本記事では、円筒導体に流れる電流の空間および時間分布を考え、表皮効果と表皮の深さに関する式を導出する。
円筒導体内の電流分布
円筒導体における電磁気の基本式
円筒導体の長さ$x$方向に、時間$t$で変化する電流密度$\boldsymbol{J}\left(x,t\right)$である電流が流れている場合を考える。
ただし、電流はその他の方向には流れ出ないものとする。
このとき、導体内部の電界$\boldsymbol{E}\left(x,t\right)$，電流密度$\boldsymbol{J}\left(x,t\right)$，磁界$\boldsymbol{H}\left(x,t\right)$および磁束密度$\boldsymbol{B}\left(x,t\right)$との関係を表す式は、マクスウェル方程式より、
$$\begin{cases}
\nabla\times\boldsymbol{E}\left(x,t\right)&=-\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{B}\left(x,t\right)}{\partial t}} &・・・(1)\\\\
\nabla\times\boldsymbol{H}\left(x,t\right)&=\boldsymbol{J}\left(x,t\right) &・・・(2)
\end{cases}$$
また、オームの法則の微分形より、導電率を$\sigma$とすると、
$$\boldsymbol{J}\left(x,t\right)=\sigma\boldsymbol{E}\left(x,t\right) ・・・(3)$$
さらに、磁束密度$\boldsymbol{B}\left(x,t\right)$と磁界$\boldsymbol{H}\left(x,t\right)$の関係は、導体の透磁率を$\mu$とすると、
$$\boldsymbol{B}\left(x,t\right)=\mu\boldsymbol{H}\left(x,t\right) ・・・(4)$$
導体中の電界分布
$(3),\ (4)$式を$(1)$式に代入すると、
$$\frac{1}{\sigma}\cdot\nabla\times\boldsymbol{J}\left(x,t\right)=-\mu\frac{\partial\boldsymbol{H}\left(x,t\right)}{\partial t} ・・・(5)$$
$(5)$式の両辺の回転をとり、$(2)$式を代入すると、
$$\begin{align*}
\nabla\times\left\{\frac{1}{\sigma}\cdot\nabla\times\boldsymbol{J}\left(x,t\right)\right\}&=\nabla\times\left\{-\mu\frac{\partial \boldsymbol{H}\left(x,t\right)}{\partial t}\right\}\\\\
\therefore\frac{1}{\sigma}\cdot\nabla\times\left\{\nabla\times\boldsymbol{J}\left(x,t\right)\right\}&=-\mu\frac{\partial \boldsymbol{J}\left(x,t\right)}{\partial t} ・・・(6)
\end{align*}$$
ここで、回転と発散に関する公式[参考]
$$\nabla\times\left(\nabla\times\boldsymbol{A}\right)=\left(\nabla\cdot\boldsymbol{A}\right)-\nabla^2\boldsymbol{A}$$
を$(6)$式の左辺に適用すると、
$$\begin{align*}
\frac{1}{\sigma}\left\{\nabla\cdot\boldsymbol{J}\left(x,t\right)-\nabla^2\boldsymbol{J}\left(x,t\right)\right\}=-\mu\frac{\partial \boldsymbol{J}\left(x,t\right)}{\partial t} ・・・(7)
\end{align*}$$
ここで、電流は円筒導体の長さ方向以外へは流れ出ないという条件のため、$\nabla\cdot\boldsymbol{J}\left(x,t\right)=0$であるから、$(7)$式は結局、
$$\begin{align*}
\nabla^2\boldsymbol{J}\left(x,t\right)=\sigma\mu\frac{\partial\boldsymbol{J}\left(x,t\right)}{\partial t} ・・・(8)
\end{align*}$$
$(8)$式は導体中の電流密度分布を表す微分方程式である。
さらに、$(3)$式を$(8)$式に代入すると、
$$\begin{align*}
\nabla^2\boldsymbol{E}\left(x,t\right)=\sigma\mu\frac{\partial\boldsymbol{E}\left(x,t\right)}{\partial t} ・・・(9)
\end{align*}$$
$(9)$式は導体中の電界分布を表す微分方程式である。
円筒座標系における解法
円筒座標系の導入
$(9)$式を解くため、円筒座標系における解法を用いる。
三次元の直交座標系$\left(x,y,z\right)$は、図1のような円筒座標系$\left(r,\theta,z\right)$に変換することができる。
図1 円筒座標系における円筒導体
直交座標系の成分$x,\ y,\ z$と円筒座標系の成分$r,\ \theta,\ z$との関係は、
$$\begin{cases}
x&=r\cos\theta\\\\
y&=r\sin\theta\\\\
z&=z
\end{cases}$$
また、円筒座標系における任意のベクトルを$\boldsymbol{A}$とすると、発散、回転およびラプラシアン$\nabla^2$は[参考]、
$$\begin{align*}
\nabla\cdot\boldsymbol{A}&=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(rA_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial A_z}{\partial z} &・・・(10)\\\\
