対称座標法によりa-b-c電気量を0-1-2領域に、クラーク変換法によりa-b-c電気量をα-β-0領域に変換することが可能となる。
では、0-1-2領域とα-β-0領域の相互関係はどうなるのか、またその計算のための変換行列について、本記事にて考えてみる。
a-b-c領域からの変換行列(再掲)
まず、$a-b-c$領域を各領域に変換する行列について確認する。
本記事で扱う電気量はすべて電圧であるが、電流についても同様である。
0-1-2領域⇔a-b-c領域
「零相成分」および「正相成分と逆相成分」の記事にて、任意の三相電気量の各相成分($a-b-c$領域における電気量)を、零相・正相・逆相の各成分($0-1-2$領域における電気量)へ変換するための考察を行った。本記事では、実際の計算で[…]
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) &= \displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{a}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) ・・・(1)\\\\
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) &=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & { a }^{ 2 } & a \\ 1 & a & { a }^{ 2 } \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{a^{-1}} \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) ・・・(2)
\end{align*}$$
すなわち、
α-β-0領域⇔a-b-c領域
本記事では、実際の計算で使用するクラーク変換法の基本式について導出する。α-β-0領域⇒a-b-c領域への変換電圧のα-β-0⇒a-b-c変換式今回扱う$a-b-c$領域の電気量ベクト[…]
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right) &=\displaystyle{ \frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{\alpha}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) ・・・(3)\\\\
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{\alpha^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right) ・・・(4)
\end{align*}$$
すなわち、
0-1-2領域⇔α-β-0領域の変換
ここからが本題で、$0-1-2$領域と$\alpha-\beta-0$領域の相互関係を導く。
図1に今回相互関係を考える各領域の電気量のベクトルを示す。
これらは対称座標法およびクラーク変換法の基本式を考える際に使用したものと同一であるので、そちらの記事も参照願いたい。
図1 $0-1-2$電気量と$\alpha-\beta-0$電気量
0-1-2領域⇒α-β-0領域
$(3)$式の右辺に$(2)$式を代入して、$\dot { { V }_{ a } },\dot { { V }_{ b } },\dot { { V }_{ c } }$を消去すると、
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)&=\displaystyle{ \frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) ・・・(5)
\end{align*}$$
ここで、$\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}$を計算すると、
\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}&=\displaystyle{ \frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array} \right)\\\\
&=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -j & j \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align*}$$
したがって、$(5)$式は、
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)&\equiv\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)\\\\
&=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -j & j \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } }\\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) ・・・(6)
\end{align*}$$
$(6)$式を各成分ごとの式に分解すると、
$$\begin{cases}
\dot { { V }_{ \alpha } }&=\dot { { V }_{ 1 }}+\dot {{ V }_{ 2 }} &・・・(6a)\\\\
\dot { { V }_{ \beta } }&=-j\dot{ { V }_{ 1 }}+j\dot{ { V }_{ 2 }} &・・・(6b) \\\\
\dot { { V }_{ 0 } }&=\dot { { V }_{ 0 } } &・・・(6c)
\end{cases}$$
また、$(6a)$~$(6c)$式をベクトル図で表したものを図2に示す。
$(6a)$~$(6c)$式および図2は、「クラーク変換法の導入」の$(1)$および$(2)$式における$\alpha$および$\beta$成分の定義とに同一となっていることがわかる。
図2 $0-1-2$電気量⇒$\alpha-\beta-0$電気量への変換
α-β-0領域⇒0-1-2領域
$(1)$式の右辺に$(4)$式を代入して、$\dot { { V }_{ a } },\dot { { V }_{ b } },\dot { { V }_{ c } }$を消去すると、
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) &=\displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right) ・・・(7)
\end{align*}$$
ここで、$\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}$を計算すると、
\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}&=\displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \end{array} \right)\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & j\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ \displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & -j\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{array} \right)
\end{align*}$$
したがって、$(7)$式は、
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)&\equiv\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & j\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ \displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & -j\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } }\\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right) ・・・(8)
\end{align*}$$
$(8)$式を各成分ごとの式にすると、
$$\begin{cases}
\dot { { V }_{ 0 } }&=\dot { { V }_{ 0 } } &・・・(8a)\\\\
\dot { { V }_{ 1 } }&=\displaystyle{\frac { 1 }{ 2 }\dot { { V }_{ \alpha }}+j\frac { 1 }{ 2 }\dot {{ V }_{ \beta }}} &・・・(8b)\\\\
\dot { { V }_{ 2 } }&=\displaystyle{\frac { 1 }{ 2 }\dot{ { V }_{ \alpha }}-j\frac { 1 }{ 2 }\dot{ { V }_{ \beta }}} &・・・(8c)
\end{cases}$$
また、$(8a)$~$(8c)$式をベクトル図で表したものを図3に示す。
$(8a)$~$(8c)$式および図3より、零相成分は当然そのまま、正相および逆相成分は$\alpha$成分に$\beta$成分を±90°回転させたものの和(の1/2)になるという関係になっている。
図3 $\alpha-\beta-0$電気量⇒$0-1-2$電気量への変換
0-1-2領域⇔α-β-0領域の変換行列
前項により、0-1―2領域⇔$\alpha-\beta-0$領域の関係性を表す式を導いた。最後に、互いの領域に変換するための変換行列をまとめておく。
0-1-2領域⇒$\alpha-\beta-0$領域に変換するための変換行列は、$(6)$式より、
$$\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -j & j \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$$
また、$\alpha-\beta-0$領域⇒0-1-2領域に変換するための変換行列は、$(8)$式より、
$$\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & j\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ \displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & -j\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{array} \right)$$
なお、これらの行列は互いに逆行列の関係になっている($(6)$および$(8)$式からも明らかである)。
本記事では、各変数領域から別の領域に変換するための変換行列をまとめる。a-b-c領域から各変数領域への変換行列a-b-c領域⇔0-1-2領域(対称座標法)$a-b-c$ ⇒ $0-1-2$ 変換行[…]
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