静電容量測定用ブリッジ回路まとめ

本記事では、静電容量測定に用いられるブリッジ回路について解説する。

キャパシタンスブリッジ（デソーティブリッジ）回路

キャパシタンスブリッジ回路（Capacitance bridge circuit）は、図1のように既知の抵抗$R_1,R_2$および可変容量$C_{\mathrm{s}}$を用いて、未知の静電容量$C_x$を測定する回路である。

デソーティブリッジ回路（De Sauty’s bridge circuit）ともいう。

図1　キャパシタンスブリッジ（デソーティブリッジ）回路

未知の静電容量$C_x$の値を測定するため、図1の可変容量$C_{\mathrm{s}}$の値を調整して、ブリッジ回路の平衡状態をつくる。

このとき、ブリッジの平衡条件の式から$C_x$を求めると、

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{j\omega C_x}\cdot R_1& =\frac{1}{j\omega C_{\mathrm{s}}}\cdot R_2\\ \\ \therefore C_x& =\frac{R_1}{R_2}{C}_{\mathrm{s}}\end{array}$$

直列キャパシタンスブリッジ回路

直列キャパシタンスブリッジ回路（Series resistance-capacitance bridge circuit）は、図1のキャパシタンスブリッジ回路の応用で、図2のように容量成分を含んだ未知のインピーダンス（抵抗成分$R_x$および容量成分$C_x$）を測定する回路である。

図2　直列キャパシタンスブリッジ回路

未知のインピーダンスの抵抗成分$R_x$および容量成分$C_x$の値を測定するため、図2の可変抵抗$R_{\mathrm{s}1}$および$R_{\mathrm{s}2}$の値を調整して、ブリッジ回路の平衡状態をつくる。

このとき、ブリッジの平衡条件の式から、$C_x$を求めると、

$$\begin{array}{rl}(R_x+\frac{1}{j\omega C_x})\cdot R_{\mathrm{s}2}& =(R_{\mathrm{s}1}+\frac{1}{j\omega C_1})\cdot R_1\\ \\ \therefore R_x{R}_{\mathrm{s}2}-j\frac{R_{\mathrm{s}2}}{\omega C_x}& =R_{\mathrm{s}1}{R}_1-j\frac{R_1}{\omega C_1}\end{array}$$

上式で両辺の実部と虚部同士を比較すると、$R_x$および$C_x$を求めることができて、

$$\begin{array}{rl}{R}_x{R}_{\mathrm{s}2}& =R_{\mathrm{s}1}{R}_1\\ \\ \therefore R_x& =\frac{R_{\mathrm{s}1}}{R_{\mathrm{s}2}}{R}_1\\ \\ \\ \\ -\frac{R_{\mathrm{s}2}}{\omega C_x}& =-\frac{R_1}{\omega C_1}\\ \\ \therefore C_x& =\frac{R_{\mathrm{s}2}}{R_1}{C}_1\end{array}$$

ウィーンブリッジ回路

ウィーンブリッジ回路（Wine bridge circuit）は、図3に示すような抵抗と静電容量の直列回路と並列回路が各種1つずつ（かつそれらの回路が対向していない）、および2つの純抵抗で構成されるブリッジ回路である。

静電容量の測定のほか、数$\mathrm{Hz}$～数$\mathrm{kHz}$の比較的低い周波数の測定に用いられる。

また、発振回路にも用いられる。

図3　ウィーンブリッジ回路

図3において、$R_2$と$C_2$で構成される並列回路部の合成インピーダンスは、

$$\frac{{\displaystyle \frac{R_2}{j\omega C_2}}}{R_2+{\displaystyle \frac{1}{j\omega C_2}}}=\frac{R_2}{1+j\omega C_2{R}_2}$$

したがって、ブリッジ回路の平衡条件は、

$$\begin{array}{rl}(R_1+\frac{1}{j\omega C_1})\cdot R_4& =\frac{R_2}{1+j\omega C_2{R}_2}\cdot R_3\\ \\ (1+j\omega C_1{R}_1)(1+j\omega C_2{R}_2)R_4& =j\omega C_1{R}_2{R}_3\\ \\ \therefore R_4-{\omega }^2{C}_1{C}_2{R}_1{R}_2{R}_4+j\omega (C_1{R}_1+C_2{R}_2)R_4& =j\omega C_1{R}_2{R}_3 \mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(1)\end{array}$$