\nabla\times\boldsymbol{A}&=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial\theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\right)\boldsymbol{e_r}+\left(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\boldsymbol{e_\theta}+\frac{1}{r}\left\{\frac{\partial}{\partial r}\left(rA_\theta\right)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right\}\boldsymbol{e_z} &・・・(11)\\\\
\nabla^2&=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2} &・・・(12)
\end{align*}$$
ここで、$\boldsymbol{e_{r}},\ \boldsymbol{e_{\theta}},\ \boldsymbol{e_{z}}$は、円筒座標系の各成分における基底ベクトルである。
また、電流密度$\boldsymbol{J}$は、図1より長さ方向$z$方向のみをもつため、各成分の値を$J_r,\ J_\theta,\ J_z$とすると、
$$\begin{cases}
J_r=0\\\\
J_\theta=0\\\\
J_z=J_z\left(r,\theta,z,t\right)
\end{cases} ・・・(13)$$
ここで、電流は長さ方向以外へは流れ出ないという条件のため、$\nabla\cdot\boldsymbol{J}=0$であるから、$(10)$および$(13)$式より、
$$\begin{align*}
\nabla\cdot\boldsymbol{J}&=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(rJ_r\right)+\frac{1}{r}\frac{\partial J_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial J_z}{\partial z}\\\\
&=\frac{\partial J_z\left(r,\theta,z,t\right)}{\partial z}=0
\end{align*}$$
したがって、$J_z$は$z$には依らないため、$J_z=J_z\left(r,\theta,t\right)$と表せる。
ここで、$J_z$は$\theta$にも依らず、$J_z=J_z\left(r,t\right)$と表せられるとすると、$(3)$式より、電界$\boldsymbol{E}$の各成分$E_r,\ E_\theta,\ E_z$も同様に、
$$\begin{cases}
E_r=0\\\\
E_\theta=0\\\\
E_z=E_z\left(r,\ t\right)
\end{cases} ・・・(14)$$
$(12)$および$(14)$式より、$(9)$式は、
$$\begin{align*}
\nabla^2\boldsymbol{E}\left(\boldsymbol{x},t\right)&=\frac{\partial^2 E_z\left(r,\ t\right)}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial E_z\left(r,\ t\right)}{\partial r}+\frac{\partial^2E_z\left(r,\ t\right)}{\partial z^2}=\sigma\mu\frac{\partial E_z\left(r,\ t\right)}{\partial t} ・・・(15)
\end{align*}$$
一方、電界$\boldsymbol{E}$の回転をとると、$(11)$および$(14)$式より、
$$\begin{align*}
\nabla\times\boldsymbol{E}&=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial E_z}{\partial\theta}-\frac{\partial E_\theta}{\partial z}\right)\boldsymbol{e_r}+\left(\frac{\partial E_r}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial r}\right)\boldsymbol{e_\theta}+\frac{1}{r}\left\{\frac{\partial}{\partial r}\left(rE_\theta\right)-\frac{\partial E_r}{\partial \theta}\right\}\boldsymbol{e_z}\\\\
&=-\frac{\partial E_z\left(r,\ t\right)}{\partial r}\boldsymbol{e_\theta}
\end{align*}$$
となり、$\theta$成分のみ$0$でない値をとる。
したがって、$(1),\ (4)$式より、
$$\frac{\partial E_z\left(r,\ t\right)}{\partial r}=\mu\frac{\partial H_\theta\left(r,\ t\right)}{\partial t} ・・・(16)$$
という、磁界$\boldsymbol{H}$は$\theta$成分$H_\theta$のみが変化するという式が導かれる。
ベッセルの微分方程式
ここで、$J_z\left(r,\ t\right),\ E_z\left(r,\ t\right),\ H_z\left(r,\ t\right)$について、
$$\begin{cases}
J_z\left(r,\ t\right)&=J_z\left(r\right)e^{j\omega t} &・・・(17)\\\\
E_z\left(r,\ t\right)&=E_z\left(r\right)e^{j\omega t} &・・・(18)\\\\
