対称座標法とクラーク変換法の相互変換

対称座標法によりa-b-c電気量を0-1-2領域に、クラーク変換法によりa-b-c電気量をα-β-0領域に変換することが可能となる。

では、0-1-2領域とα-β-0領域の相互関係はどうなるのか、またその計算のための変換行列について、本記事にて考えてみる。

目次

a-b-c領域からの変換行列（再掲）

まず、$a-b-c$領域を各領域に変換する行列について確認する。

本記事で扱う電気量はすべて電圧であるが、電流についても同様である。

0-1-2領域⇔a-b-c領域

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「零相成分」および「正相成分と逆相成分」の記事にて、任意の三相電気量の各相成分（$a-b-c$領域における電気量）を、零相・正相・逆相の各成分（$0-1-2$領域における電気量）へ変換するための考察を行った。本記事では、実際の計算で[…]

 

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) &= \displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{a}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right)　・・・(1)\\\\
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) &=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & { a }^{ 2 } & a \\ 1 & a & { a }^{ 2 } \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{a^{-1}} \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)　・・・(2)
\end{align*}$$

 

すなわち、

$$\displaystyle{\boldsymbol{a}= \frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)},\quad\boldsymbol{a^{-1}} =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array} \right)$$

 

α-β-0領域⇔a-b-c領域

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$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right) &=\displaystyle{ \frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{\alpha}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right)　・・・(3)\\\\
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ a } } \\ \dot { { V }_{ b } } \\ \dot { { V }_{ c } } \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{\alpha^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)　・・・(4)
\end{align*}$$

 

すなわち、

$$\boldsymbol{\alpha}=\displaystyle{\frac { 1 }{ 3 } \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)},\quad\boldsymbol{\alpha^{-1}}= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \end{array} \right)$$

 

0-1-2領域⇔α-β-0領域の変換

ここからが本題で、$0-1-2$領域と$\alpha-\beta-0$領域の相互関係を導く。

 

図1に今回相互関係を考える各領域の電気量のベクトルを示す。

これらは対称座標法およびクラーク変換法の基本式を考える際に使用したものと同一であるので、そちらの記事も参照願いたい。

 

図1　$0-1-2$電気量と$\alpha-\beta-0$電気量

 

0-1-2領域⇒α-β-0領域

$(3)$式の右辺に$(2)$式を代入して、$\dot { { V }_{ a } },\dot { { V }_{ b } },\dot { { V }_{ c } }$を消去すると、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)&=\displaystyle{ \frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)　・・・(5)
\end{align*}$$

 

ここで、$\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}$を計算すると、

$$\begin{align*}
\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}&=\displaystyle{ \frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & \sqrt{3} & -\sqrt{3} \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array} \right)\\\\
&=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -j & j \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align*}$$

 

したがって、$(5)$式は、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)&\equiv\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)\\\\
&=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -j & j \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } }\\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)　・・・(6)
\end{align*}$$

 

$(6)$式を各成分ごとの式に分解すると、

$$\begin{cases}
\dot { { V }_{ \alpha } }&=\dot { { V }_{ 1 }}+\dot {{ V }_{ 2 }}　&・・・(6a)\\\\
\dot { { V }_{ \beta } }&=-j\dot{ { V }_{ 1 }}+j\dot{ { V }_{ 2 }}　&・・・(6b) \\\\
\dot { { V }_{ 0 } }&=\dot { { V }_{ 0 } }　&・・・(6c)
\end{cases}$$

 

また、$(6a)$～$(6c)$式をベクトル図で表したものを図2に示す。

$(6a)$～$(6c)$式および図2は、「クラーク変換法の導入」の$(1)$および$(2)$式における$\alpha$および$\beta$成分の定義とに同一となっていることがわかる。

 

図2　$0-1-2$電気量⇒$\alpha-\beta-0$電気量への変換

 

 

α-β-0領域⇒0-1-2領域

$(1)$式の右辺に$(4)$式を代入して、$\dot { { V }_{ a } },\dot { { V }_{ b } },\dot { { V }_{ c } }$を消去すると、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right) &=\displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)\\\\
&\equiv\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)　・・・(7)
\end{align*}$$

 

ここで、$\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}$を計算すると、

$$\begin{align*}
\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}&=\displaystyle{\frac { 1 }{ 3 }} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{ \sqrt{3} }{2} & 1 \end{array} \right)\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & j\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ \displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & -j\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{array} \right)
\end{align*}$$

 

したがって、$(7)$式は、

$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} \dot { { V }_{ 0 } } \\ \dot { { V }_{ 1 } } \\ \dot { { V }_{ 2 } } \end{array} \right)&\equiv\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } } \\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & j\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ \displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & -j\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot { { V }_{ \alpha } } \\ \dot { { V }_{ \beta } }\\ \dot { { V }_{ 0 } } \end{array} \right)　・・・(8)
\end{align*}$$

 

$(8)$式を各成分ごとの式にすると、

$$\begin{cases}
\dot { { V }_{ 0 } }&=\dot { { V }_{ 0 } }　&・・・(8a)\\\\
\dot { { V }_{ 1 } }&=\displaystyle{\frac { 1 }{ 2 }\dot { { V }_{ \alpha }}+j\frac { 1 }{ 2 }\dot {{ V }_{ \beta }}}　&・・・(8b)\\\\
\dot { { V }_{ 2 } }&=\displaystyle{\frac { 1 }{ 2 }\dot{ { V }_{ \alpha }}-j\frac { 1 }{ 2 }\dot{ { V }_{ \beta }}}　&・・・(8c)
\end{cases}$$

 

また、$(8a)$～$(8c)$式をベクトル図で表したものを図3に示す。

$(8a)$～$(8c)$式および図3より、零相成分は当然そのまま、正相および逆相成分は$\alpha$成分に$\beta$成分を±90°回転させたものの和（の1/2）になるという関係になっている。

 

図3　$\alpha-\beta-0$電気量⇒$0-1-2$電気量への変換

 

0-1-2領域⇔α-β-0領域の変換行列

前項により、0－1―2領域⇔$\alpha-\beta-0$領域の関係性を表す式を導いた。最後に、互いの領域に変換するための変換行列をまとめておく。

 

0－1－2領域⇒$\alpha-\beta-0$領域に変換するための変換行列は、$(6)$式より、

$$\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a^{-1}}=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & -j & j \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right)$$

 

また、$\alpha-\beta-0$領域⇒0－1－2領域に変換するための変換行列は、$(8)$式より、

$$\boldsymbol{a}\boldsymbol{\alpha^{-1}}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ \displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & j\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & 0 \\ \displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & -j\displaystyle\frac { 1 }{ 2 } & 0 \end{array} \right)$$

 

なお、これらの行列は互いに逆行列の関係になっている（$(6)$および$(8)$式からも明らかである）。

 

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