本記事では「直流－直流変換回路」の一種である、昇圧チョッパ回路について解説する。
昇圧チョッパ回路の構成
図1に昇圧チョッパ回路の構成を示す。
図1 昇圧チョッパ回路
図1の回路は、入力電圧$E_1$となる直流電源が、リアクトル$L$およびダイオード$\mathrm{D}$を介して負荷抵抗$R$に接続される。
このとき、スイッチ$\mathrm{Q}$（図1ではバイポーラトランジスタ）はリアクトル$L$およびダイオード$\mathrm{D}$の間に配置される。
このダイオード$\mathrm{D}$は、後述のようにスイッチ$\mathrm{Q}$がオフ時に電流が流れる経路を作る役割を持つ。
一方、負荷抵抗$R$には平滑コンデンサ$C$が並列に接続される。
昇圧チョッパ回路の出力電圧
図1の回路において、スイッチ$\mathrm{Q}$がオンおよびオフになった場合の、それぞれの電流の流れを図2に示す。
ここでは、負荷抵抗$R$に発生する出力電圧$E_2$の式を導出するため、同図のリアクトル$L$に蓄えられるエネルギーに着目する。
このとき、リアクトル$L$の両端の電圧を$v_\mathrm{L}$，流れる電流を$i_\mathrm{L}$とする。
図2 昇圧チョッパ回路のスイッチ$\mathrm{Q}$オン・オフ時における電流の流れ
スイッチQオン時
まず、スイッチ$\mathrm{Q}$が導通するオン時間$T_\mathrm{ON}$において、直流電源$E_1$は負荷抵抗$R$から切り離され、電流はスイッチ$\mathrm{Q}$とリアクトル$L$で形成される閉回路を流れる。
一方、平滑コンデンサ$C$が充電されているとき、蓄えられたエネルギーを放出し、負荷抵抗$R$で消費される。
ここで、ダイオード$\mathrm{D}$により、平滑コンデンサ$C$から放出される電流は直流電源$E_1$側には流れ出ない。
このとき、リアクトル$L$に流れる電流$i_\mathrm{L}$は、スイッチ$\mathrm{Q}$に流れる電流$i_\mathrm{Q}$に等しく、後述のように時間$t$とともに値が増加する。
またこの間、直流電源$E_1$とリアクトル$L$のみの閉回路が形成されるため、リアクトル$L$の両端の電圧は$v_\mathrm{L}=E_1$となる。
スイッチQオフ時
一方、スイッチ$\mathrm{Q}$が遮断されるオフ時間$T_\mathrm{OFF}$において、直流電源$E_1$からのエネルギーはダイオード$\mathrm{D}$を介して負荷抵抗$R$へ送られると同時に、平滑コンデンサ$C$にもエネルギーが蓄えられる。
リアクトル$L$に関しては、スイッチ$\mathrm{Q}$オン時に蓄えられたエネルギーが負荷側に放出されることになり、電流$i_\mathrm{L}$はダイオード$\mathrm{D}$に流れる電流$i_\mathrm{D}$に等しく、時間$t$とともに値が減少していく。
また、リアクトル$L$の両端の電圧$v_\mathrm{L}$は、入出力電圧の差である$v_\mathrm{L}=E_1-E_2$となる。
電流・電圧のグラフ
以上より、$v_\mathrm{L}$および$i_\mathrm{L}$の時間$t$に対するグラフは図3のようになる。
図3 昇圧チョッパ回路の電圧・電流のグラフ
なお、リアクトル$L$のインダクタンスは非常に大きいものとすると、図3に示すように、流れる電流はほぼ一定の値である$I_\mathrm{L}$になる（後述）。
このとき、スイッチ$\mathrm{Q}$のオン時間$T_\mathrm{ON}$にリアクトル$L$に蓄えられるエネルギーと、オフ時間$T_\mathrm{OFF}$に放出されるエネルギーは平衡するので、ある時間$t$におけるエネルギーに関して、次の式が成り立つ。
$$\begin{align*}
\int^{T}_{0} v_\mathrm{L}i_\mathrm{L}\mathrm{d}t=E_1I_\mathrm{L}\cdot T_\mathrm{ON}+\left(E_1-E_2\right)I_\mathrm{L}\cdot T_\mathrm{OFF}&=0\\\\
\therefore E_1\left(T_\mathrm{ON}+T_\mathrm{OFF}\right)-E_2T_\mathrm{OFF}&=0
\end{align*}$$
したがって、負荷の出力電圧$E_2$は、スイッチ$\mathrm{Q}$のオン時間$T_\mathrm{ON}$とスイッチング周期$T=T_\mathrm{ON}+T_\mathrm{OFF}$の比である通流率$\alpha=\displaystyle{\frac{T_\mathrm{ON}}{T_\mathrm{ON}+T_\mathrm{OFF}}}$を用いて、
$$\begin{align*}
E_2&=\frac{T_\mathrm{ON}+T_\mathrm{OFF}}{T_\mathrm{OFF}}E_1\\\\
&=\frac{1}{\displaystyle{\frac{T_\mathrm{OFF}}{T_\mathrm{ON}+T_\mathrm{OFF}}}}E_1\\\\
