本記事では、直流電源が接続された$LC$並列回路における過渡現象について解説する。
回路方程式（スイッチ開→閉）
直流電源$E$，抵抗$R_0$，静電容量$C$，インダクタンス$L$が接続された$LC$並列回路にて、時間$t=0$でスイッチを閉じた状態のものを図1に示す。
（図1の回路では、$L$および$C$に過大な電流が流れるのを防ぐため抵抗$R_0$を挿入している）
図1 $LC$並列回路（スイッチ閉）
図1の回路では$t=0$でスイッチが閉じた後、電源から抵抗$R_0$を介した電流$i$が、静電容量$C$とインダクタンス$L$にそれぞれ$i_\mathrm{C}$および$i_\mathrm{L}$として分流している。
この電流$i$に関して、キルヒホッフの第一法則および第二法則を適用すると、回路方程式は、
$$\begin{cases}
i=i_\mathrm{C}+i_\mathrm{L} &・・・(1)\\\\
R_0i+L\displaystyle{\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}}=E &・・・(2)\\\\
L\displaystyle{\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}}=\displaystyle{\frac{1}{C}\int i_\mathrm{C}}\ \mathrm{d}t &・・・(3)
\end{cases}$$
$(2)$式の$i$に$(1)$式を代入すると、
$$R_0\left(i_\mathrm{C}+i_\mathrm{L}\right)+L\displaystyle{\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}}=E ・・・(4)$$
また、$(3)$式の両辺を$t$で微分して、$i_\mathrm{C}$の式にすると、
$$\begin{align*}
L\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t^2}&=\frac{i_\mathrm{C}}{C}\\\\
\therefore i_\mathrm{C}&=LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t^2} ・・・(5)
\end{align*}$$
$(4)$および$(5)$式より、$i_\mathrm{C}$を消去して整理すると、
$$R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{L}=E ・・・(6)$$
回路方程式（スイッチ開→閉）の解法
過渡解と定常解
$(6)$式を電流$i_\mathrm{L}$について解く場合、過渡解を$i_\mathrm{Lt}$，定常解を$i_\mathrm{Ls}$とすると、$(6)$式の解は、
$$i=i_\mathrm{Lt}+i_\mathrm{Ls} ・・・(7)$$
と表すことができる。
$(7)$式を$(6)$式に代入すると、
$$\begin{align*}
R_0LC\frac{\mathrm{d}^2\left(i_\mathrm{Lt}+i_\mathrm{Ls}\right)}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}\left(i_\mathrm{Lt}+i_\mathrm{Ls}\right)}{\mathrm{d}t}+R_0\left(i_\mathrm{Lt}+i_\mathrm{Ls}\right)&=E\\\\
\therefore\left(R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Lt}\right)+\left(R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Ls}\right)&=E ・・・(8)
\end{align*}$$
$(8)$式をそれぞれ$i_\mathrm{Lt}$と$i_\mathrm{Ls}$についての2つの式に分離すると、
$$\begin{cases}
\displaystyle{R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Lt}}=0 &・・・(8.1)\\\\
\displaystyle{R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Ls}}=E &・・・(8.2)
\end{cases}$$
$(8.1)$式は過渡状態においてのみ考慮すべき式であり、$t\rightarrow\infty$で両辺は$0$に収束する。
同式は右辺が$0$であり、数学的には斉次方程式である。
一方、$(8.2)$式は定常状態において成立する式であり、右辺が$0$でない非斉次方程式である。
過渡解の導出
$(6)$式を解くために、まず、
$$R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Lt}=0 ・・・(8.1)$$
を解き、過渡解$i_\mathrm{Lt}$を求める。
$(8.1)$式の解を便宜的に$i_\mathrm{Lt}=Ae^{Bt}$とおく（$A, B$は定数）。
これを$(8.1)$式に代入すると、
$$\begin{align*}
R_0LCAB^2e^{Bt}+LABe^{Bt}+R_0Ae^{Bt}&=0\\\\
\therefore R_0LCB^2+LB+R_0&=0 ・・・(9)
\end{align*}$$
$(9)$式から$B$を求めると、二次方程式の解の公式より、
$$\begin{align*}
B&=\frac{-L\pm\sqrt{L^2-4R^2_0LC}}{2R_0LC}\\\\
&=-\frac{1}{2R_0C}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}} ・・・(10)
\end{align*}$$
したがって、過渡解$i_\mathrm{Lt}$は、$(10)$式より、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{Lt}&=A_1e^{\left\{-\frac{1}{2R_0C}+\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}}\right\}t}+A_2e^{\left\{-\frac{1}{2R_0C}-\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}}\right\}t}\\\\
&=e^{-\frac{t}{2R_0C}}\left(A_1e^{\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}}t}+A_2e^{-\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}}t}\right) ・・・(11)
\end{align*}$$
ただし、$A_1,\ A_2$は定数である。
定常解の導出
次に、
