三相半波整流回路

本記事では、整流回路の一種である「三相半波整流回路」について解説する。





三相半波整流回路の基本構成

三相半波整流回路は、整流素子(ダイオードまたはサイリスタ)を用いた、交流電圧から直流電圧を得るための整流作用をもつ回路の一種であり、各相の正弦波交流電圧を対応する素子が整流するのが特徴である。

 

図1にダイオード、図2にサイリスタを用いた三相半波整流回路の構成を示す。

三相変圧器を介し、各整流素子を特定のタイミングで導通させることで、整流された負荷電圧および直流電流を得る構成である。

なお本記事において、交流電源に接続される変圧器は巻数比$1:1$の理想変圧器であるとする。

 

図1 ダイオードを用いた三相半波整流回路

 

図2 サイリスタを用いた三相半波整流回路

 

出力波形と直流平均電圧(純抵抗負荷)

三相半波整流回路に純抵抗負荷を接続し、図3の三相平衡した正弦波交流電圧を印加した場合の出力電圧・電流波形および直流平均電圧を求める。

 

図3 入力となる三相平衡電圧

 

各相の電圧$v_1,\ v_2,\ v_3$の式は、実効値$V$および位相$\omega t$を用いて次のように表される。

$$\begin{cases}
v_1&=\sqrt{2}V\sin\omega t\\\\
v_2&=\sqrt{2}V\sin\left(\omega t-\displaystyle{\frac{2}{3}\pi}\right)\\\\
v_3&=\sqrt{2}V\sin\left(\omega t+\displaystyle{\frac{2}{3}\pi}\right)
\end{cases}$$

 

整流素子にダイオードを用いた場合

図1の回路のダイオードによる三相半波整流回路に純抵抗負荷を接続し、三相平衡電圧を印加した場合の出力電圧$e_\mathrm{d}$および各相の電流$i_\mathrm{1},\ i_2,\ i_3$の波形を図4に示す。

 

図4 三相半波整流回路(ダイオード、純抵抗負荷)の電圧・電流波形

 

図4のように、各相の電圧$v_1,\ v_2,\ v_3$は対応するダイオード$\mathrm{D}_1,\ \mathrm{D}_2,\ \mathrm{D}_3$が導通することによって整流されるが、各波形の交点を境に最も高い値をとる波形に切り換わるような動作をする。

このとき、出力電圧$e_\mathrm{d}$は山なりの出力波形になり、負の値はとらない。

 

また、対応するダイオードが導通するタイミングで負荷に電流が流れ、各ダイオードの導通する期間$\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$で流れる電流$i_1,\ i_2,\ i_3$が切り換わる。

 

ダイオードによる電圧降下の影響を無視すると、直流平均電圧$E_\mathrm{d0}$は、図4より波形の周期が$\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$,積分区間が$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}\sim\displaystyle{\frac{5}{6}\pi}$であることを考慮して、

$$\begin{align*}
E_\mathrm{d}&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi}\int^{\frac{5}{6}\pi}_{\frac{\pi}{6}}\sqrt{2}V\sin{\omega t}\ \mathrm{d}\omega t\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{2\pi}\left[-\cos{\omega t}\right]^{\frac{5}{6}\pi}_{\frac{\pi}{6}}\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{2\pi}\left(-\cos{\frac{5}{6}\pi}+\cos{\frac{\pi}{6}}\right)\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{2\pi}\left({\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)\\\\
&=\frac{3\sqrt{6}V}{2\pi}\\\\
&=1.17V\equiv E_\mathrm{d0}
\end{align*}$$

 

整流素子にサイリスタを用いた場合

0 ≤ α < π/6のとき

図2の回路のサイリスタによる三相半波整流回路に純抵抗負荷を接続し、三相平衡電圧を印加した場合の出力電圧$e_\mathrm{d}$および各相の電流$i_\mathrm{1},\ i_2,\ i_3$の波形を図5に示す。

同図において、サイリスタ$\mathrm{Th1}\sim\mathrm{Th3}$の点弧角はすべて$\alpha$とし、かつ$0\leq\alpha<\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$であるとする。

 

図5 三相半波整流回路(サイリスタ、純抵抗負荷、$0\leq\alpha<\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$)の電圧・電流波形

