双曲線関数とその公式まとめ

本記事では、双曲線関数について、電気工学の解説に登場する部分を解説する。





双曲線関数とは

双曲線関数とは、次のように指数関数を用いて定義される関数である。

$$\begin{cases}
\sinh{x}=\displaystyle{\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}}\\\\
\cosh{x}=\displaystyle{\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}}\\\\
\tanh{x}=\displaystyle{\frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}}=\displaystyle{\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}
\end{cases}$$

 

読み方は「ハイパボリック(hyperbolic)サイン」などと読む。

 

双曲線関数のグラフは図1のようになる。

 

図1 双曲線関数のグラフ

 

活用例

 

双曲線関数の性質

基本性質

双曲線関数は、(その記号で表されるように)三角関数とよく似た性質がある。

双曲線関数の基本性質として、$\sinh x,\ \cosh x$について次の式が成り立つ。

$$\cosh^2x-\sinh^2x=1$$

 

証明

$$\begin{align*}
\cosh^2x-\sinh^2x&=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^2\\\\
&=\frac{e^{2x}+e^{-2x}+2}{4}-\frac{e^{2x}+e^{-2x}-2}{4}\\\\
&=\frac{2+2}{4}\\\\
&=1
\end{align*}$$

 

活用例

 

双曲線と双曲線関数

$x-y$座標系における双曲線(標準形)の式は、

$$x^2-y^2=1$$

で表され、グラフは図2のようになる。

 

図2 双曲線(標準形)

 

このとき、双曲線上の点と原点とを結ぶ線と、$x$軸とが囲う部分の面積が$\displaystyle{\frac{a}{2}}$となるとき、点の座標は$\left(x,\ y\right)=\left(\cosh a,\ \sinh a\right)$と表される。

この点は双曲線$x^2-y^2=1$上にあるため、$\cosh^2a-\sinh^2a=1$が成り立つ。

なお、$a$は角度ではなく面積を表しているため、弧度法で表すことはできない。

 

このように、三角関数と単位円との関係のように、双曲線関数は図2の双曲線に対応しており、これが名称の由来となっている。

 

双曲線関数の加法定理

双曲線関数について、次のように加法定理が成り立つ(複合同順)。

$$\begin{cases}
\sinh\left(\alpha\pm\beta\right)=\sinh{\alpha}\cosh{\beta}\pm\cosh{\alpha}\sinh{\beta}\\\\
\cosh\left(\alpha\pm\beta\right)=\cosh{\alpha}\cosh{\beta}\pm\sinh{\alpha}\sinh{\beta}
\end{cases}$$

 

$\cosh\left(\alpha\pm\beta\right)$の式の$\pm$の符号の対応が、$\cos\left(\alpha\pm\beta\right)$の式とは異なっていることに注意。

 

証明

$$\begin{align*}
\sinh\left(\alpha+\beta\right)&=\frac{e^{\alpha+\beta}-e^{-\left(\alpha+\beta\right)}}{2}\\\\
&=\frac{e^{\alpha}e^{\beta}-e^{-\alpha}e^{-\beta}}{2}\\\\
&=\frac{2e^{\alpha}e^{\beta}-2e^{-\alpha}e^{-\beta}}{4}\\\\
&=\frac{e^{\alpha}e^{\beta}-e^{-\alpha}e^{-\beta}+e^{\alpha}e^{\beta}-e^{-\alpha}e^{-\beta}}{4}\\\\
&=\frac{\left(e^{\alpha}e^{\beta}+e^{\alpha}e^{-\beta}-e^{-\alpha}e^{\beta}-e^{-\alpha}e^{-\beta}\right)+\left(e^{\alpha}e^{\beta}-e^{\alpha}e^{-\beta}+e^{-\alpha}e^{\beta}-e^{-\alpha}e^{-\beta}\right)}{4}\\\\
&=\frac{e^{\alpha}\left(e^{\beta}+e^{-\beta}\right)-e^{-\alpha}\left(e^{\beta}+e^{-\beta}\right)+e^{\alpha}\left(e^{\beta}-e^{-\beta}\right)+e^{-\alpha}\left(e^{\beta}-e^{-\beta}\right)}{4}\\\\
&=\left(\frac{e^{\alpha}-e^{-\alpha}}{2}\right)\left(\frac{e^{\beta}+e^{-\beta}}{2}\right)+\left(\frac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}\right)\left(\frac{e^{\beta}-e^{-\beta}}{2}\right)\\\\
&=\sinh{\alpha}\cosh{\beta}+\cosh{\alpha}\sinh{\beta}
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\cosh\left(\alpha+\beta\right)&=\frac{e^{\alpha+\beta}+e^{-\left(\alpha+\beta\right)}}{2}\\\\
&=\frac{e^{\alpha}e^{\beta}+e^{-\alpha}e^{-\beta}}{2}\\\\
&=\frac{2e^{\alpha}e^{\beta}+2e^{-\alpha}e^{-\beta}}{4}\\\\
&=\frac{e^{\alpha}e^{\beta}+e^{-\alpha}e^{-\beta}+e^{\alpha}e^{\beta}+e^{-\alpha}e^{-\beta}}{4}\\\\
&=\frac{\left(e^{\alpha}e^{\beta}+e^{\alpha}e^{-\beta}+e^{-\alpha}e^{\beta}+e^{-\alpha}e^{-\beta}\right)+\left(e^{\alpha}e^{\beta}-e^{\alpha}e^{-\beta}-e^{-\alpha}e^{\beta}+e^{-\alpha}e^{-\beta}\right)}{4}\\\\
&=\frac{e^{\alpha}\left(e^{\beta}+e^{-\beta}\right)+e^{-\alpha}\left(e^{\beta}+e^{-\beta}\right)+e^{\alpha}\left(e^{\beta}-e^{-\beta}\right)-e^{-\alpha}\left(e^{\beta}-e^{-\beta}\right)}{4}\\\\
&=\left(\frac{e^{\alpha}+e^{-\alpha}}{2}\right)\left(\frac{e^{\beta}+e^{-\beta}}{2}\right)+\left(\frac{e^{\alpha}-e^{-\alpha}}{2}\right)\left(\frac{e^{\beta}-e^{-\beta}}{2}\right)\\\\
&=\cosh{\alpha}\cosh{\beta}+\sinh{\alpha}\sinh{\beta}
\end{align*}$$