$$R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Ls}=E ・・・(8.2)$$
を解き、定常解$i_\mathrm{Ls}$を求める。
$(8.2)$式は定常状態、すなわち$t\rightarrow\infty$としたときにも成り立つ式である。
この場合、過渡的な電流値の遷移がない状態であるから、
$$\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t^2}=0,\ \frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}=0$$
したがって、$(8.2)$式から、
$$i_\mathrm{Ls}=\frac{E}{R_0} ・・・(12)$$
$(12)$式が$(6)$式における定常解となる。
インダクタンスLに流れる電流の式
$(11),\ (12)$式を$(7)$式に代入すると、$(6)$式の一般解を求めることができて、
$$i_\mathrm{L}=e^{-\frac{t}{2R_0C}}\left(A_1e^{\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}}t}+A_2e^{-\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}}t}\right)+\frac{E}{R_0} ・・・(13)$$
$(13)$式の平方根の中、$\left\{\displaystyle{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2}-\frac{1}{LC}\right\}$の符号により、$i_\mathrm{L}$の挙動は変化する。
以降、$\alpha\equiv\displaystyle{\frac{1}{2R_0C}},\ \omega_0\equiv\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}},\ \sqrt{\displaystyle{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2}-\frac{1}{LC}}=\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2}\equiv\beta$とおく。
ここからは、$\alpha^2$と${\omega_0}^2$の大小について場合分けを行う。
α2>ω02の場合
$\alpha^2-{\omega_0}^2>0$，すなわち$\alpha^2>{\omega_0}^2$の場合、$(13)$式は、
$$i_\mathrm{L}=e^{-\alpha t}\left(A_1e^{\beta t}+A_2e^{-\beta t}\right)+\frac{E}{R_0} ・・・(13.1)$$
$A_1,\ A_2$を求めるため、$t=0$における初期条件を確認する。
$t=0$のとき、スイッチが入った直後はインダクタンス$L$の作用により、並列回路のうち静電容量$C$の方にのみ電流が流れるため、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}|_{t=0}=A_1+A_2+\frac{E}{R_0}&=0\\\\
\therefore A_1+A_2&=-\frac{E}{R_0} ・・・(14)
\end{align*}$$
またこのとき、並列回路部の$L$および$C$の電圧は$0$になるため、$(14)$式と合わせて、
$$\begin{align*}
\left.L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}&=L\left.\left\{-\alpha e^{-\alpha t}\left(A_1e^{\beta t}+A_2e^{-\beta t}\right)+e^{-\alpha t}\left(\beta A_1e^{\beta t}-\beta A_2e^{-\beta t}\right)\right\}\right|_{t=0}\\\\
&=Le^{-\alpha t}\left\{-\alpha\left(A_1+A_2\right)+\beta\left(A_1-A_2\right)\right\}\\\\
&=\frac{\alpha LE}{R_0}+L\beta\left\{A_1-\left(-\frac{E}{R_0}-A_1\right)\right\}\\\\
&=0\\\\
2L\beta A_1&=-\frac{LE}{R_0}\left(\beta+\alpha\right)\\\\
\therefore A_1&=-\frac{E}{2R_0}\left(1+\frac{\alpha}{\beta}\right) ・・・(15)
\end{align*}$$
$(14),\ (15)$式より、
$$\begin{align*}
A_2&=-\frac{E}{R_0}-A_1\\\\
&=\frac{E}{2R_0}\left\{-2+\left(1+\frac{\alpha}{\beta}\right)\right\}\\\\
&=-\frac{E}{2R_0}\left(1-\frac{\alpha}{\beta}\right) ・・・(16)
\end{align*}$$
$(15),\ (16)$式を$(13.1)$式に代入すると、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}&=-e^{-\alpha t}\left\{\frac{E}{2R_0}\left(1+\frac{\alpha}{\beta}\right)e^{\beta t}+\frac{E}{2R_0}\left(1-\frac{\alpha}{\beta}\right)e^{-\beta t}\right\}+\frac{E}{R_0}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\frac{e^{\beta t}+e^{-\beta t}}{2}+\frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{e^{\beta t}-e^{-\beta t}}{2}\right)\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t+\frac{\alpha}{\beta}\sinh\beta t\right)\right\} ・・・(17)
\end{align*}$$