H_\theta\left(r,\ t\right)&=H_\theta\left(r\right)e^{j\omega t} &・・・(19)
\end{cases}$$
という、周波数$\omega$で時間によって振動する量（すなわち交流）であるとする。
$(18)$式を$(15)$式に代入すると、
$$\begin{align*}
\frac{\partial^2 E_z\left(r\right)}{\partial r^2}e^{j\omega t}+\frac{1}{r}\frac{\partial E_z\left(r\right)}{\partial r}e^{j\omega t}&=j\sigma\mu\omega E_z\left(r\right)e^{j\omega t}\\\\
\therefore\frac{d^2 E_z\left(r\right)}{dr^2}+\frac{1}{r}\frac{d E_z\left(r\right)}{dr}+k^2E_z\left(r\right)&=0 ・・・(20)
\end{align*}$$
ただし、$k^2\equiv-j\sigma\mu\omega$
ここで、$\xi\equiv kr$と変数を置き換えて、両辺を微分すると、
$$\begin{align*}
d\xi&=kdr\\\\
\therefore\frac{d\xi}{dr}&=k
\end{align*}$$
または、
$$\frac{1}{dr}=\frac{k}{d\xi}$$
上記を用いると、$(20)$式の第2項および第1項は、
$$\begin{align*}
\frac{1}{r}\frac{d E_z\left(r\right)}{dr}&\equiv\frac{k}{\xi}\frac{d E_z\left(\xi\right)}{d\xi}\frac{d\xi}{dr}\\\\
&=\frac{k^2}{\xi}\frac{d E_z\left(\xi\right)}{d\xi}
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\frac{d^2 E_z\left(r\right)}{dr^2}&\equiv\frac{d}{dr}\left\{\frac{dE_z\left(\xi\right)}{d\xi}\frac{d\xi}{dr}\right\}\\\\
&=\frac{d}{dr}\left\{k\frac{dE_z\left(\xi\right)}{d\xi}\right\}\\\\
&=k^2\frac{d^2E_z\left(\xi\right)}{d\xi^2}
\end{align*}$$
したがって、$(20)$式は、
$$\begin{align*}
k^2\frac{d^2 E_z\left(\xi\right)}{d\xi^2}+\frac{k^2}{\xi}\frac{d E_z\left(\xi\right)}{d\xi}+k^2E_z\left(\xi\right)&=0\\\\
\therefore\frac{d^2 E_z\left(\xi\right)}{d\xi^2}+\frac{1}{\xi}\frac{d E_z\left(\xi\right)}{d\xi}+E_z\left(\xi\right)&=0 ・・・(21)
\end{align*}$$
$(21)$式はベッセル（Bessel）の微分方程式
$$\frac{d^2y}{dx^2}+\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+\left(1-\frac{n^2}{x^2}\right)y=0 ・・・(22)$$
のうち、$n=0$である$0$次の場合となる。
微分方程式の解
$n$が整数の場合、$(22)$式の解の一つである$J_n\left(x\right)$は、
$$J_n\left(x\right)=\sum^{\infty}_{m=0}\frac{\left(-1\right)^m}{m!\ \Gamma\left(n+m+1\right)}\left(\frac{x}{2}\right)^{n+2m} ・・・(23)$$
ただし、$\Gamma\left(m+1\right)=m!$の関係がある。
また、$(22)$式は線形二階微分方程式であるため、解は$(23)$式の他にもう一つあり、その解$N_n\left(x\right)$は、
$$N_n\left(x\right)=\lim_{l\rightarrow n}\frac{J_l\left(x\right)\cos l\pi-J_{-l}\left(x\right)}{\sin l\pi} ・・・(24)$$
$(23)$式の$J_n\left(x\right)$を第一種のベッセル関数、$(24)$式の$N_n\left(x\right)$を第二種のベッセル関数またはノイマン（Neumann）関数という。
今回、$(22)$式において$n=0$であり、$N_n\left(x\right)$は$n\rightarrow0$で$\infty$に発散するため、ここでは不適である。
したがって$(21)$式の解は、定数を$A$として、$(23)$式より、
$$\begin{align*}
E_z\left(\xi\right)&=AJ_0\left(\xi\right)\\\\
\therefore E_z\left(r\right)&=AJ_0\left(kr\right) ・・・(25)
\end{align*}$$
で表される。
係数の導出
$(25)$を$(16)$式に代入すると、
$$\begin{align*}
A\frac{d}{dr}J_0\left(kr\right)e^{j\omega t}&=j\omega\mu H_\theta\left(r\right)e^{j\omega t}\\\\
\therefore A\frac{d}{dr}J_0\left(kr\right)&=j\omega\mu H_\theta\left(r\right) ・・・(26)
\end{align*}$$
ここで、$b$を定数とすると、ベッセル関数$J_0\left(bx\right)$には、
$$\frac{d}{dx}J_0\left(bx\right)=-bJ_1\left(bx\right) ・・・(27)$$
の性質がある。
したがって$(26)$式は、$(27)$式より、