 

上式で$\beta\rightarrow-\beta$として計算すれば、$\sinh\left(\alpha-\beta\right),\ \cosh\left(\alpha-\beta\right)$の式も成り立つ。

 

活用例

 

双曲線関数と三角関数の関係

双曲線関数と三角関数については、次の関係が成り立つ。

$$\begin{cases}
\sin{jx}=j\sinh{x}\\\\
\cos{jx}=\cos{x}
\end{cases}$$

 

$$\begin{cases}
\sinh{jx}=j\sin{x}\\\\
\cosh{jx}=\cos{x}
\end{cases}$$

 

証明

上式の左辺の三角関数について、指数表示にして計算すると、

$$\begin{align*}
\sin{jx}&=\frac{e^{j\left(jx\right)}-e^{j\left(-jx\right)}}{2j}\\\\
&=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2j}\\\\
&=j\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\\
&=j\sinh{x}
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\cos{jx}&=\frac{e^{j\left(jx\right)}+e^{j\left(-jx\right)}}{2}\\\\
&=\frac{e^{-x}+e^{x}}{2}\\\\
&=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\\\\
&=\cosh{x}
\end{align*}$$

 

また、

$$\begin{align*}
\sinh{jx}&=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2}\\\\
&=j\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}\\\\
&=j\sin x
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\cosh{jx}&=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}\\\\
&=\cos x
\end{align*}$$

 

活用例

 

 

双曲線関数の導関数

双曲線関数を微分した、導関数については次の通り。

$$\begin{cases}
\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\left(\sinh{x}\right)=\cosh{x}\\\\
\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\left(\cosh{x}\right)=\sinh{x}
\end{cases}$$

 

$\cosh x$の導関数は、$\cos x$とは異なりマイナス符号が付かないことに注意。

 

証明

$$\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sinh{x}\right)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right\}\\\\
&=\frac{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}e^{x}-\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}e^{-x}}{2}\\\\
&=\frac{e^{x}+e^{\left(-x\right)}}{2}\\\\
&=\cosh{x}
\end{align*}$$

 

$$\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cosh{x}\right)&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right\}\\\\
&=\frac{\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}e^{x}+\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}e^{-x}}{2}\\\\
&=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\\\\
&=\sinh{x}
\end{align*}$$

 

活用例

 

双曲線関数の極限値

図1のグラフより、$x\rightarrow0$としたときの双曲線関数の極限値は次の通り。

$$\begin{cases}
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}}\sinh{x}=0\\\\
\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}}\cosh{x}=1
\end{cases}$$

 

また、以下の式も成り立つ。

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinh{x}}{x}=1$$

 

証明

$$\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinh{x}}{x}&=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{2x}\\\\
&=\lim_{x\rightarrow0}e^{-x}\cdot\frac{e^{2x}-1}{2x}\\\\
&=\lim_{x\rightarrow0}e^{-x}\cdot\frac{e^{\left(0+2x\right)}-e^{0}}{2x}\\\\
\end{align*}$$

 

ここで、関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数$f'(a)$の定義式は、

$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}$$

 

上式で、$f(x)=e^{x},\ a\rightarrow0,\ h\rightarrow2x$とすると、

$$\begin{align*}
f'(0)&=\lim_{2x\rightarrow0}\frac{f\left(0+2x\right)-f\left(0\right)}{2x}\\\\
&=\lim_{2x\rightarrow0}\frac{e^{\left(0+2x\right)}-e^{0}}{2x}
\end{align*}$$

 

$f'(0)=e^0=1$,かつ$x\rightarrow0$のとき$2x\rightarrow0$であるから、結局、

$$\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinh{x}}{x}&=\lim_{x\rightarrow0}e^{-x}\cdot\frac{e^{\left(0+2x\right)}-e^{0}}{2x}\\\\
&=e^{-0}\cdot e^0\\\\
&=1
\end{align*}$$

 

活用例

 

参考文献・リンク