&=\frac{1}{1-\displaystyle{\frac{T_\mathrm{ON}}{T_\mathrm{ON}+T_\mathrm{OFF}}}}E_1\\\\
&=\frac{1}{1-\alpha}E_1 ・・・(1)
\end{align*}$$
通流率$\alpha$は$0\leq\alpha\leq1$であるから、出力電圧$E_2$は直流電源からの入力電圧$E_1$より高くなる。
これが「昇圧」チョッパ回路と呼ばれる所以である。
昇圧チョッパ回路の電流（簡略等価回路）
ここでは、前項のリアクトル$L$の電流$i_\mathrm{L}$が、時間$t$に比例する式であることを検証する。
なお、時間$t=0$を基準として、スイッチ$\mathrm{Q}$がオンになる時間を$t_1$，オフになる時間を$t_2$とし、以後スイッチング周期$T=T_\mathrm{ON}+T_\mathrm{OFF}$ごとにオンオフが繰り返されるものとする（図3とは時間の基準が異なっていることに注意）。
また、各回路素子の電圧降下は無視するものとする。
スイッチQオン時
スイッチ$\mathrm{Q}$オン時$\left(t_1\leq t<t_2\right)$における図1の等価回路を図4に示す。
同図では、負荷抵抗$R$が回路から切り離され、直流電源$E_1$およびリアクトル$L$のみの回路となることが表されている。
なお同図では、抵抗成分は省略して簡略化した回路となっている。
図4 昇圧チョッパ回路の簡略等価回路（スイッチ$\mathrm{Q}$オン）
図4の回路について、キルヒホッフの電圧則に基づき回路方程式を立てると、
$$L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}=E_1 ・・・(2)$$
$(2)$式の両辺を時間$t$で積分すると、積分定数を$A_1$として、
$$i_\mathrm{L}=\frac{E_1}{L}\left(t-t_1\right)+A_1 ・・・(3)$$
初期条件として、スイッチ$\mathrm{Q}$がオンになる$t=t_\mathrm{1}$において、リアクトル$L$に流れる電流は最小値となるので、これを$i_\mathrm{L}|_{t=t_1}=I_\mathrm{min}$とおくと、$(3)$式より、
$$A_1=I_\mathrm{min}$$
以上より、スイッチ$\mathrm{Q}$がオン時$\left(t_1\leq t<t_2\right)$の電流$i_\mathrm{L}$の式は、
$$i_\mathrm{L}=\frac{E_1}{L}\left(t-t_1\right)+I_\mathrm{min} ・・・(4)$$
$(4)$式より、スイッチ$\mathrm{Q}$がオンの場合において、電流$i_\mathrm{L}$は時間$t$に比例する直線で表される。
スイッチQオフ時
図1の昇圧チョッパ回路において、平滑コンデンサ$C$により、負荷抵抗$R$は一定の電圧$E_2$を維持する。
これは、言い換えれば直流電圧源$E_2$が（図5のように）接続されているとみることもできる。
上記を考慮して、スイッチ$\mathrm{Q}$オフ時$\left(t_2\leq t<t_1+T\right)$における図1の等価回路を図5に示す。
同図では、図4と同様に抵抗成分は省略して簡略化した回路となっている。
図5 昇圧チョッパ回路の簡略等価回路（スイッチ$\mathrm{Q}$オフ）
図5の回路について、キルヒホッフの電圧則に基づき回路方程式を立てると、
$$L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}=E_1-E_2 ・・・(5)$$
$(5)$式の両辺を時間$t$で積分すると、積分定数を$A_2$として、
$$i_\mathrm{L}=\frac{E_1-E_2}{L}\left(t-t_2\right)+A_2 ・・・(6)$$
初期条件として、スイッチ$\mathrm{Q}$がオフになる$t=t_\mathrm{2}$において、リアクトル$L$に流れる電流は最大値となるので、これを$i_\mathrm{L}|_{t=t_2}=I_\mathrm{max}$とおくと、$(6)$式より、
$$A_2=I_\mathrm{max}$$
以上より、スイッチ$\mathrm{Q}$がオン時$\left(t_2\leq t<t_1+T\right)$の電流$i_\mathrm{L}$の式は、
$$i_\mathrm{L}=\frac{E_1-E_2}{L}\left(t-t_2\right)+I_\mathrm{max} ・・・(7)$$
$(7)$式より、スイッチ$\mathrm{Q}$がオフの場合においても、電流$i_\mathrm{L}$は時間$t$に比例する直線で表される。
電流のグラフ
$(4)$式および$(7)$式に基づき、時間$t$に対する電流$i_\mathrm{L}$のグラフをかくと、図6のようになる。
図6 昇圧チョッパ回路の電流のグラフ
図6より、スイッチ$\mathrm{Q}$のオンとオフが切り換わる$t=t_2$において、電流の値は$i_\mathrm{L}=I_\mathrm{max}$となる。
