ジュールの法則と最小発熱定理

本記事では、ジュールの法則に関する式の導出、および関連する項目として「最小発熱定理」について解説する。





ジュールの法則の概要

ジュール熱

「導体中を電流が流れる」ということは、「その抵抗に逆らって電荷を高電位側から低電位側に移動させる」ことを意味する。

この電荷の移動は、導体に印加された電界が仕事をすることによってなされ、導体中の電子を加速させ運動エネルギーを与えることになる。

このとき、加速された電子が導体内で衝突を繰り返し、その運動エネルギーの一部を失う。

 

この失われた運動エネルギーが熱(ジュール熱)となり、導体内で消費されることになる。

 

ジュールの法則と電力の式

導体中で電荷$\mathrm{d}Q$を電位差$V$移動させるとき、電界がなす仕事は$V\mathrm{d}Q$で表される。

 

このことと電流の定義式$I=\displaystyle{\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}}$より、単位時間あたりに電界がなす仕事$P$は、

$$P=V\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=VI ・・・(1)$$

 

$(1)$式の$P$が導体内で単位時間あたりに発生するジュール熱であり、(電位差(電圧))×(電流)で表される。

この関係がジュールの法則(Joule’s law,ジュールの第一法則)の基本式となる。

 

なお、$(1)$式の$P$は単位時間あたりの電気エネルギー、すなわち電力を表す。

 

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ジュールの法則の式の導出

ジュールの法則の微分形

図1のように、導体中の微小体積$\mathrm{d}v$の部分に電界が加わり、電流が流れる場合を考える。

(本記事および図1において、太字はベクトルを表す)

 

図1 導体中の微小体積$\mathrm{d}v$

 

図1において、微小部分の長さ(電界の方向に一致する線素ベクトル)を$\mathrm{d}\boldsymbol{l}$、電流が流れる面積(ベクトル)を$\mathrm{d}\boldsymbol{S}$とすると、この微小部分の体積は$\mathrm{d}v=\mathrm{d}\boldsymbol{l}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}$となる。

 

まず、電界$\boldsymbol{E}$中において、同図の$\mathrm{d}\boldsymbol{l}$間に発生する電位差$\mathrm{d}V$は、

$$\mathrm{d}V=\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} ・・・(2)$$

 

また、導体内の電流密度を$\boldsymbol{J}$とすると、同図の面積$\mathrm{d}\boldsymbol{S}$を通過する電流$\mathrm{d}I$は、

$$\mathrm{d}I=\boldsymbol{J}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} ・・・(3)$$

 

したがって、微小体積$\mathrm{d}v$中の単位時間あたりのジュール熱$\mathrm{d}P$は、$(1)\sim(3)$式より、

$$\begin{align*}
\mathrm{d}P&=\mathrm{d}V\cdot\mathrm{d}I\\\\
&=\left(\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\right)\left(\boldsymbol{J}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\right)\\\\
&=\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{J}\mathrm{d}v ・・・(4)
\end{align*}$$

 

ここで、導体の導電率を$\sigma$とすると、オームの法則の微分形の式より、

$$\boldsymbol{J}=\sigma\boldsymbol{E} ・・・(5)$$

 

導体の抵抗率を$\rho=\displaystyle{\frac{1}{\sigma}}$とすると、単位体積・単位時間あたりのジュール熱$\displaystyle{\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}v}}$は、$(4),\ (5)$式より、

$$\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}v}=\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{J}=\sigma E^2=\rho J^2 ・・・(6)$$

 

$(6)$式はジュールの法則の微分形の式となる。

 

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抵抗で発生するジュール熱の式

次に、$(6)$式を導体の体積$v=l\cdot S$で積分すると、導体内で単位時間あたりに発生するジュール熱$P$は、

$$\begin{align*}
P&=\int_{v}\mathrm{d}P\\\\
&=\int_{v}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{J}\mathrm{d}v\\\\
&=\rho\int_{v}J^2\mathrm{d}v ・・・(7)
\end{align*}$$

 

ここで、体積$v$中の電流密度は一様であるとして、電流と電流密度の関係を$I=JS\rightarrow J=\displaystyle{\frac{I}{S}}$,および導体の抵抗を$R=\displaystyle{\rho\frac{l}{S}}$とすると、

$$\begin{align*}
P&=\rho\int_{v}\left(\displaystyle{\frac{I}{S}}\right)^2\mathrm{d}v\\\\
&=\rho\left(\displaystyle{\frac{I}{S}}\right)^2S\times\int^{l}_{0}\mathrm{d}l\\\\
&=\rho\frac{l}{S}\cdot I^2\\\\
&=RI^2 ・・・(8)
\end{align*}$$

となり、(抵抗)×(電流の2乗)という抵抗で発生するジュール熱の式である$(8)$式が導かれる。

 

最小発熱定理

最小発熱定理の概要

電束密度を$\boldsymbol{D}$とすると、誘電体中の電界$\boldsymbol{E}$による静電エネルギー$W$の定義式は、

$$W=\frac{1}{2}\int_{v}\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D}\mathrm{d}v ・・・(9)$$

 

$(9)$式は前項の$(7)$式(式変形途中の2行目)とよく似ており、$(9)$式の電束密度$\boldsymbol{D}$と、$(7)$式の電流密度$\boldsymbol{J}$には対応関係がある。

 

ここで、「静電エネルギー$W$が最小となるような電界$\boldsymbol{E}$は静電界(時間的に変動しない電界)である」という定理をトムソンの定理(Thomson’s law)という。

 

$(9)$式の静電エネルギー$W$についてトムソンの定理が成り立つとすると、これと対応関係にある$(7)$式でも「ジュール熱$P$が最小となるような電流密度$\boldsymbol{J}$は定常電流(時間的に変動しない電流)である」と考えることができる。

これを最小発熱定理最小ジュール熱の定理)という。

 

最小発熱定理と分流の式

最小発熱定理の具体的な事例を考えるために、図2のような抵抗$R_1$と$R_2$の並列回路に、定常電流$I$が流れる場合の回路全体のジュール熱を考える。

 

図2 並列抵抗に定常電流が流れる回路

 

図2において、抵抗$R_1$に流れる電流を$I_1$とすると、抵抗$R_2$には$\left(I-I_1\right)$の電流が流れる。

$(8)$式より、回路全体に発生するジュール熱$P$は、

$$P=R_1I^2_1+R_2\left(I-I_1\right)^2 ・・・(10)$$

 

$P$の最小値を求めるため、$(10)$式の両辺を$I_1$で微分すると、

$$\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}I_1}&=2R_1I_1-2R_2\left(I-I_1\right)\\\\
&=2\left(R_1+R_2\right)I_1-2R_2I ・・・(11)
\end{align*}$$

 

$(11)$式$=0$となるような$I_1$の値は、

$$\begin{align*}
2\left(R_1+R_2\right)I_1-2R_2I&=0\\\\
\therefore I_1&=\frac{R_2}{R_1+R_2}I ・・・(12)
\end{align*}$$

 

$(12)$式はまさに「並列回路における分流の式(ある抵抗に流れる電流は、抵抗の逆比で分流する)」を表しており、$(12)$式を満たすことは同時にジュール熱$P$も最小値をとることになる。

すなわち、電流が抵抗の逆比で分流しているということは、回路全体のジュール熱が最小となる(最小発熱定理を満たす)ようにも流れていることになる。

 

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参考文献