本記事では、直流電源が接続された$RC$並列回路における過渡現象について解説する。
回路方程式（スイッチ開→閉）
直流電源$E$，抵抗$R_0$および$R$，静電容量$C$が接続された$RC$並列回路にて、時間$t=0$でスイッチを閉じた状態のものを図1に示す。
（図1の回路では、$C$に過大な電流が流れるのを防ぐため抵抗$R_0$を挿入している）
図1 $RC$並列回路（スイッチ閉）
図1の回路では$t=0$でスイッチが閉じた後、電源から抵抗$R_0$を介した電流$i$が、抵抗$R$と静電容量$C$にそれぞれ$i_\mathrm{R}$および$i_\mathrm{C}$として分流している。
この電流$i$に関して、キルヒホッフの第一法則および第二法則を適用すると、回路方程式は、
$$\begin{cases}
i=i_\mathrm{R}+i_\mathrm{C} &・・・(1)\\\\
R_0i+Ri_\mathrm{R}=E &・・・(2)\\\\
Ri_\mathrm{R}=\displaystyle{\frac{1}{C}\int i_\mathrm{C}}\ \mathrm{d}t &・・・(3)
\end{cases}$$
$(2)$式の$i$に$(1)$式を代入すると、
$$\begin{align*}
R_0\left(i_\mathrm{R}+i_\mathrm{C}\right)+Ri_\mathrm{R}&=E\\\\
\therefore\left(R_0+R\right)i_\mathrm{R}+R_0i_\mathrm{C}&=E ・・・(4)
\end{align*}$$
$(3)$および$(4)$式より、$i_\mathrm{R}$を消去すると、
$$\frac{R_0+R}{RC}\int i_\mathrm{C}\ \mathrm{d}t+R_0i_\mathrm{C}=E ・・・(5)$$
ここで、$C$に蓄えられる電荷を$q$とすると、電流$i_\mathrm{C}$と$\displaystyle{i_\mathrm{C}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}}$の関係があることを利用して、$(5)$式を$q$の式に書き換えれば、
$$\frac{R_0+R}{RC}q+R_0\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=E ・・・(6)$$
回路方程式（スイッチ開→閉）の解法
過渡解と定常解
$(6)$式を電荷$q$について解く場合、過渡解を$q_\mathrm{t}$，定常解を$q_\mathrm{s}$とすると、$(6)$式の解は、
$$q=q_\mathrm{t}+q_\mathrm{s} ・・・(7)$$
と表すことができる。
$(7)$式を$(6)$式に代入すると、
$$\begin{align*}
\frac{R_0+R}{RC}\left(q_\mathrm{t}+q_\mathrm{s}\right)+R_0\left(\frac{\mathrm{d}q_\mathrm{t}}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}q_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t}\right)&=E\\\\
\therefore\left(\frac{R_0+R}{RC}q_\mathrm{t}+R_0\frac{\mathrm{d}q_\mathrm{t}}{\mathrm{d}t}\right)+\left(\frac{R_0+R}{RC}q_\mathrm{s}+R_0\frac{\mathrm{d}q_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t}\right)&=E ・・・(8)
\end{align*}$$
$(8)$式をそれぞれ$q_\mathrm{t}$と$q_\mathrm{s}$についての2つの式に分離すると、
$$\begin{cases}
\displaystyle{\frac{R_0+R}{RC}}q_\mathrm{t}+R_0\displaystyle{\frac{\mathrm{d}q_\mathrm{t}}{\mathrm{d}t}}=0 &・・・(8.1)\\\\
\displaystyle{\frac{R_0+R}{RC}}q_\mathrm{s}+R_0\displaystyle{\frac{\mathrm{d}q_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t}}=E &・・・(8.2)
\end{cases}$$
$(8.1)$式は過渡状態においてのみ考慮すべき式であり、$t\rightarrow\infty$で両辺は$0$に収束する。
同式は右辺が$0$であり、数学的には斉次方程式である。
一方、$(8.2)$式は定常状態において成立する式であり、右辺が$0$でない非斉次方程式である。
過渡解の導出
$(6)$式を解くために、まず
$$\frac{R_0+R}{RC}q_\mathrm{t}+R_0\frac{\mathrm{d}q_\mathrm{t}}{\mathrm{d}t}=0 ・・・(8.1)$$
を解き、過渡解$q_\mathrm{t}$を求める。
$(8.1)$式を変形すると、
$$\begin{align*}