したがって、$(4)$式で$t=t_2$とすると、
$$\begin{align*}
I_\mathrm{max}&=\frac{E_1}{L}\left(t_2-t_1\right)+I_\mathrm{min}\\\\
\therefore I_\mathrm{max}-I_\mathrm{min}&=\frac{E_1}{L}T_\mathrm{ON} ・・・(8)
\end{align*}$$
また$t=t_1+T$のとき、$(7)$式で$i_\mathrm{L}|_{t=t_1+T}=I_\mathrm{min}$とすれば、図6の$i_\mathrm{L}$のグラフはスイッチング周期$T$で繰り返し波形となるので、
$$\begin{align*}
I_\mathrm{min}&=\frac{E_1-E_2}{L}\left(t_1+T-t_2\right)+I_\mathrm{max}\\\\
\therefore I_\mathrm{max}-I_\mathrm{min}&=\frac{E_1-E_2}{L}\left(T_\mathrm{ON}-T\right) ・・・(9)
\end{align*}$$
$(8)$式と$(9)$式を等号で結び、
$$\begin{align*}
\frac{E_1}{L}T_\mathrm{ON}&=\frac{E_1-E_2}{L}\left(T_\mathrm{ON}-T\right)\\\\
\frac{E_1}{L}T&=\frac{E_2}{L}\left(T-T_\mathrm{ON}\right)\\\\
\therefore \frac{E_2}{E_1}&=\frac{T}{T-T_\mathrm{ON}}\\\\
&=\frac{1}{1-\displaystyle{\frac{T_\mathrm{ON}}{T}}}\\\\
&=\frac{1}{1-\alpha} ・・・(10)
\end{align*}$$
となり、$(1)$式と一致する。
昇圧チョッパ回路の電流（抵抗分を含む等価回路）
次に図1の昇圧チョッパ回路において、図4および図5とは異なり、回路の抵抗分を含む等価回路を考え、電流$i_\mathrm{L}$の式を導出する。
スイッチQオン時
スイッチ$\mathrm{Q}$オン時($t_1\leq t<t_2$)における、回路の等価抵抗を$R_\mathrm{e1}=R_\mathrm{e}$（後述のスイッチ$\mathrm{Q}$オフ時と値は等しい）とした場合の図1の等価回路を図7に示す。
図7 昇圧チョッパ回路の等価回路（スイッチ$\mathrm{Q}$オン）
図7の回路について、キルヒホッフの電圧則に基づき回路方程式を立てると、
$$L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}+R_\mathrm{e}i_\mathrm{L}=E_1 ・・・(11)$$
$(11)$式の解は、「RL直列回路の過渡現象（直流回路）」$(6)$式より、
$$i_\mathrm{L}=A_3e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}t}+\frac{E_1}{R_\mathrm{e}} ・・・(12)$$
初期条件で、$t=t_1$のとき$i_\mathrm{L}|_{t=t_1}=I_\mathrm{min}$であることから、$(12)$式より、
$$\begin{align*}
I_\mathrm{min}&=A_3e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}t_1}+\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\\\\
\therefore A_3&=\left(I_\mathrm{min}-\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\right)e^{\frac{R_\mathrm{e}}{L}t_1}
\end{align*}$$
以上より、スイッチ$\mathrm{Q}$オン時($t_1\leq t<t_2$)の電流$i_\mathrm{L}$の式は、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}&=\left(I_\mathrm{min}-\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\right)e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}\left(t-t_1\right)}+\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\\\\
