変圧器の漏れ磁束

変圧器内部に発生する漏れ磁束と漏れリアクタンスについて解説する。

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内部漏れ磁束の発生

図1に単相二脚鉄心の変圧器の内部磁束の概略図を示す。同図では一次側巻線(巻数$n_1$)が電源に、二次側巻線(巻数$n_2$)に負荷が接続されている。

実際の変圧器では、一次側巻線と二次側巻線の両方を鎖交する、変圧器作用をもたらす主磁束$\phi$のほか、一次側巻線または二次側巻線のどちらか片方にしか鎖交しない漏れ磁束$\phi_1,\ \phi_2$が存在する。

図1 主磁束と漏れ磁束

この漏れ磁束$\phi_1,\ \phi_2$は主磁束$\phi$のように変圧器作用をもたらすことはないが、主磁束と同様、磁束の交番によってそれぞれ一次電流$I_1$および二次電流$I_2$に比例し、かつ$\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$位相の進んだ起電力を誘導する。

この漏れ磁束による起電力は電流の通過を妨げる逆起電力で、ちょうど交流回路における誘導リアクタンスによる電圧降下と同じ作用をもたらすことになる。このリアクタンスのことを漏れリアクタンスという。

巻線配置と漏れ磁束

実際の変圧器では図2のように一次巻線と二次巻線が同心円配置になっていることが多く、このような配置における漏れリアクタンスを考えてみる。

図2 巻線の同心円配置

二次巻線に電流$I_2$が流れると、巻回数$n_2$と$I_2$に比例した磁束が発生する。
しかし、$I_2$による磁束が一次巻線に鎖交しても、一次側は電源に接続されており電圧一定のため、電磁誘導の法則によって一次側にそれを打ち消すための電流および磁束が発生する(これをアンペアターン・キャンセルという)ため、図3のように二次巻線の内側≒鉄心内に負荷電流による磁束は存在しないことになる。

しかし, 一次巻線と二次巻線と間には主間隙(メインギャップ)が存在する。その部分には磁束がキャンセルされず残ってしまう、すなわち負荷電流による磁束の一部が両巻線に鎖交せずに漏れることになる。これが漏れ磁束である。

図3 漏れ磁束の発生

前項で延べた漏れリアクタンスは、一次 – 二次間に存在することになり、負荷電流により電圧降下を発生させる。

この漏れ磁束の大きさは,主間隙の大きさに比例するから、より高いレベルの絶縁が必要となる電圧階級の高い変圧器のほうが漏れ磁束は大きくなる。

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漏れリアクタンスの計算式

主間隙の漏れリアクタンス

図4に変圧器の巻線主間隙間の漏れ磁束を示す。

図4 巻線主間隙間の漏れ磁束

同図において、一方の巻線の巻回数を$n$, 電流を$I[\mathrm{A}]$とすると、起磁力は両方の巻線で同じ値となり、大きさは$nI$と表せる。巻線の高さを$h[\mathrm{m}]$とすれば、磁束の通り道の長さ(磁路長)は$h$に等しいため、主間隙における磁界の強さ$H$および磁束密度$B$を求めると、

$$\begin{align*}
H&=\frac{nI}{h}[\mathrm{A/m}]\\\\
B&=\mu_0\frac{nI}{h}[\mathrm{T}]\end{align*}$$

なお、$\mu_0$は真空の透磁率で、$\mu_0=4\pi\times10^{-7}$である。

ここで、主間隙の幅を$g[\mathrm{m}]$, 平均半径を$r[\mathrm{m}]$とすると、主間隙内の漏れ磁束$\phi$は、

$$\phi=B\times2\pi rg=\mu_0\frac{2\pi rgnI}{h}[\mathrm{Wb}]$$

漏れ磁束$\phi$は巻線電流に起因するものであるから正弦波($\propto\sin2\pi ft$)であり、漏れ磁束による巻線誘起電圧$E$は、

$$E=n\frac{d\phi}{dt}=2\pi fn\times\mu_0\frac{2\pi rgnI}{h}[\mathrm{V}]$$

したがって、漏れリアクタンス$X$は、

$$X=\frac{E}{I}=\frac{16\pi^3 fn^2rg}{10^7h}[\mathrm{\Omega}]$$

このとき、主間隙で消費される無効電力$I^2X$は、

$$I^2X=\frac{16\pi^3 f(nI)^2rg}{10^7h}[\mathrm{VA}] ・・・(1)$$

巻線部分も考慮した漏れリアクタンス

図5に図4の変圧器の巻線内部の寸法を記載したものを示す。

図5 巻線内部寸法

同図より、内側巻線の内径$r_1$を基準として、距離$x$の点における起磁力は$\displaystyle{\frac{x}{d_1}nI}$で表されることより、内側巻線で消費される無効電力$I^2X_i$は、$(1)$式で$r\rightarrow r_1+x,\ g\rightarrow dx$となることに注意して、

$$\begin{align*}
I^2X_i&=\frac{16\pi^3 f}{10^7h}(nI)^2\int_{0}^{d_1}\left\{\left(r_1+x\right)\frac{x^2}{d_1^2}\right\}dx\\\\
&=\frac{16\pi^3 f}{10^7h}\frac{(nI)^2}{d_1^2}\left[\frac{1}{3}r_1x^3+\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^{d_1}\\\\
&\fallingdotseq\frac{16\pi^3f(nI)^2 }{10^7h}\cdot\frac{1}{3}r_1d_1 [\mathrm{VA}]\end{align*}$$

外側巻線についても同様に、消費無効電力$I^2X_o$は、

$$\begin{align*}
I^2X_o\fallingdotseq\frac{16\pi^3f(nI)^2 }{10^7h}\cdot\frac{1}{3}r_2d_2 [\mathrm{VA}]\end{align*}$$

以上より、変圧器全体の漏れリアクタンスを求めると、

$$\begin{align*}
I^2X&=\frac{16\pi^3f(nI)^2 }{10^7h}\left\{rg+\frac{1}{3}\left(r_1d_1+r_2d_2\right)\right\} [\mathrm{VA}] \\\\
\therefore X&=\frac{16\pi^3fn^2 }{10^7h}\left\{rg+\frac{1}{3}\left(r_1d_1+r_2d_2\right)\right\} [\Omega]  ・・・(2)
\end{align*} $$

$(2)$式より、漏れリアクタンス$X$は巻回数$n$の二乗および主間隙・巻線の寸法(および周波数)により決定されることがわかる。

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