例えば、$C_2$が未知の静電容量であるとすると、これを求める式は、$(1)$式において両辺の虚部同士を比較して、

$$\begin{array}{rl}\omega (C_1{R}_1+C_2{R}_2)R_4& =\omega C_1{R}_2{R}_3\\ \\ C_1{R}_1{R}_4-C_1{R}_2{R}_3& =-C_2{R}_2{R}_4\\ \\ \therefore C_2& =\frac{R_2{R}_3-R_1{R}_4}{R_2{R}_4}{C}_1\end{array}$$

一方、回路定数はすべて既知の値であるとして、電源周波数$f$を求める式は、$(1)$式において実部同士を比較することと、$\omega =2\pi f$の関係式を用いて、

$$\begin{array}{rl}{R}_4-{\omega }^2{C}_1{C}_2{R}_1{R}_2{R}_4& =0\\ \\ \omega & =\frac{1}{\sqrt{C_1{C}_2{R}_1{R}_2}}\\ \\ \therefore f& =\frac{1}{2\pi \sqrt{C_1{C}_2{R}_1{R}_2}}\end{array}$$

特に、$C_1=C_2,R_1=R_2$であるとすれば、周波数$f$は、

$$f=\frac{1}{2\pi C_1{R}_1}$$

シェーリングブリッジ回路

シェーリングブリッジ回路（Schering bridge circuit）は、図4に示すような抵抗と静電容量の直列回路と並列回路が各種1つずつ（かつそれらの回路が対向している）と、純抵抗および純静電容量が1つずつで構成されるブリッジ回路である。

主にコンデンサの静電容量および誘電正接$\tan \delta$を測定するために用いられる。

図4　シェーリングブリッジ回路

図4において、$R_3$と$C_3$で構成される並列回路部の合成インピーダンスは、

$$\frac{{\displaystyle \frac{R_3}{j\omega C_3}}}{R_3+{\displaystyle \frac{1}{j\omega C_3}}}=\frac{R_3}{1+j\omega C_3{R}_3}$$

したがって、ブリッジ回路の平衡条件は、

$$\begin{array}{rl}(R_1+\frac{1}{j\omega C_1})\cdot \left(\frac{R_3}{1+j\omega C_3{R}_3}\right)& =R_2\cdot \frac{1}{j\omega C_2}\\ \\ j\omega C_2(1+j\omega C_1{R}_1)R_3& =j\omega C_1(1+j\omega C_3{R}_3)R_2\\ \\ \therefore -{\omega }^2{C}_1{C}_2{R}_1{R}_3+j\omega C_2{R}_3& =-{\omega }^2{C}_1{C}_3{R}_2{R}_3+j\omega C_1{R}_2 \mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}(2)\\ \end{array}$$

図4で$R_1$および$C_1$が測定対象であるとすると、これらを求める式は、$(2)$式において両辺の虚部同士を比較して、

$$\begin{array}{rl}-{\omega }^2{C}_1{C}_2{R}_1{R}_3& =-{\omega }^2{C}_1{C}_3{R}_2{R}_3\\ \\ \therefore R_1& =\frac{C_3}{C_2}{R}_2\\ \\ \\ \\ \omega C_2{R}_3& =\omega C_1{R}_2\\ \\ \therefore C_1& =\frac{R_3}{R_2}{C}_2\end{array}$$

また、$R_1$および$C_1$の端子電圧をそれぞれ${\dot{V}}_{\mathrm{R}},{\dot{V}}_{\mathrm{C}}$，これらの直列回路における電圧および電流を$\dot{V},\dot{I}$とし、ベクトル図を示すと図5のようになる。

図5　$R_1$と$C_1$の直列回路におけるベクトル図

ここで、誘電正接$\tan \delta$は、図5のベクトル図より${\displaystyle \frac{\left|{\dot{V}}_{\mathrm{R}}\right|}{\left|{\dot{V}}_{\mathrm{C}}\right|}}$で求めることができて、

$$\begin{array}{rl}\tan \delta & =\frac{\left|{\dot{V}}_{\mathrm{R}}\right|}{\left|{\dot{V}}_{\mathrm{C}}\right|}\\ \\ & =\frac{R_{1}I}{{\displaystyle \frac{I}{\omega C_1}}}\\ \\ & =\omega C_1{R}_1\end{array}$$

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参考文献

• 電気学会『電気工学ハンドブック 第7版』オーム社，2013
• 大下眞二郎『詳解電気回路演習（上）』共立出版，1979
• De Sauty Bridge Construction Circuit and Theory|About Circuit 
• Series Resistance Capacitance Bridge Circuit|Electrical Academia

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