また、$\phi=\tanh^{-1}\displaystyle{\frac{\beta}{\alpha}}$とおくと、$\tanh\phi=\displaystyle{\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi}}$の関係および双曲線関数の加法定理を用いて$(17)$式を変形し、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t+\frac{1}{\tanh\phi}\cdot\sinh\beta t\right)\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t+\frac{\cosh\phi}{\sinh\phi}\cdot\sinh\beta t\right)\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left(1-e^{-\alpha t}\frac{\sinh\phi\cosh\beta t+\cosh\phi\sinh\beta t}{\sinh\phi}\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\frac{\sinh\left(\beta t+\phi\right)}{\sinh\phi}\right\} ・・・(18)
\end{align*}$$
α2=ω02の場合
$\alpha^2-{\omega_0}^2=0$，すなわち$\alpha^2={\omega_0}^2$のとき、$(17)$式で$\beta\rightarrow0$とする場合に等しくなる。
このとき、双曲線関数の極限値の公式
$$\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow0}\cosh{x}&=1\\\\
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinh{ax}}{x}&=\lim_{x\rightarrow0}a\frac{\sinh{ax}}{ax}=a
\end{align*}$$
を用いると、$(17)$式は、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}&=\lim_{\beta\rightarrow0}\left[\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t+\alpha\cdot\frac{\sinh\beta t}{\beta}\right)\right\}\right]\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(1+\alpha t\right)\right\} ・・・(19)
\end{align*}$$
α2<ω02の場合
$\alpha^2-{\omega_0}^2>0$，すなわち$\alpha^2>{\omega_0}^2$のとき、
$$\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2}=j\sqrt{{\omega_0}^2-\alpha^2}\equiv j\beta$$
とおくと、この場合は$(17)$式で$\beta\rightarrow j\beta$とすればよい。また、双曲線関数と三角関数の関係式
$$\begin{align*}
\sinh j\beta t=j\frac{e^{j\beta t}-e^{j\beta t}}{2j}=j\sin\beta t\\\\
\cosh j\beta t=\frac{e^{j\beta t}+e^{j\beta t}}{2}=\cos\beta t
\end{align*}$$
を用いると、$(17)$式で$\beta\rightarrow j\beta$として、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t+\frac{\alpha}{\beta}\sin\beta t\right)\right\} ・・・(20)
\end{align*}$$
さらに、$\theta\equiv\tan^{-1}\displaystyle{\frac{\beta}{\alpha}}$とおくと、$(20)$式は、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t+\frac{1}{\tan\theta}\cdot\sin\beta t\right)\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cdot\sin\beta t\right)\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\frac{\left(\sin\theta\cos\beta t+\cos\theta\sin\beta t\right)}{\sin\theta}\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\frac{\sin\left(\beta t+\theta\right)}{\sin\theta}\right\} ・・・(21)
\end{align*}$$
$(21)$式は、$(18)$式で$\beta\rightarrow j\beta,\ \phi\rightarrow j\theta$とした場合に等しくなる。
静電容量Cに流れる電流の式
次に、静電容量$C$に流れる電流$i_\mathrm{C}$を、$(5)$式および前項までの$i_\mathrm{L}$を用いて求める。
α2>ω02の場合
$\alpha^2>{\omega_0}^2$のとき、$(5),\ (17)$式および$LC=\displaystyle{\frac{1}{{\omega_0}^2}},\ \beta^2-\alpha^2=\left(\alpha^2-{\omega_0}^2\right)-\alpha^2=-{\omega_0}^2$および双曲線関数の導関数の公式を用いて、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{C}&=\frac{1}{{\omega_0}^2}\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t^2}\\\\
&=-\frac{1}{{\omega_0}^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{E}{R_0}\left\{-\alpha e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t+\frac{\alpha}{\beta}\sinh\beta t\right)+\beta e^{-\alpha t}\left(\sinh\beta t+\frac{\alpha}{\beta}\cosh\beta t\right)\right\}\right]\\\\
&=-\frac{1}{{\omega_0}^2}\frac{E}{R_0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{e^{-\alpha t}\left(\beta-\frac{\alpha^2}{\beta}\right)\sinh\beta t\right\}\\\\
&=-\frac{1}{{\omega_0}^2}\frac{E}{R_0}\left\{-\alpha e^{-\alpha t}\left(\beta-\frac{\alpha^2}{\beta}\right)\sinh\beta t+\beta e^{-\alpha t}\left(\beta-\frac{\alpha^2}{\beta}\right)\cosh\beta t\right\}\\\\
