電力系統のP-V曲線と電圧安定性

本記事では、電力系統の電圧安定性について、有効電力と電圧の関係を表した系統の$P-V$曲線を用いて解説する。





電力系統のP-V曲線

電力系統のモデル

今回、図1のような発電機(今回は円筒形同期発電機を想定)から負荷に電力供給している「1電源・1負荷」の系統を考える。

 

図1 電力系統(1電源・1負荷)

 

図1において、$\dot{E}=E\angle\delta$は発電機背後電圧、$\dot{V}=V\angle0$は受電端電圧、$X$は系統のリアクタンスを表し、抵抗分は無視するとする。

 

受電端電力と電圧の関係式

図1の受電端における電力が$\dot{S}=P+jQ$であるとして、この$P,\ Q$を各電圧の大きさ$E,\ V$および相差角$\delta$を用いて表すと、

$$\begin{cases}
P&=\displaystyle{\frac{EV}{X}}\sin\delta ・・・(1)\\\\
Q&=\displaystyle{\frac{EV\cos\delta-V^2}{X}} ・・・(2)
\end{cases}$$

 

$(1)$および$(2)$式の導出に関しては、下記の記事を参照のこと。
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また、受電端の有効電力$P$と無効電力$Q$との間には、力率角を$\theta$とすると、次の関係がある。

$$Q=P\tan\theta ・・・(3)$$

 

$(3)$式に$(1),\ (2)$式を代入して整理すると、

$$\begin{align*}
\frac{EV\cos\delta-V^2}{X}&=\frac{EV}{X}\sin\delta\tan\theta\\\\
E\cos\delta-V&=E\sin\delta\tan\theta\\\\
\therefore V&=E\left(\cos\delta-\sin\delta\tan\theta\right)\\\\
&=\frac{\cos\delta\cos\theta-\sin\delta\sin\theta}{\cos\theta}E\\\\
&=\frac{\cos\left(\delta+\theta\right)}{\cos\theta}E ・・・(4)
\end{align*}$$

 

$(4)$式を$E$の式に変形すると、

$$E=\frac{\cos\theta}{\cos\left(\delta+\theta\right)}V ・・・(4)’$$

 

$(4)’$式を$(1)$式に代入すると、和積の公式も用いて、

$$\begin{align*}
P&=\frac{V}{X}\sin\delta\cdot\frac{\cos\theta}{\cos\left(\delta+\theta\right)}V\\\\
&=\frac{V^2}{X}\cdot\frac{\sin\delta\cos\theta}{\cos\left(\delta+\theta\right)}\\\\
&=\frac{V^2}{2X}\cdot\frac{\sin\left(\delta+\theta\right)+\sin\left(\delta-\theta\right)}{\cos\left(\delta+\theta\right)} ・・・(5)
\end{align*}$$

となり、受電端の有効電力$P$は$V,\ \delta,\ \theta$の関数となる。

 

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P-V曲線(ノーズカーブ)

$(5)$式の$\delta$および$\theta$の値において、$P$と$V$の関係をグラフに表した$P-V$曲線を図2に示す。

$P-V$曲線は同図のようにグラフ右側にピークをとる形で、一般的に右を向いた人の鼻のような形状であることから、ノーズカーブともいう。

 

図2 $P-V$曲線

 

また、$(5)$式の$\delta$および$\theta$をそれぞれ変化させたときの$P-V$曲線を図3に示す。

 

図3 $\delta$および$\theta$を変化させたときの$P-V$曲線(力率角$\theta$は遅れを正とする)

 

同図より、力率角$\theta$が遅れから進みになるにつれ、曲線のピーク値が右上に移動していくような形状になる。

さらに、相差角$\delta$が増大するにつれ$P$も増大するものの、ピーク値を境に$P$および電圧$V$が減少していく傾向になる。

この傾向は遅れ力率であればあるほど減少に転じる$\delta$の値が小さくなり、進み力率であっても最大で$\delta=\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$付近で減少に転じることがわかる。

 

一機無限大母線系統の定態安定性」の記事で、定態安定限界電力は$\delta=\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$のときに取りうると解説したが、図3ではそれよりも$\delta$が小さな範囲で曲線が減少に転じてしまうことがわかる。

これは、同記事の場合は$V$が一定であるという仮定をしているからで、実際に$V$を一定にするためには、調相設備を利用して系統に無効電力$Q$を供給してやる必要がある。

※電圧$V$と無効電力$Q$の関係については次の記事を参照

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電力系統の電圧安定性

定電力負荷の場合

受電端電圧$V$に対して一定の電力を消費する負荷を定電力負荷という。

負荷の消費電力を$P_\mathrm{L}$としたとき、図4のように$P=P_\mathrm{L}$となる直線をグラフ上に描くと、それと図2の系統の$P-V$曲線との交点が運転点となる。

 

図4 定電力負荷の電圧安定性

 

まず、図4において負荷の消費電力$P_\mathrm{L}$が系統の供給能力範囲内であれば、同図左の直線のように運転点は2つ存在し、そのうち高め解である上部の点が安定な運転点となる。

このとき、$P=P_\mathrm{L}$となる直線と、$P-V$曲線のピーク値との$P$軸方向の距離が、安定余裕となる。

 

一方、負荷が大きくなり$P=P_\mathrm{L}$と$P-V$曲線との交点が存在しなくなると、系統の供給能力範囲を超えてしまい、電圧不安定となる。

 

定インピーダンス負荷の場合

受電端電圧$V$に対してインピーダンスの値が変化しない負荷を定インピーダンス負荷という。

 

負荷は抵抗とリアクタンスの並列回路で表すことができるとして、その抵抗成分を$R_\mathrm{L}$とすると、負荷の消費電力$P_\mathrm{L}$は、

$$P_\mathrm{L}=\frac{V^2}{R_\mathrm{L}}$$

となり、受電端電圧$V$の2乗に比例する。

 

ここで、抵抗$R_\mathrm{L}$の値を変化させたときの各$P_\mathrm{L}$のグラフについて、系統の$P-V$曲線とともに描いたものを図5に示す。

 

図5 定インピーダンス負荷の電圧安定性($P-V$線図)

 

同図において、負荷の消費電力$P_\mathrm{L}$と系統の$P-V$曲線との交点が運転点となる。

同図より、軽負荷から重負荷になると、運転点は$P-V$曲線を移動し、ピーク値を境に電圧$V$が急に減少する領域に入ることがわかる。

そして、さらに重負荷となれば、曲線同士の交点は存在しなくなる。

 

すなわち、このピーク値までが安定して運転可能な領域であり、これを超えるような負荷の状態となると電圧不安定となる。





関連する例題(「電験王」へのリンク)

電験一種

 

電験二種

 

参考文献