R_0\frac{\mathrm{d}q_\mathrm{t}}{\mathrm{d}t}&=-\frac{R_0+R}{RC}q_\mathrm{t}\\\\
\frac{\mathrm{d}q_\mathrm{t}}{q_\mathrm{t}}&=-\frac{R_0+R}{R_0RC}\mathrm{d}t\\\\
\int{\frac{\mathrm{d}q_\mathrm{t}}{q_\mathrm{t}}}&=-\frac{R_0+R}{R_0RC}\int{\mathrm{d}t}\\\\
\ln{\left|q_\mathrm{t}\right|}&=-\frac{R_0+R}{R_0RC}t+D\\\\
\therefore q_\mathrm{t}&=Ae^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t} \left(A=\pm e^D\right) ・・・(9)
\end{align*}$$
上記の導出において、$D,\ A$は積分定数である。
$(9)$式が$(8)$式における過渡解となる。
定常解の導出
次に、
$$\frac{R_0+R}{RC}q_\mathrm{s}+R_0\frac{\mathrm{d}q_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t}=E ・・・(8.2)$$
を解き、$(6)$式の定常解を求める。
$(8.2)$式は定常状態、すなわち$t\rightarrow\infty$としたときにも成り立つ式である。
この場合、過渡的な電流値の遷移がない状態であるから、
$$\frac{\mathrm{d}q_\mathrm{s}}{\mathrm{d}t}=0$$
したがって、$(8.2)$式から、
$$q_\mathrm{s}=\frac{RC}{R_0+R}E ・・・(10)$$
$(10)$式が$(6)$式における定常解となる。
電流・電圧の式
$(9),\ (10)$式を$(7)$式に代入すると、$(6)$式の一般解を求めることができて、
$$q=Ae^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}+\frac{RC}{R_0+R}E ・・・(11)$$
ここで、初期状態$t=0$において、静電容量$C$に蓄えられている電荷は$0$であるとすると、
$$\begin{align*}
q|_{t=0}=A+\frac{RC}{R_0+R}E=0\\\\
\therefore A=-\frac{RC}{R_0+R}E
\end{align*}$$
したがって、$(11)$式は、
$$q=\frac{RC}{R_0+R}E\left(1-e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right) ・・・(12)$$
$(12)$式が$(6)$式における特殊解となる。
また、静電容量$C$に流れる電流$i_\mathrm{C}$は、$(12)$式の両辺を$t$で微分して、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{C}&=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\\\\
&=-\frac{RC}{R_0+R}E\cdot\left(-\frac{R_0+R}{R_0RC}\right)e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\\\\
&=\frac{E}{R_0}e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t} ・・・(13)
\end{align*}$$
さらに、抵抗$R$に流れる電流$i_\mathrm{R}$は、$(13)$式を$(4)$式の左辺に代入して、
$$\begin{align*}
\left(R_0+R\right)i_\mathrm{R}+R_0\cdot\frac{E}{R_0}e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}&=E\\\\
\left(R_0+R\right)i_\mathrm{R}&=E\left(1-e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right)\\\\
\therefore i_\mathrm{R}&=\frac{E}{R_0+R}\left(1-e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right) ・・・(14)
\end{align*}$$
以上より、回路に流れる電流$i$は、$(1),\ (13),\ (14)$式より、
$$\begin{align*}
i&=i_\mathrm{R}+i_\mathrm{C}\\\\
&=\frac{E}{R_0+R}\left(1-e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right)+\frac{E}{R_0}e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\\\\
