正弦波交流電圧$e_1$を印加した場合の、二次巻線に誘導される起電力を考える。

 

図3 一次および二次巻線の誘導起電力

 

図3において、励磁電流$i_0$が発生させる磁束$\varphi$が、鉄心を介して二次巻線に鎖交することにより、二次側端子間には$e’_1$と同じ位相の誘導起電力$e’_2$が発生する。

この誘導起電力$e’_2$の式は、$(4)$式と同様に、

$$\begin{align*}
e’_2&=-n_2\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\\\\
&=-n_2\omega\Phi_\mathrm{m}\cos⁡\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\\\\
&=-n_2\omega\Phi_\mathrm{m}\sin\omega t ・・・(6)
\end{align*}$$

 

$e’_2=\sqrt{2}E_2\sin\omega t$とおくとき、二次誘導起電力の実効値$E_2$は、$(6)$式より、

$$\begin{align*}
E_2&=\frac{2\pi fn_2\Phi_\mathrm{m}}{\sqrt{2}}\\\\
&=4.44fn_2\Phi_\mathrm{m} ・・・(7)
\end{align*}$$

 

$E_2$と一次誘導起電力の実効値$E_1$との比を求めると、$(5),\ (7)$式より、

$$\begin{align*}
\frac{E_1}{E_2}&=\frac{4.44fn_1\Phi_\mathrm{m}}{4.44fn_2\Phi_\mathrm{m}}\\\\
&=\frac{n_1}{n_2}\equiv a ・・・(8)
\end{align*}$$

となり、一次および二次誘導起電力の比$\displaystyle{\frac{E_1}{E_2}}$は両巻線の巻数比$a$に等しくなる。

 

以上より、変圧器は印加された電圧に対し、その巻数比$a$に応じた起電力を出力する(=電圧を変成する)ことができる。

 

負荷を接続した場合

さらに、図4のように二次巻線に負荷を接続し、二次負荷電流$i_2$を流す場合を考える。

 

図4 一次および二次巻線の電流

 

二次負荷電流$i_2$による起磁力は$n_2i_2$であり、本来であればこれに比例する磁束$\varphi_2$が、鉄心中の磁束$\varphi$に加えて発生する。

 

しかし、一次巻線への印加電圧は電源によって決まる$e_1$で一定であるとすれば、二次巻線の誘導起電力$e’_2$も等しく一定となるため、磁束は$\varphi$で一定でなければならない。

こうなるためには、二次負荷電流$i_2$による磁束$\varphi_2$を打ち消すための磁束$\varphi_1$を新たに発生させる必要があり、このための起磁力を生じさせる電流$i’_1$が一次巻線に流れる。

 

この原理をアンペアターン・キャンセルといい、このときの電流$i’_1$を補償電流(または一次負荷電流)という。

アンペアターン・キャンセルは「等起磁力の法則」ともいい、「アンペア(電流)×ターン(巻数)=起磁力が一次-二次間でキャンセルされる」という意味合いがある。

 

このとき、各電流による磁束$\varphi_1$および$\varphi_2$は等しく、かつ磁束は起磁力に比例する。

各電流の実効値を$I’_1$および$I_2$とすると、$(8)$式より、

$$\begin{align*}
n_1I’_1&=n_2I_2\\\\
\therefore\frac{I’_1}{I_2}&=\frac{n_2}{n_1}=\frac{1}{a} ・・・(9)
\end{align*}$$

となり、電流比$\displaystyle{\frac{I’_1}{I_2}}$は巻数比$a$の逆数に等しくなる。

 

結局、一次巻線に流れる電流$i_1$は、補償電流$i’_1$と励磁電流$i_0$の合計で表され、

$$i_1=i’_1+i_0 ・・・(10)$$

 

通常、$i’_1\gg i_0$であり、補償電流$i’_1$は一次電流$i_1$に等しくなる。

 

したがって、変圧器の二次側に負荷を接続した場合、その巻数比$a$に応じた電流が一次側にも流れる(=電流を変成する)。

 

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参考文献