&=-\frac{1}{{\omega_0}^2}\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left\{\left(\beta^2-\alpha^2\right)\cosh\beta t-\left(\beta^2-\alpha^2\right)\frac{\alpha}{\beta}\sinh\beta t\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t-\frac{\alpha}{\beta}\sinh\beta t\right) ・・・(22)
\end{align*}$$
さらに、$\phi=\tanh^{-1}\displaystyle{\frac{\beta}{\alpha}}$および双曲線関数の加法定理を用いると、$(22)$式は、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{C}&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t-\frac{1}{\tanh\phi}\sinh\beta t\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t-\frac{\cosh\phi}{\sinh\phi}\sinh\beta t\right)\\\\
&=-\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\frac{\sinh\beta t\cosh\phi-\cosh\beta t\sinh\phi}{\sinh\phi}\\\\
&=-\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\frac{\sinh\left(\beta t-\phi\right)}{\sinh\phi} ・・・(23)
\end{align*}$$
α2=ω02の場合
$\alpha^2={\omega_0}^2$のとき、$(22)$式で$\beta\rightarrow0$とする場合に等しくなるため、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{C}&=\lim_{\beta\rightarrow0}\left\{\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t-\alpha\cdot\frac{\sinh\beta t}{\beta}\right)\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(1-\alpha t\right) ・・・(24)
\end{align*}$$
α2<ω02の場合
$\alpha^2<{\omega_0}^2$のとき、$(22),\ (23)$式で$\beta\rightarrow j\beta,\ \phi\rightarrow j\theta$とする場合に等しくなるため、双曲線関数と三角関数の関係式を用いて（2パターン導出すると）、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{C}&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cosh j\beta t-\frac{\alpha}{j\beta}\sinh j\beta t\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t-\frac{\alpha}{j\beta}j\sin\beta t\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t-\frac{\alpha}{\beta}\sin\beta t\right) ・・・(25)\\\\\\\\
i_\mathrm{C}&=-\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\frac{\sinh\left(j\beta t-j\theta\right)}{\sinh j\theta}\\\\
&=-\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\frac{j\sin\left(\beta t-\theta\right)}{j\sin\theta}\\\\
&=-\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\frac{\sin\left(\beta t-\theta\right)}{\sin\theta} ・・・(26)
\end{align*}$$
回路全体の電流の式
さらに、回路全体に流れる電流$i$を、$(1)$式および前項までの$i_\mathrm{L},\ i_\mathrm{C}$を用いて求める。
α2>ω02の場合
$(17),\ (22)$式より、
$$\begin{align*}
i&=i_\mathrm{L}+i_\mathrm{C}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t+\frac{\alpha}{\beta}\sinh\beta t\right)\right\}+\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t-\frac{\alpha}{\beta}\sinh\beta t\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left(1-\frac{2\alpha}{\beta}e^{-\alpha t}\sinh\beta t\right) ・・・(27)
\end{align*}$$
α2=ω02の場合
$(19),\ (24)$式より、
$$\begin{align*}
i&=i_\mathrm{L}+i_\mathrm{C}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(1+\alpha t\right)\right\}+\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(1-\alpha t\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left(1-2\alpha te^{-\alpha t}\right) ・・・(28)
\end{align*}$$
α2<ω02の場合
$(20),\ (25)$式より、
$$\begin{align*}
i&=i_\mathrm{L}+i_\mathrm{C}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t+\frac{\alpha}{\beta}\sin\beta t\right)\right\}+\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t-\frac{\alpha}{\beta}\sin\beta t\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left(1-\frac{2\alpha}{\beta}e^{-\alpha t}\sin\beta t\right) ・・・(29)
