静電容量測定用ブリッジ回路まとめ

本記事では、静電容量測定に用いられるブリッジ回路について解説する。





キャパシタンスブリッジ(デソーティブリッジ)回路

キャパシタンスブリッジ回路(Capacitance bridge circuit)は、図1のように既知の抵抗$R_1,\ R_2$および可変容量$C_\mathrm{s}$を用いて、未知の静電容量$C_x$を測定する回路である。

デソーティブリッジ回路(De Sauty’s bridge circuit)ともいう。

 

図1 キャパシタンスブリッジ(デソーティブリッジ)回路

 

未知の静電容量$C_x$の値を測定するため、図1の可変容量$C_\mathrm{s}$の値を調整して、ブリッジ回路の平衡状態をつくる。

このとき、ブリッジの平衡条件の式から$C_x$を求めると、

$$\begin{align*}
\frac{1}{j\omega C_x}\cdot R_1&=\frac{1}{j\omega C_\mathrm{s}}\cdot R_2\\\\
\therefore C_x&=\frac{R_1}{R_2}C_\mathrm{s}
\end{align*}$$

 

直列キャパシタンスブリッジ

直列キャパシタンスブリッジ(Series resistance-capacitance bridge circuit)は、図1のキャパシタンスブリッジ回路の応用で、図2のように容量成分を含んだ未知のインピーダンス(抵抗成分$R_x$および容量成分$C_x$)を測定する回路である。

 

図2 直列キャパシタンスブリッジ回路

 

未知のインピーダンスの抵抗成分$R_x$および容量成分$C_x$の値を測定するため、図2の可変抵抗$R_\mathrm{s1}$および$R_\mathrm{s2}$の値を調整して、ブリッジ回路の平衡状態をつくる。

このとき、ブリッジの平衡条件の式から、$C_x$を求めると、

$$\begin{align*}
\left(R_x+\frac{1}{j\omega C_x}\right)\cdot R_\mathrm{s2}&=\left(R_\mathrm{s1}+\frac{1}{j\omega C_1}\right)\cdot R_1\\\\
\therefore R_xR_\mathrm{s2}-j\frac{R_\mathrm{s2}}{\omega C_x}&=R_\mathrm{s1}R_1-j\frac{R_1}{\omega C_1}
\end{align*}$$

 

上式において、両辺の実部と虚部同士を比較すると、$R_x$および$C_x$を求めることができて、

$$\begin{align*}
R_xR_\mathrm{s2}&=R_\mathrm{s1}R_1\\\\
\therefore R_x&=\frac{R_\mathrm{s1}}{R_\mathrm{s2}}R_1\\\\\\\\
-\frac{R_\mathrm{s2}}{\omega C_x}&=-\frac{R_1}{\omega C_1}\\\\
\therefore C_x&=\frac{R_\mathrm{s2}}{R_1}C_1
\end{align*}$$

 

 

ウィーンブリッジ回路

ウィーンブリッジ回路(Wine bridge circuit)は、図3に示すような抵抗と静電容量の直列回路と並列回路が各種1つずつ(かつそれらの回路が対向していない)、および2つの純抵抗で構成されるブリッジ回路である。

静電容量の測定のほか、数$\mathrm{Hz}$~数$\mathrm{kHz}$の比較的低い周波数の測定に用いられる。

また、発振回路にも用いられる。

 

図3 ウィーンブリッジ回路

 

図3において、$R_2$と$C_2$で構成される並列回路部の合成インピーダンスは、

$$\frac{\displaystyle{\frac{R_2}{j\omega C_2}}}{R_2+\displaystyle{\frac{1}{j\omega C_2}}}=\frac{R_2}{1+j\omega C_2R_2}$$

 