 

ダイオードの場合と同様、図5のように、各相の電圧$v_1,\ v_2,\ v_3$は対応するサイリスタ$\mathrm{Th}_1,\ \mathrm{Th}_2,\ \mathrm{Th}_3$が各波形の交点から位相$\alpha$でターンオンするのを境に、最も高い値をとる波形に切り換わるような動作をする。

このように、各サイリスタがターンオンするタイミングが正弦波のピークを通過する前ならば、出力電圧$e_\mathrm{d}$は欠けた山なりの出力波形になり、負の値はとらない。

 

また、対応するサイリスタが導通するタイミングで負荷に電流が流れ、各ダイオードの導通する期間$\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$で流れる電流$i_1,\ i_2,\ i_3$が切り換わる。

 

サイリスタによる電圧降下の影響を無視すると、直流平均電圧$E_\mathrm{d}$は、図5より波形の周期が$\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$,積分区間が$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}+\alpha\sim\displaystyle{\frac{5}{6}\pi}+\alpha$であることを考慮して、

$$\begin{align*}
E_\mathrm{d}&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi}\int^{\frac{5}{6}\pi+\alpha}_{\frac{\pi}{6}+\alpha}\sqrt{2}V\sin{\omega t}\ \mathrm{d}\omega t\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{2\pi}\left[-\cos{\omega t}\right]^{\frac{5}{6}\pi+\alpha}_{\frac{\pi}{6}+\alpha}\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{2\pi}\left\{-\cos\left(\frac{5}{6}\pi+\alpha\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)\right\}\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\sin\frac{2}{3}\pi\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{\pi}\cos\alpha\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\
&=\frac{3\sqrt{6}V}{2\pi}\cos\alpha\\\\
&=E_\mathrm{d0}\cos\alpha
\end{align*}$$

 

上式の導出では、三角関数の変形について

を用いている。

 

π/6 ≤α≤ 5π/6のとき

前項の回路および入力で、サイリスタ$\mathrm{Th1}\sim\mathrm{Th3}$の点弧角$\alpha$の範囲が$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}\leq\alpha\leq\displaystyle{\frac{5}{6}\pi}$である場合の出力電圧$e_\mathrm{d}$および各相の電流$i_\mathrm{1},\ i_2,\ i_3$の波形を図6に示す。

 

図6 三相半波整流回路(サイリスタ、純抵抗負荷、$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}\leq\alpha\leq\displaystyle{\frac{5}{6}\pi}$)の電圧・電流波形

 

図6のように、各サイリスタがターンオンするタイミングが正弦波のピークを通過した後だと、出力電圧$e_\mathrm{d}$はのこぎり波のような波形になる。

なお、抵抗負荷の場合は負の値はとらない。

 

対応するサイリスタが導通するタイミングで負荷に電流が流れるのは同様で、こちらものこぎり波のような形状である。

各サイリスタの導通する期間も同様に$\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$となる。

 

サイリスタによる電圧降下の影響を無視すると、直流平均電圧$E_\mathrm{d}$は、図6より波形の周期が$\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$,積分区間が$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}+\alpha\sim\pi$であることを考慮して、

$$\begin{align*}
E_\mathrm{d}&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi}\int^{\pi}_{\frac{\pi}{6}+\alpha}\sqrt{2}V\sin{\omega t}\ \mathrm{d}\omega t\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{2\pi}\left[-\cos{\omega t}\right]^{\pi}_{\frac{\pi}{6}+\alpha}\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{2\pi}\left\{-\cos\pi+\cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)\right\}\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{2\pi}\left\{1+\cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)\right\}\\\\
&=\frac{E_\mathrm{d0}}{\sqrt{3}}\left\{1+\cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)\right\}
\end{align*}$$

 

 

出力波形と直流平均電圧(誘導性負荷)

本記事では、負荷のインダクタンス成分を$L$,抵抗成分を$R$とすると、時定数$\displaystyle{\frac{L}{R}}$は非常に大きな値であり、電流の減衰は非常になだらかであるものとする。

整流素子にダイオードを用いた場合

図1の回路のダイオードによる三相半波整流回路に誘導性負荷を接続し、三相平衡電圧を印加した場合の出力電圧$e_\mathrm{d}$および各相の電流$i_1,\ i_2,\ i_3$の波形を図7に示す。

