高調波の例題 その2

高調波の例題 その2

問題

出典:電験二種二次試験「電力・管理」 平成30年度問5
(問題文の記述を一部変更しています)

図1は系統電源に接続された自家用電気設備の単線結線図である。変圧器の2次側母線には高調波を発生する負荷設備と力率改善用の直列リアクトル付進相コンデンサ設備が設置されている。

$X_T,\ X_L,\ X_C$は、それぞれ変圧器、直列リアクトル、進相コンデンサの基本波におけるリアクタンスの大きさ($\Omega$値)である。

また、電流$I_H,\ I_S,\ I_C$は、それぞれ高調波発生負荷からの高調波電流、系統電源側に流出する高調波電流、進相コンデンサ設備に流入する高調波電流とする。

このとき、次の問に答えよ。ただし、系統電源側のインピーダンスおよび変圧器の抵抗分は無視するものとする。

 

図1 自家用電気設備と高調波電流

 

$(1)$
$n$次高調波電流源を電源とする高調波等価回路を描くとともに、$I_{Hn},\ I_{Sn},\ I_{Cn}$それぞれに対し、電流の方向を矢印で示せ。

ただし,$n$次高調波電流源の電流を$I_{Hn}$,系統電源側に流出する$n$次高調波電流を$I_{Sn}$,進相コンデンサ設備に流入する$n$次高調波電流を$I_{Cn}$とする。

 

$(2)$
$(1)$の$n$次高調波等価回路において、$n$次高調波電流源の電流$I_{Hn}$と各部のリアクタンスの大きさを用いて、進相コンデンサ設備に流入する$n$次高調波電流$I_{Cn}$を表す式を示せ。

 

$(3)$
$I_{Cn}$を表す式において、回路で共振を起こす条件式を示せ。

 

$(4)$
$I_{Cn}$を表す式において、進相コンデンサ設備に流入する$n$次高調波電流が、高調波発生源の電流よりも大きくならないようにするための条件式を示せ。

$n=5$(第5高調波)の場合、 直列リアクトルのリアクタンスの大きさは進相コンデンサのリアクタンスの大きさの何$\%$以上であることが必要か示せ。

 

$(5)$
$6\%$直列リアクトル付進相コンデンサ設備の場合,高調波発生源に第3高調波が多く含まれていた場合、進相コンデンサの容量によっては共振状態となり,第3高調波電流が異常に増大する場合がある。

このとき、進相コンデンサのリアクタンスの大きさ$X_C[\Omega]$と変圧器のリアクタンスの大きさ$X_T[\Omega]$の関係式を示せ。

また、進相コンデンサ容量は変圧器容量の何$\%$か示せ。

変圧器の容量を$P_T[\mathrm{kVA}]$,変圧器の%リアクタンス$\%X_T$を$7.5\%$(自己容量基準)、進相コンデンサ容量を$Q_C[\mathrm{kvar}]$として計算せよ。

 

解答

$(1)$
$n$次高調波電流源を電源とする高調波等価回路および電流は、図2のようになる。

 

図2 高調波発生源を電源とする$n$次高調波回路

 

$(2)$
進相コンデンサ設備に流入する$n$次高調波電流$I_{Cn}$は、$n$次高調波電流源の電流$I_{Hn}$および各部のリアクタンスを用いると、

$$I_{Cn}=\frac{nX_T}{nX_T+\left(nX_L-\displaystyle{\frac{X_C}{n}}\right)}\times I_{Hn} ・・・(1)$$

 

$(3)$
回路が共振を起こし、$I_{Cn}$が増大する場合の条件は、$(1)$式の分母が0になるときであるため、

$$nX_T+\left(nX_L-\displaystyle{\frac{X_C}{n}}\right)=0 ・・・(2)$$

 

$(4)$
$(1)$式において、$I_{Cn}$が$I_{Hn}$より大きくならないための条件は、

$$\left(nX_L-\displaystyle{\frac{X_C}{n}}\right)\geq 0 ・・・(3)$$

 

また、$n=5$のとき、$(3)$式は、

$$\begin{align*}
\left(5X_L-\displaystyle{\frac{X_C}{5}}\right)&\geq 0\\\\
\therefore X_L&\geq \displaystyle{\frac{X_C}{25}}=0.04X_C
\end{align*}$$

したがって、進相コンデンサのリアクタンスの$\boldsymbol{\underline{4.00\%}}$以上の大きさが必要である。

 

$(5)$

$(2)$式において、$n=3$かつ$X_L=0.06X_C$であるとき、

$$\begin{align*}
3X_T+\left(3\times0.06X_C-\displaystyle{\frac{X_C}{3}}\right)&=0\\\\
3X_T-0.1533X_C&=0\\\\
\therefore X_C&=19.569X_T ・・・(4)
\end{align*}$$

 

また、進相コンデンサ容量$Q_C[\mathrm{kVA}]$は、母線電圧を$V[\mathrm{kV}]$とすると、

$$Q_C=3\times\frac{1}{X_C}\times\left(\frac{V}{\sqrt{3}}\right)^2\times10^3=\frac{V^2\times10^3}{X_C} ・・・(5)$$

 

$(5)$式の$X_C$に$(4)$式を代入すると、

$$Q_C=\frac{V^2\times10^3}{19.569X_T} ・・・(6)$$

 

一方、変圧器のリアクタンス$X_T$は、変圧器容量$P_T$,母線電圧$V$および%リアクタンス$\%X_T$を用いて、

$$\begin{align*}
X_T=\frac{\%X_T}{100}\times\frac{V^2\times10^3}{P_T}=\frac{10V^2\times\%X_T}{P_T} ・・・(7)
\end{align*}$$

 

$(6),\ (7)$式より$X_T$を消去し、$\%X_T=7.5\%$を代入すると、

 

$$\begin{align*}
Q_C&=\frac{V^2\times10^3}{19.569\times\displaystyle{\frac{10V^2\times7.5}{P_T}}}\\\\
&=\frac{1000}{19.569\times10\times7.5}\times P_T\\\\
&=0.6813P_T
\end{align*}$$

 

したがって、進相コンデンサの容量$Q_C$は、変圧器容量$P_T$の$\boldsymbol{\underline{68.1\%}}$となる。

 

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