電力系統のP-V曲線と電圧安定性

本記事では、電力系統の電圧安定性について、有効電力と電圧の関係を表した系統の$P-V$曲線を用いて解説する。





電力系統のP-V曲線

電力系統のモデル

今回、図1のような発電機(今回は円筒形同期発電機を想定)から負荷に電力供給している「1電源・1負荷」の系統を考える。

 

図1 電力系統(1電源・1負荷)

 

図1において、$\dot{E}=E\angle\delta$は発電機背後電圧、$\dot{V}=V\angle0$は受電端電圧、$X$は系統のリアクタンスを表し、抵抗分は無視するとする。

 

受電端電力と電圧の関係式

図1の受電端における電力が$\dot{S}=P+jQ$であるとして、この$P,\ Q$を各電圧の大きさ$E,\ V$および相差角$\delta$を用いて表すと、

$$\begin{cases}
P&=\displaystyle{\frac{EV}{X}}\sin\delta ・・・(1)\\\\
Q&=\displaystyle{\frac{EV\cos\delta-V^2}{X}} ・・・(2)
\end{cases}$$

 

$(1)$および$(2)$式の導出に関しては、下記の記事を参照のこと。
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また、受電端の有効電力$P$と無効電力$Q$との間には、力率角を$\theta$とすると、次の関係がある。

$$Q=P\tan\theta ・・・(3)$$

 

$(3)$式に$(1),\ (2)$式を代入して整理すると、

$$\begin{align*}
\frac{EV\cos\delta-V^2}{X}&=\frac{EV}{X}\sin\delta\tan\theta\\\\
E\cos\delta-V&=E\sin\delta\tan\theta\\\\
\therefore V&=E\left(\cos\delta-\sin\delta\tan\theta\right)\\\\
&=\frac{\cos\delta\cos\theta-\sin\delta\sin\theta}{\cos\theta}E\\\\
&=\frac{\cos\left(\delta+\theta\right)}{\cos\theta}E ・・・(4)
\end{align*}$$

 

$(4)$式を$E$の式に変形すると、

$$E=\frac{\cos\theta}{\cos\left(\delta+\theta\right)}V ・・・(4)’$$

 

$(4)’$式を$(1)$式に代入すると、和積の公式も用いて、

$$\begin{align*}
P&=\frac{V}{X}\sin\delta\cdot\frac{\cos\theta}{\cos\left(\delta+\theta\right)}V\\\\
&=\frac{V^2}{X}\cdot\frac{\sin\delta\cos\theta}{\cos\left(\delta+\theta\right)}\\\\
&=\frac{V^2}{2X}\cdot\frac{\sin\left(\delta+\theta\right)+\sin\left(\delta-\theta\right)}{\cos\left(\delta+\theta\right)} ・・・(5)
\end{align*}$$

となり、受電端の有効電力$P$は$V,\ \delta,\ \theta$の関数となる。

 

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P-V曲線(ノーズカーブ)

$(5)$式の$\delta$および$\theta$の値において、$P$と$V$の関係をグラフに表した$P-V$曲線を図2に示す。

$P-V$曲線は同図のようにグラフ右側にピークをとる形で、一般的に右を向いた人の鼻のような形状であることから、ノーズカーブともいう。

 

図2 $P-V$曲線

 

また、$(5)$式の$\delta$および$\theta$をそれぞれ変化させたときの$P-V$曲線を図3に示す。

 

図3 $\delta$および$\theta$を変化させたときの$P-V$曲線(力率角$\theta$は遅れを正とする)

 

同図より、力率角$\theta$が遅れから進みになるにつれ、曲線のピーク値が右上に移動していくような形状になる。

さらに、相差角$\delta$が増大するにつれ$P$も増大するものの、ピーク値を境に$P$および電圧$V$が減少していく傾向になる。

この傾向は遅れ力率であればあるほど減少に転じる$\delta$の値が小さくなり、進み力率であっても最大で$\delta=\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$付近で減少に転じることがわかる。

 

一機無限大母線系統の定態安定性」の記事で、定態安定限界電力は$\delta=\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$のときに取りうると解説したが、図3ではそれよりも$\delta$が小さな範囲で曲線が減少に転じてしまうことがわかる。