&=\frac{E}{R_0\left(R_0+R\right)}\left\{R_0\left(1-e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right)+\left(R_0+R\right)e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0\left(R_0+R\right)}\left(R_0+Re^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right) ・・・(15)
\end{align*}$$
なお、抵抗$R$および静電容量$C$の並列回路に発生する電圧を$v$とすると、$(14)$式を用いて、
$$v=Ri_\mathrm{R}=\frac{RE}{R_0+R}\left(1-e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right) ・・・(16)$$
で表される。
ラプラス変換による解法
ラプラス変換を用いると、$(6)$式から直接$(12)$式を導出できる。
$(6)$式の両辺をラプラス変換すると、$Q(s)=\mathcal{L}\left\{q\right\}$として、
$$\begin{align*}
\frac{R_0+R}{RC}Q(s)&+R_0sQ(s)-R_0q|_{t=0}=\frac{E}{s}\\\\
Q(s)&=\frac{E}{s\left(R_0s+\displaystyle{\frac{R_0+R}{RC}}\right)} \left(\because q|_{t=0}=0\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}\cdot\frac{1}{s\left(s+\displaystyle{\frac{R_0+R}{R_0RC}}\right)}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\cdot\frac{R_0RC}{R_0+R}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\displaystyle{\frac{R_0+R}{R_0RC}}}\right)\\\\
&=\frac{RCE}{R_0+R}\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\displaystyle{\frac{R_0+R}{R_0RC}}}\right)\\\\
\therefore q&=\mathcal{L}^{-1}\left\{Q(s)\right\}=\frac{RC}{R_0+R}E\left(1-e^{-\frac{R_0+R}{R_0RC}t}\right)
\end{align*}$$
となり、$(12)$式と同じ結果が得られる。
回路方程式（スイッチ閉→開）
図1の$RC$並列回路にて、スイッチを閉じてから十分に経過した時間$t=T$にてスイッチを開けた状態を図2に示す。
図2 $RC$並列回路（スイッチ開）
スイッチを開くことで、電源と抵抗$R$および静電容量$C$の回路は切り離され、図2のように閉回路を形成し、電流$i$が還流する。
図2の$i$の向きを正として、$t=T$以降でスイッチを開いた状態における回路方程式は、キルヒホッフの第二法則より、
$$\frac{1}{C}\int i\ \mathrm{d}t+Ri=0 ・・・(17)$$
回路方程式（スイッチ閉→開）の解法
$(17)$式は「RC直列回路の過渡現象（直列回路）」の$(3.1)$式と同じ形であり、その解は定数$A$を用いて（$t=T$が時間$t$の基準値であることに注意すると）、
$$i=Ae^{-\frac{t-T}{CR}} ・・・(18)$$
本記事では、直流電源が接続された$RC$直列回路における過渡現象について解説する。回路方程式図1に直流電源$E$，抵抗$R$，静電容量$C$が接続された$RC$直列回路を示す。このとき、スイッチが入る前には$C$は充[…]
次に、$t=T$でスイッチを開く直前に流れていた電流$i$は、$(15)$式で十分に時間が経った場合（$t\rightarrow\infty$）の値と等しくなり、その向きに注意して、
$$i|_{t=T}=-\frac{E}{R_0+R} ・・・(19)$$
したがって、$(18),\ (19)$式より、定数$A$は、
$$\begin{align*}
i|_{t=T}=A=-\frac{E}{R_0+R}
\end{align*}$$
以上より、$(17)$式の特殊解は、
$$i=-\frac{E}{R_0+R}e^{-\frac{t-T}{CR}} ・・・(20)$$
なお、静電容量$C$に発生する電圧$v$は、$(20)$式を用いて、
$$\begin{align*}
v&=\frac{1}{C}\int i\ \mathrm{d}t\\\\
&=-\frac{1}{C}\cdot\frac{E}{R_0+R}\cdot\left(-CR\right)e^{-\frac{t-T}{CR}}+F\\\\
&=\frac{RE}{R_0+R}e^{-\frac{t-T}{CR}}+F ・・・(21)
\end{align*}$$
ただし、$F$は積分定数である。
ここで、$T$は十分大きい値であるとして、$(16)$および$(21)$式で$t=T$のときの電圧$v$を求めると、
$$\begin{align*}
v|_{t=T}=\frac{RE}{R_0+R}&=\frac{RE}{R_0+R}+F\\\\