したがって、ブリッジ回路の平衡条件は、

$$\begin{align*}
\left(R_1+\frac{1}{j\omega C_1}\right)\cdot R_4&=\frac{R_2}{1+j\omega C_2R_2}\cdot R_3\\\\
\left(1+j\omega C_1R_1\right)\left(1+j\omega C_2R_2\right)R_4&=j\omega C_1R_2R_3\\\\
\therefore1-\omega^2C_1C_2R_1R_2R_4+j\omega\left(C_1R_1+C_2R_2\right)R_4&=j\omega C_1R_2R_3 ・・・(1)
\end{align*}$$

 

例えば、$C_2$が未知の静電容量であるとすると、これを求める式は、$(1)$式において両辺の虚部同士を比較して、

$$\begin{align*}
\omega\left(C_1R_1+C_2R_2\right)R_4&=\omega C_1R_2R_3\\\\
C_1R_1R_4-C_1R_2R_3&=-C_2R_2R_4\\\\
\therefore C_2&=\frac{R_2R_3-R_1R_4}{R_2R_4}C_1
\end{align*}$$

 

一方、回路定数はすべて既知の値であるとして、電源周波数$f$を求める式は、$(1)$において実部同士を比較することと、$\omega=2\pi f$の関係式を用いて、

$$\begin{align*}
1-\omega^2C_1C_2R_1R_2R_4&=0\\\\
\omega&=\frac{1}{\sqrt{C_1C_2R_1R_2}}\\\\
\therefore f&=\frac{1}{2\pi\sqrt{C_1C_2R_1R_2}}
\end{align*}$$

 

特に、$C_1=C_2,\ R_1=R_2$であるとすれば、周波数$f$は、

$$f=\frac{1}{2\pi C_1R_1}$$

 

シェーリングブリッジ回路

シェーリングブリッジ回路(Schering bridge circuit)は、図4に示すような抵抗と静電容量の直列回路と並列回路が各種1つずつ(かつそれらの回路が対向している)と、純抵抗および純静電容量が1つずつで構成されるブリッジ回路である。

主にコンデンサの静電容量および誘電正接$\tan\delta$を測定するために用いられる。

 

図4 シェーリングブリッジ回路

 

図4において、$R_3$と$C_3$で構成される並列回路部の合成インピーダンスは、

$$\frac{\displaystyle{\frac{R_3}{j\omega C_3}}}{R_3+\displaystyle{\frac{1}{j\omega C_3}}}=\frac{R_3}{1+j\omega C_3R_3}$$

 

したがって、ブリッジ回路の平衡条件は、

$$\begin{align*}
\left(R_1+\frac{1}{j\omega C_1}\right)\cdot\left(\frac{R_3}{1+j\omega C_3R_3}\right)&=R_2\cdot\frac{1}{j\omega C_2}\\\\
j\omega C_2\left(1+j\omega C_1R_1\right)R_3&=j\omega C_1\left(1+j\omega C_3R_3\right)R_2\\\\
\therefore-\omega^2C_1C_2R_1R_3+j\omega C_2R_3&=-\omega^2C_1C_3R_2R_3+j\omega C_1R_2 ・・・(2)\\\\
\end{align*}$$

 

図4で$R_1$および$C_1$が測定対象であるとすると、これらを求める式は、$(2)$式において両辺の虚部同士を比較して、

$$\begin{align*}
-\omega^2C_1C_2R_1R_3&=-\omega^2C_1C_3R_2R_3\\\\
\therefore R_1&=\frac{C_3}{C_2}R_2\\\\\\\\
\omega C_2R_3&=\omega C_1R_2\\\\
\therefore C_1&=\frac{R_3}{R_2}C_2
\end{align*}$$

 

また、$R_1$および$C_1$の直列回路の端子電圧を$V$とすると、誘電正接$\tan\delta$は、(回路電流の虚部)/(回路電流の実部)で求めることができて、

$$\begin{align*}
\tan\delta&=\frac{\omega CV}{\displaystyle{\frac{V}{R}}}\\\\
&=\omega C_1R_1
\end{align*}$$

 

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参考文献