$$\begin{align*}
-AkJ_1\left(kr\right)&=j\omega\mu H_\theta\left(r\right)\\\\
\therefore H_\theta\left(r\right)&=j\frac{Ak}{\omega\mu}J_1\left(kr\right) ・・・(28)
\end{align*}$$
ここで、円筒導体内を流れる全電流$I$は、アンペールの法則より、円筒表面の磁界$\boldsymbol{H}$を線積分すると求められるため、$(28)$式より、
$$\begin{align*}
I&=\oint\boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{s}\\\\
&=\oint H_\theta\left(a\right)\cdot ad\theta\\\\
&=2\pi aH_\theta\left(a\right)\\\\
&=j\frac{2\pi aAk}{\omega\mu}J_1\left(ka\right) ・・・(29)
\end{align*}$$
$(29)$式より、定数$A$は、
$$\begin{align*}
A&=-j\frac{\omega\mu}{2\pi ak}\frac{I}{J_1\left(ka\right)}\\\\
&=-j\frac{\omega\mu}{2\pi a\sqrt{-j\sigma\mu\omega}}\frac{I}{J_1\left(ka\right)}\\\\
&=\frac{k}{2\pi a\sigma}\frac{I}{J_1\left(ka\right)} ・・・(30)
\end{align*}$$
したがって、$(25),\ (30)$式より、$(21)$式の解$E_z\left(r\right)$は、
$$E_z\left(r\right)=\frac{kI}{2\pi a\sigma}\frac{J_0\left(kr\right)}{J_1\left(ka\right)} ・・・(31)$$
また、$(3),\ (31)$式より、$J_z\left(r\right)$は、
$$J_z\left(r\right)=\sigma E_z\left(r\right)=\frac{kI}{2\pi a}\frac{J_0\left(kr\right)}{J_1\left(ka\right)} ・・・(32)$$
$(17),\ (18),\ (31),\ (32)$式により、円筒導体内の電界および電流密度分布を表すことができる。
導体表面の電流分布
微分方程式の解法
図1において、特に円筒導体表面を流れる電流を考える。
$(20)$式で$r$が十分に大きい場合、第2項は無視することができて、
$$\frac{d^2 E_z\left(r\right)}{dr^2}=j\sigma\mu\omega E_z\left(r\right) ・・・(33)$$
$(33)$式で表される微分方程式の一般解は、$A,\ B$を定数とすると、
$$E_z\left(r\right)=Ae^{\sqrt{j\sigma\mu\omega}r}+Be^{-\sqrt{j\sigma\mu\omega}r} ・・・(34)$$
ここで、
$$\begin{align*}
\sqrt{j}&=\sqrt{e^{j\frac{\pi}{2}}}\\\\
&=e^{j\frac{\pi}{4}}\\\\
&=\cos\frac{\pi}{4}+j\sin\frac{\pi}{4}\\\\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align*}$$
であるから、$(34)$式は、
$$E_z\left(r\right)=Ae^{\sqrt{\frac{\sigma\mu\omega}{2}}\left(1+j\right)r}+Be^{-\sqrt{\frac{\sigma\mu\omega}{2}}\left(1+j\right)r} ・・・(35)$$
$(35)$式のうち、第2項は$r\rightarrow 0$で値が大きくなるため、任意の箇所における解である$(31)$式とは傾向が異なる。
したがって、$(35)$式は第1項のみで表され、
$$E_z\left(r\right)=Ae^{\sqrt{\frac{\sigma\mu\omega}{2}}\left(1+j\right)r} ・・・(36)$$
また、電流密度$J_z\left(r\right)$は、
$$J_z\left(r\right)=\sigma E_z\left(r\right)=\sigma Ae^{\sqrt{\frac{\sigma\mu\omega}{2}}\left(1+j\right)r} ・・・(37)$$
表皮効果と表皮の深さ
このとき、
$$\delta\equiv\sqrt{\frac{2}{\sigma\mu\omega}} ・・・(38)$$
とおいて、$(37)$式の両辺の絶対値をとると、
$$\left|J_z\left(r\right)\right|\equiv\left|J_{z0}\right|e^{-\frac{a-r}{\delta}} ・・・(39)$$
ただし、$\left|J_{z0}\right|\equiv\displaystyle{\frac{e^{\frac{a}{\delta}}}{\sigma A}}$
$(38)$式の$\delta$は表皮の深さ（Skin depth）といい、導体表面から$\delta$の距離（$r=a-\delta$のとき）において、$(39)$式より電流密度は$e^{-1}$倍に減少する。
すなわち、導体表面に近くなるほど電流密度が大きくなり、電流が集中していることを意味する。
これを表皮効果といい、$(38)$式より、周波数$\omega$が高いほど表皮の深さ$\delta$は浅くなり、より電流が表面に集中する分布となる。
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参考文献
- 後藤憲一、山崎修一郎『詳解電磁気学演習』共立出版，1970
- 砂川重信『理論電磁気学』紀伊国屋書店，1999
- EMANの物理学『ベッセルの微分方程式』
- 倭算数理研究所『変形ベッセル関数の公式あれこれ』
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