\therefore F&=0
\end{align*}$$
以上より、電圧$v$は、
$$v=\frac{RE}{R_0+R}e^{-\frac{t-T}{CR}} ・・・(22)$$
電流・電圧のグラフ
$(13)\sim(15)$式および$(20)$式に基づいた電流$i,\ i_\mathrm{R},\ i_\mathrm{C}$のグラフを図3に示す。
図3 $RC$並列回路の電流
また、$(16)$および$(22)$式に基づいた、静電容量$C$の両端の電圧$v$のグラフを図4に示す。
図4 $RC$並列回路における静電容量$C$の両端の電圧
図3より、スイッチを閉じた$t=0$の直後は静電容量$C$に電流$i_\mathrm{C}$が流れ込むが、時間が経過にするにつれ充電されていくため、抵抗$R$に分流する$i_\mathrm{R}$の比重が大きくなる。
そして、十分に時間が経過すると回路の電流はすべて$R$に流れ込むことになる。
このとき、静電容量$C$には、電源から供給されるエネルギーが静電エネルギーとして充電される。
電圧$v$に関しても、抵抗$R$に流れ込む電流$i_\mathrm{R}$の割合が増加するに伴い、抵抗$R_0$および$R$の直列回路において、電源電圧$E$が$R$に分圧される分の値$\displaystyle{\frac{RE}{R_0+R}}$に近づいていく。
次に、$t=T$でスイッチを開くと、静電容量$C$に充電されたエネルギーが抵抗$R$へ流れ込む。
このとき、電流$i$はスイッチを開く前とは逆（$C$から流れ出す）向きになり、抵抗$R$ではそのエネルギーが消費され、それに伴い電流$i$は減少していく。
電圧$v$に関しては、静電容量$C$から抵抗$R$へのエネルギー流出に伴って減少していく。
ここで、$t=T$以降で抵抗$R$で消費される電力$P$は、$(20)$式より、
$$\begin{align*}
P&=Ri^2\\\\
&=R\left(-\frac{E}{R_0+R}e^{-\frac{t-T}{CR}}\right)^2\\\\
&=\frac{RE^2}{\left(R_0+R\right)^2}e^{-\frac{2\left(t-T\right)}{CR}}
\end{align*}$$
$t=T$でスイッチを開いてから十分に時間が経過する（$t\rightarrow\infty$）までの抵抗$R$の全消費電力$W$は、
$$\begin{align*}
W&=\int^{\infty}_{T}P\ \mathrm{d}t\\\\
&=\frac{RE^2}{\left(R_0+R\right)^2}\int^{\infty}_{T}e^{-\frac{2\left(t-T\right)}{CR}}\mathrm{d}t\\\\
&=\frac{RE^2}{\left(R_0+R\right)^2}\left[-\frac{CR}{2}e^{-\frac{2\left(t-T\right)}{CR}}\right]^{\infty}_{T}\\\\
&=\frac{RE^2}{\left(R_0+R\right)^2}\cdot\frac{CR}{2}\\\\
&=\frac{1}{2}C\left(\frac{RE}{R_0+R}\right)^2\\\\
&=\frac{1}{2}C\left\{v|_{t=T}\right\}^2
\end{align*}$$
となり、スイッチを開く直前まで静電容量$C$に充電されていた静電エネルギーが、スイッチを開いた後に流れだし、抵抗$R$で消費されることを示している。
本記事では、各素子を接続した回路にスイッチをいれた直後の過渡現象についてまとめる。過渡現象とは過渡現象とは「ある定常状態から別の定常状態に移行する際に起こる現象」である。 微分方程式で表される回路方[…]
関連する例題（「電験王」へのリンク）
電験一種
電験二種
電験三種
参考文献
- 大下眞二郎『詳解電気回路演習（下）』共立出版，1980
著書・製品のご紹介
『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている！
※本ページはプロモーションが含まれています。―『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている― 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。[…]
この講座との出会いは、数学が苦手なあなたを救う！
電験アカデミアにテキストを書き下ろしてもらい、電験どうでしょうの川尻将先生により動画解説を行ない、電験3種受験予定者が電…
すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！
※本ページはプロモーションが含まれています。すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！ 当サイト「電気の神髄」をいつもご愛読ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 […]
初学者が躓きがちなギモンを、電験アカデミアがスッキリ解決します！
※本ページはプロモーションが含まれています。 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 2022年5月18日、オーム社より「電験カフェへようこそ[…]