これは、同記事の場合は$V$が一定であるという仮定をしているからで、実際に$V$を一定にするためには、調相設備を利用して系統に無効電力$Q$を供給してやる必要がある。

※電圧$V$と無効電力$Q$の関係については次の記事を参照

 

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各パラメータとP-V曲線の関係

図1の電力系統の各パラメータを変化させたときの、$P-V$曲線の変化のようすを図4に示す。

 

図4 各パラメータを変化させた場合の$P-V$曲線

 

系統リアクタンスを小さくした場合

図1の系統リアクタンス$X$を小さくすると、$(5)$式より電力$P$は大きくなるため、$P-V$曲線は図4のように右側に伸びる形になる。

また同図より、$P=0$の場合の$V$の値(曲線と縦軸との交点)は、$X$の調整前後で変化しない。

 

力率を改善した場合

図3でも示したように、力率$\theta$を改善して遅れ無効電力$Q$を小さくすると、これとリアクタンス$X$による電圧降下が抑制されるため、$P-V$曲線は図4のように右上に伸びる(後述する安定限界が伸びる)形になる。

また同図より、$P=0$の場合の$V$の値(曲線と縦軸との交点)は、リアクタンス$X$を小さくした場合と同様に、$\theta$の調整前後で変化しない。

 

送電端電圧を高くした場合

送電端電圧$E$(ここでは発電機背後電圧)を高くすると、$(4)$式より$V$も上昇し、$(5)$式より$P$も増加するため、$P-V$曲線は図4のように右上に伸びる(安定限界が伸びる)形になる。

なお、この場合は$P=0$における$V$の値(曲線と縦軸との交点)は上昇する。

 

調相容量を大きくした場合

図1の系統の受電端に調相設備(進相)を接続した場合を考える。

 

調相設備のアドミタンスを$\dot{Y}$とすると、ここに流れる電流$\dot{I}_\mathrm{Y}$(進み)は、

$$\dot{I}_\mathrm{Y}=jYV ・・・(6)$$

 

$(6)$式より、調相設備へ流れ込む電力$Q_\mathrm{Y}$は、

$$\begin{align*}
Q_\mathrm{Y}&=\dot{V}\cdot\overline{\dot{I}_\mathrm{Y}}\\\\
&=V\cdot\left(-jYV\right)\\\\
&=-jYV^2 ・・・(7)
\end{align*}$$

 

ここで、負荷に流れ込む無効電力を$Q_\mathrm{L}$とすると、(系統からの供給電力)=(負荷に流れ込む電力)+(調相設備に流れ込む電力)であるから、$(7)$式も用いると次の関係が成り立つ。

$$\begin{align*}
\frac{EV}{X}\sin\delta+j\frac{EV\cos\delta-V^2}{X}&=P+j\left(Q_\mathrm{L}+Q_\mathrm{Y}\right)\\\\
&=P+j\left(Q_\mathrm{L}-YV^2\right) ・・・(8)
\end{align*}$$

 

前項の調相設備がない場合は、受電端に流れ込む電力がそのまま負荷に流れ込む電力と等しいとして計算した。

一方で今回は受電端への電力$Q$と負荷への電力$Q_\mathrm{L}$は、$Q_\mathrm{Y}$を考慮するため区別する必要がある(なお図1では抵抗分は無視しているため、有効電力$P$はいずれの箇所でも変わらない)。

 

$(8)$式の両辺の虚部を比較することで、$Q_\mathrm{L}$を求めると、

$$\begin{align*}
Q_\mathrm{L}&=\frac{EV\cos\delta-V^2}{X}+YV^2\\\\
&=\frac{EV}{X}\cos\delta-\left(\frac{1}{X}-Y\right)V^2 ・・・(9)
\end{align*}$$

 

ここで、受電端の有効電力$P$と無効電力$Q_\mathrm{L}$との間には、力率角を$\theta$とすると、次の関係がある。

$$Q_\mathrm{L}=P\tan\theta ・・・(10)$$

 