\end{align*}$$
回路方程式（スイッチ閉→開）
図1の$LC$並列回路にて、スイッチを閉じてから十分に経過した時間$t=T$にてスイッチを開いた状態を図2に示す。
図2 $LC$並列回路（スイッチ開）
スイッチを開くことで、電源と静電容量$C$およびインダクタンス$L$の回路は切り離され、図2のように閉回路を形成し、電流$i$が還流する。
図2の$i$の向きを正として、$t=T$以降でスイッチを開いた状態における回路方程式は、キルヒホッフの第二法則より、
$$\frac{1}{C}\int i\ \mathrm{d}t+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=0 ・・・(30)$$
回路方程式（スイッチ閉→開）の解法
$(30)$式の両辺を$t$で微分して、電荷$q$の式としたものは「LC直列回路の過渡現象（直列回路）」の$(4.1)$式と同じ形になる。
同記事より、電流$i$の一般解を定数$A_3,\ A_4$を用いて表すと（$t=T$が時間$t$の基準値であることに注意すると）、
$$\begin{align*}
i&=-\frac{A_3}{\sqrt{LC}}\sin\frac{t}{\sqrt{LC}}+\frac{A_4}{\sqrt{LC}}\cos\frac{t}{\sqrt{LC}}\\\\
&=-\omega_0A_3\sin\omega_0\left(t-T\right)+\omega_0A_4\cos\omega_0\left(t-T\right) ・・・(31)
\end{align*}$$
本記事では、直流電源が接続された$LC$直列回路における過渡現象について解説する。回路方程式図1に直流電源$E$，インダクタンス$L$，静電容量$C$が接続された$LC$直列回路を示す。 図1 […]
次に、$t=T$でスイッチを開く直前に流れていた電流$i$は、$(27)\sim(29)$式で十分に時間が経った場合（$t\rightarrow\infty$）の値と等しくなり、
$$\begin{align*}
i|_{t=T}=\omega_0A_4&=\frac{E}{R_0}\\\\
\therefore A_4&=\frac{E}{\omega_0R_0} ・・・(32)
\end{align*}$$
またこのとき、インダクタンス$L$の両端の電圧は$0$であるため、
$$\begin{align*}
\left.L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\right|_{t=T}&=\left.L\left\{-\omega^2_0A_3\cos\omega_0\left(t-T\right)-\omega^2_0A_4 \sin\omega_0\left(t-T\right)\right\}\right|_{t=T}\\\\
&=-\omega^2_0LA_3\\\\
&=0\\\\
\therefore A_3&=0 ・・・(33)
\end{align*}$$
以上より、$(31)\sim(33)$式より、電流$i$の式は、
$$\begin{align*}
i&=\omega_0\cdot\frac{E}{\omega_0R_0}\cos\omega_0\left(t-T\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}\cos\omega_0\left(t-T\right) ・・・(34)
\end{align*}$$
電流のグラフ
$(27)\sim(29)$式に基づき、図1の回路のスイッチを閉じて十分に時間が経つまでの、電流$i$のグラフを図3に示す。
図3 $LC$並列回路の電流（スイッチ閉）
同図より、$\alpha^2>{\omega_0}^2$の場合（赤の波形）は、電流$i$は時間$t$に伴いゆっくりと減衰する波形となる（過制動）。
また、$\alpha^2<{\omega_0}^2$の場合（青の波形）は、減衰しながら振動する波形となる（減衰振動または不足制動）。
この振動の有無の境界線となるのが、$\alpha^2={\omega_0}^2$の場合（緑の波形）である（臨界制動）。
次に、$(27)$式および$(34)$式に基づき、$\alpha^2>{\omega_0}^2$の場合における、スイッチ開閉前後の電流$i$のグラフを図4に示す。
図4 $LC$並列回路の電流（$\alpha^2>{\omega_0}^2$，スイッチ開閉前後）
図3より、スイッチを閉じた$t=0$の直後は静電容量$C$に電流$i=\displaystyle{\frac{E}{R_0}}$が流れ込む。
その後、$C$は時間が経過にするにつれ充電されていくため、徐々にインダクタンス$L$の方に電流が流れ、最終的には$R_0$の値で決まる一定値$i=\displaystyle{\frac{E}{R_0}}$に収束する。
そして、$t=T$でスイッチを開くと、$L$と$C$の間でそれぞれエネルギーを互いに送り合い、電流$i$は振動する波形となる。
図2は抵抗$R_0$が回路から切り離されており、エネルギーが消費されないために減衰項は存在せず、各波形は一定の値に収束することなく振動し続ける。
本記事では、各素子を接続した回路にスイッチをいれた直後の過渡現象についてまとめる。過渡現象とは過渡現象とは「ある定常状態から別の定常状態に移行する際に起こる現象」である。 微分方程式で表される回路方[…]
関連する例題（「電験王」へのリンク）
電験一種
電験二種
参考文献
- 大下眞二郎『詳解電気回路演習（下）』共立出版，1980
著書・製品のご紹介
『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている！
※本ページはプロモーションが含まれています。―『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている― 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。[…]
この講座との出会いは、数学が苦手なあなたを救う！
電験アカデミアにテキストを書き下ろしてもらい、電験どうでしょうの川尻将先生により動画解説を行ない、電験3種受験予定者が電…
すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！
※本ページはプロモーションが含まれています。すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！ 当サイト「電気の神髄」をいつもご愛読ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 […]
初学者が躓きがちなギモンを、電験アカデミアがスッキリ解決します！
※本ページはプロモーションが含まれています。 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 2022年5月18日、オーム社より「電験カフェへようこそ[…]