変圧器の漏れ磁束と漏れリアクタンス

本記事では、変圧器内部に発生する「漏れ磁束」および「漏れリアクタンス」について解説する。

内部漏れ磁束の発生

単相二脚鉄心の変圧器の内部磁束について、概略図を図1に示す。

同図では、一次巻線(巻数$n_1$)が電源に、二次巻線(巻数$n_2$)に負荷が接続されている。

 

図1 主磁束と漏れ磁束

 

実際の変圧器では、一次巻線と二次巻線の両方に鎖交し、変圧器作用をもたらす主磁束$\phi$のほか、どちらか片方の巻線にしか鎖交しない漏れ磁束$\phi_1,\ \phi_2$が存在する。

 

この漏れ磁束$\phi_1,\ \phi_2$は、主磁束$\phi$のように変圧器作用をもたらすことはないが、$\phi$と同様、磁束の交番によってそれぞれ一次電流$I_1$および二次電流$I_2$に比例し、かつ位相が$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$進んだ起電力を誘導する。

 

この漏れ磁束による起電力は、電流の通過を妨げる逆起電力であり、ちょうど交流回路における誘導リアクタンスによる電圧降下と同じ作用をもたらすことになる。

このリアクタンスのことを漏れリアクタンスという。

 

巻線配置と漏れ磁束

実際の変圧器では、図2のように一次巻線と二次巻線が同心円配置になっていることが多く、このような配置における漏れリアクタンスを考える。

 

図2 巻線の同心円配置

 

また、図2の巻線に発生する磁束の概略を図3に示す。

 

図3 漏れ磁束の発生

 

変圧器の二次巻線に電流$I_2$が流れると、巻回数$n_2$と$I_2$に比例した磁束が発生する。

しかし、$I_2$による磁束が一次巻線に鎖交しても、一次側は電源に接続されており電圧は一定であるため、電磁誘導の法則によって一次側にそれを打ち消すための電流および磁束が発生する(これをアンペアターン・キャンセルという)。

このため、理想的な状態であれば、二次巻線の内側(≒鉄心内)に負荷電流$I_2$による磁束は存在しないことになる。

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一方、一次巻線と二次巻線との間には「主間隙(メインギャップ)」が存在する。

主間隙には、図3のように磁束がキャンセルされず残ってしまうため、負荷電流による磁束の一部は両巻線に鎖交せずに漏れることになる。

これが漏れ磁束である。

 

前項で延べた漏れリアクタンスは、一次ー二次間に存在することになり、負荷電流により電圧降下を発生させる。

この漏れ磁束は主間隙の大きさに比例するため、より高いレベルの絶縁が必要となる電圧階級の高い変圧器は、漏れ磁束が大きくなる。

 

 

漏れリアクタンスの計算式

主間隙の漏れリアクタンス

図4に変圧器巻線の主間隙間の漏れ磁束を示す。

 

図4 巻線の主間隙間における漏れ磁束

 

同図において、一方の巻線の巻回数を$n$, 電流を$I[\mathrm{A}]$とすると、起磁力は両巻線で同じ値となり、大きさは$nI$と表せる。

 

また、巻線の高さを$h[\mathrm{m}]$とすれば、磁束の通り道の長さ(磁路長)は$h$に等しいため、主間隙における磁界の強さ$H$および磁束密度$B$は、

$$\begin{align*}
H&=\frac{nI}{h}[\mathrm{A/m}]\\\\
B&=\mu_0\frac{nI}{h}[\mathrm{T}]\end{align*}$$

なお、$\mu_0$は真空の透磁率で、$\mu_0=4\pi\times10^{-7}$である。

 

ここで、主間隙の幅を$g[\mathrm{m}]$, 平均半径を$r[\mathrm{m}]$とすると、主間隙内の漏れ磁束$\phi$は、

$$\begin{align*}
\phi&=B\times2\pi rg\\\\
&=\mu_0\frac{2\pi rgnI}{h}[\mathrm{Wb}]\end{align*}$$

 

漏れ磁束$\phi$は巻線電流に起因するゆえ正弦波($\propto\sin2\pi ft$)となり、漏れ磁束による巻線誘起電圧$E$は、

$$\begin{align*}
E&=n\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}\\\\
&=n\times2\pi f\times\mu_0\frac{2\pi rgnI}{h}[\mathrm{V}]\end{align*}$$

 

したがって、漏れリアクタンス$X$は、

$$\begin{align*}
X&=\frac{E}{I}\\\\
&=\frac{16\pi^3 fn^2rg}{10^7h}[\mathrm{\Omega}]\end{align*}$$

 

このとき、主間隙で消費される無効電力$I^2X$は、

$$I^2X=\frac{16\pi^3 frg(nI)^2}{10^7h}[\mathrm{VA}] ・・・(1)$$

 

巻線部分も考慮した漏れリアクタンス

図4の変圧器について、巻線内部の寸法を記載したものを図5に示す。

 

図5 巻線の内部寸法

 

同図より、内側巻線の内径$r_1$を基準として、距離$x$の点における起磁力は$\displaystyle{\frac{x}{d_1}nI}$で表されることより、内側巻線で消費される無効電力$I^2X_\mathrm{i}$は、$(1)$式で$r\rightarrow r_1+x,\ g\rightarrow\mathrm{d}x$となることに注意して、

$$\begin{align*}
I^2X_\mathrm{i}&=\int_{0}^{d_1}\left\{\frac{16\pi^3 f\left(r_1+x\right)}{10^7h}\left(\frac{x}{d_1}nI\right)^2\right\}\mathrm{d}x\\\\
&=\frac{16\pi^3 f}{10^7h}(nI)^2\int_{0}^{d_1}\left\{\left(r_1+x\right)\frac{x^2}{d_1^2}\right\}\mathrm{d}x\\\\
&=\frac{16\pi^3 f}{10^7h}\frac{(nI)^2}{d_1^2}\left[\frac{1}{3}r_1x^3+\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{d_1}\\\\
&\fallingdotseq\frac{16\pi^3f(nI)^2 }{10^7h}\cdot\frac{1}{3}r_1d_1 [\mathrm{VA}] \left(\because r_1\gg d_1\right)
\end{align*}$$

 

外側巻線についても同様に、消費無効電力$I^2X_\mathrm{o}$を計算すると、

$$\begin{align*}
I^2X_\mathrm{o}\fallingdotseq\frac{16\pi^3f(nI)^2 }{10^7h}\cdot\frac{1}{3}r_2d_2 [\mathrm{VA}]\end{align*}$$

 

以上より、変圧器全体の漏れリアクタンスは、内側巻線・主間隙・外側巻線の消費無効電力を足し合わせることにより、

$$\begin{align*}
I^2X&=\frac{16\pi^3f(nI)^2 }{10^7h}\left\{rg+\frac{1}{3}\left(r_1d_1+r_2d_2\right)\right\} [\mathrm{VA}] \\\\
\therefore X&=\frac{16\pi^3fn^2 }{10^7h}\left\{rg+\frac{1}{3}\left(r_1d_1+r_2d_2\right)\right\} [\Omega]  ・・・(2)
\end{align*} $$

 

$(2)$式より、漏れリアクタンス$X$は、巻回数$n$の二乗および主間隙・巻線の寸法(および周波数)により決定されることがわかる。

 

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参考文献

  • 電気学会『電気工学ハンドブック 第7版』オーム社,2013
  • 浅川ほか『電力機器講座5 変圧器』日刊工業新聞社, 1966
  • 坪島茂彦『図解 変圧器―基礎から応用まで』東京電機大学出版局,1981