 

図7 三相半波整流回路(ダイオード、誘導性負荷)の電圧・電流波形

 

図7のように、誘導性負荷の場合も純抵抗の場合と同様の動作をするため、出力電圧$e_\mathrm{d}$は山なりの出力波形になり、負の値はとらない。

 

また、対応するダイオードが導通するタイミングで負荷に電流が流れるが、負荷のインダクタンス成分の作用で波形は平滑化する。

各ダイオードの導通する期間は$\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$であるのも同様である。

 

このときの直流平均電圧$E_\mathrm{d0}$は、図4と同様の計算をすれば求めることができて、

$$\begin{align*}
E_\mathrm{d}=1.17V\equiv E_\mathrm{d0}
\end{align*}$$

 

整流素子にサイリスタを用いた場合

図2の回路のサイリスタによる三相半波整流回路に誘導性負荷を接続し、三相平衡電圧を印加した場合の出力電圧$e_\mathrm{d}$および各相の電流$i_\mathrm{1},\ i_2,\ i_3$の波形を図8および図9に示す。

これらの図において、サイリスタ$\mathrm{Th1}\sim\mathrm{Th3}$の点弧角はすべて$\alpha$とし、図8では$0\leq\alpha<\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$,図9では$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}\leq\alpha\leq\displaystyle{\frac{5}{6}\pi}$であるとする。

 

図8 三相半波整流回路(サイリスタ、誘導性負荷、$0\leq\alpha<\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$)の電圧・電流波形

 

図9 三相半波整流回路(サイリスタ、誘導性負荷、$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}\leq\alpha\leq\displaystyle{\frac{5}{6}\pi}$)の電圧・電流波形

 

図8の$0\leq\alpha<\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$の場合、誘導性負荷の場合も純抵抗の場合と同様の動作をするため、出力電圧$e_\mathrm{d}$は欠けた山なりの出力波形になり、負の値はとらない。

一方、図9の$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}\leq\alpha\leq\displaystyle{\frac{5}{6}\pi}$である場合には、各サイリスタがターンオンするタイミングが正弦波のピークを通過した後となり、かつ負荷のインダクタンス成分によりゼロ点通過後も電流を流し続けようとする作用がはたらき、電圧は負の値もとる。

 

電流に関しては、対応するサイリスタが導通するタイミングで流れ、負荷のインダクタンス成分の作用で波形が平滑化する。

各サイリスタの導通する期間はこれまでと同様$\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$となる。

 

サイリスタによる電圧降下の影響を無視すると、直流平均電圧$E_\mathrm{d}$は、図8,9ともに波形の周期が$\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$,積分区間が$\displaystyle{\frac{\pi}{6}}+\alpha\sim\displaystyle{\frac{5}{6}\pi}+\alpha$であることを考慮して、

$$\begin{align*}
E_\mathrm{d}&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi}\int^{\frac{5}{6}\pi+\alpha}_{\frac{\pi}{6}+\alpha}\sqrt{2}V\sin{\omega t}\ \mathrm{d}\omega t\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{2\pi}\left[-\cos{\omega t}\right]^{\frac{5}{6}\pi+\alpha}_{\frac{\pi}{6}+\alpha}\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{2\pi}\left\{-\cos\left(\frac{5}{6}\pi+\alpha\right)+\cos\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)\right\}\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{\pi}\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\sin\frac{2}{3}\pi\\\\
&=\frac{3\sqrt{2}V}{\pi}\cos\alpha\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\
&=\frac{3\sqrt{6}V}{2\pi}\cos\alpha\\\\
&=E_\mathrm{d0}\cos\alpha
\end{align*}$$

 

上式の導出で、三角関数の変形について和積の公式余角の公式を用いているのは抵抗性負荷の場合と同様である。

 

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参考文献

  • 電気学会『電気工学ハンドブック 第7版』オーム社,2013
  • 長谷良秀『電力技術の実用理論 第3版 発電・送変電の基礎理論からパワーエレクトロニクス応用まで』丸善出版,2015
  • 金東海『パワースイッチング工学―パワーエレクトロニクスの基礎理論』電気学会,2003