$(1),\ (9)$式を$(10)$式に代入して整理すると、

$$\begin{align*}
\frac{EV}{X}\cos\delta-\left(\frac{1}{X}-Y\right)V^2&=\frac{EV}{X}\sin\delta\tan\theta\\\\
E\cos\delta-\left(1-XY\right)V&=E\sin\delta\tan\theta\\\\
\therefore V&=\frac{E\left(\cos\delta-\sin\delta\tan\theta\right)}{1-XY}\\\\
&=\frac{\cos\delta\cos\theta-\sin\delta\sin\theta}{\left(1-XY\right)\cos\theta}E\\\\
&=\frac{\cos\left(\delta+\theta\right)}{\left(1-XY\right)\cos\theta}E ・・・(11)
\end{align*}$$

 

$(11)$式を$E$の式に変形すると、

$$E=\frac{\left(1-XY\right)\cos\theta}{\cos\left(\delta+\theta\right)}V ・・・(11)’$$

 

$(11)’$式を$(1)$式に代入すると、和積の公式も用いて、

$$\begin{align*}
P&=\frac{V}{X}\sin\delta\cdot\frac{\left(1-XY\right)\cos\theta}{\cos\left(\delta+\theta\right)}V\\\\
&=\frac{\left(1-XY\right)V^2}{X}\cdot\frac{\sin\delta\cos\theta}{\cos\left(\delta+\theta\right)}\\\\
&=\left(\frac{1}{2X}-\frac{Y}{2}\right)V^2\cdot\frac{\sin\left(\delta+\theta\right)+\sin\left(\delta-\theta\right)}{\cos\left(\delta+\theta\right)} ・・・(12)
\end{align*}$$

 

$(12)$式が調相設備を接続した場合の$P$の式となる。

 

$(12)$式に基づくと、調相容量を接続した場合の$P-V$曲線は図4のようになる。

同図より、調相量が増加すると、系統のリアクタンス$X$による電圧降下は補償され、$P-V$曲線は右上に持ち上がる形になる。

また、$P=0$の場合の$V$の値(曲線と縦軸との交点)も持ち上がり、調相設備を接続していない場合よりも大きくなる。

 

 

電力系統の電圧安定性

定電力負荷の場合

受電端電圧$V$に対して一定の電力を消費する負荷を定電力負荷という。

負荷の消費電力を$P_\mathrm{L}$としたとき、図5のように$P=P_\mathrm{L}$となる直線をグラフ上に描くと、それと図2の系統の$P-V$曲線との交点が運転点となる。

 

図5 定電力負荷の電圧安定性

 

まず、図5において負荷の消費電力$P_\mathrm{L}$が系統の供給能力範囲内であれば、同図左の直線のように運転点は2つ存在し、そのうち高め解である上部の点が安定な運転点となる。

このとき、$P=P_\mathrm{L}$となる直線と、$P-V$曲線のピーク値との$P$軸方向の距離が、安定余裕となる。

 

一方、負荷が大きくなり$P=P_\mathrm{L}$と$P-V$曲線との交点が存在しなくなると、系統の供給能力範囲を超えてしまい、電圧不安定となる。

 

定インピーダンス負荷の場合

受電端電圧$V$に対してインピーダンスの値が変化しない負荷を定インピーダンス負荷という。

 

負荷は抵抗とリアクタンスの並列回路で表すことができるとして、その抵抗成分を$R_\mathrm{L}$とすると、負荷の消費電力$P_\mathrm{L}$は、

$$P_\mathrm{L}=\frac{V^2}{R_\mathrm{L}}$$

となり、受電端電圧$V$の2乗に比例する。

 

ここで、抵抗$R_\mathrm{L}$の値を変化させたときの各$P_\mathrm{L}$のグラフについて、系統の$P-V$曲線とともに描いたものを図6に示す。

 

図6 定インピーダンス負荷の電圧安定性($P_\mathrm{L}-V$曲線)

 

図6において、負荷の消費電力$P_\mathrm{L}$と系統の$P-V$曲線との交点が運転点となる。

同図より、軽負荷から重負荷になると、運転点は$P-V$曲線を移動し、ピーク値を境に電圧$V$が急に減少する領域に入ることがわかる。

そして、さらに重負荷となれば、曲線同士の交点は存在しなくなる。

 

すなわち、このピーク値までが安定して運転可能な領域であり、これを超えるような負荷の状態となると電圧不安定となる。

 

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参考文献