&=I_\mathrm{min}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}\left(t-t_1\right)}+\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\left\{1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}\left(t-t_1\right)}\right\}\\\\
&\equiv I_\mathrm{min}e^{-\frac{t-t_1}{\tau}}+\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{t-t_1}{\tau}}\right) ・・・(13)
\end{align*}$$
ただし、$\tau\equiv\displaystyle{\frac{L}{R_\mathrm{e}}}$
$(13)$式より、電流$i_\mathrm{L}$は本来は指数関数的に変動する。
ここで、指数項のマクローリン展開
$$e^{-\frac{t-t_1}{\tau}}= 1-\frac{t-t_1}{\tau}+\frac{\left(t-t_1\right)^2}{2\tau^2}-\frac{\left(t-t_1\right)^3}{6\tau^3}+\cdots ・・・(14)$$
において、回路のインダクタンス$L$が十分に大きい（$=\tau$も十分に大きい）とき、$(14)$式の第2項以降は無視することができるので、$(13)$式は、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}&\fallingdotseq I_\mathrm{min}\left(1-\frac{t-t_1}{\tau}\right)+\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\left\{1-\left(1-\frac{t-t_1}{\tau}\right)\right\}\\\\
&=I_\mathrm{min}\left\{1-\frac{R_\mathrm{e}}{L}\left(t-t_1\right)\right\}+\frac{E_1}{L}\left(t-t_1\right) ・・・(15)
\end{align*}$$
ここで$R_\mathrm{e}=0$，すなわち図4の回路のように等価抵抗$R_\mathrm{e}$を無視すれば、$(15)$式は$(4)$式に一致する。
スイッチQオフ時
スイッチ$\mathrm{Q}$オフ時($t_2\leq t<t_1+T$)における、回路の等価抵抗を$R_\mathrm{e2}=R_\mathrm{e}$（前述のスイッチ$\mathrm{Q}$オン時と値は等しい）とした場合の図1の等価回路を図8に示す。
図8 昇圧チョッパ回路の等価回路（スイッチ$\mathrm{Q}$オフ）
図8の回路について、キルヒホッフの電圧則に基づき回路方程式を立てると、
$$L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}+R_\mathrm{e}i_\mathrm{L}=E_1-E_2 ・・・(16)$$
$(16)$式の解は、「RL直列回路の過渡現象（直流回路）」$(6)$式より、
$$i_\mathrm{L}=A_4e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}t}+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}} ・・・(17)$$
初期条件で、$t=t_2$で$i_\mathrm{L}|_{t=t_2}=I_\mathrm{max}$であることから、$(12)$式より、
$$\begin{align*}
I_\mathrm{max}&=A_4e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}t_2}+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\\\\
\therefore A_4&=\left(I_\mathrm{max}-\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\right)e^{\frac{R_\mathrm{e}}{L}t_2}
\end{align*}$$
以上より、スイッチ$\mathrm{Q}$オフ時($t_2\leq t<t_1+T$)の電流$i_\mathrm{L}$の式は、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}&=\left(I_\mathrm{max}-\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\right)e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}\left(t-t_2\right)}+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\\\\
&=I_\mathrm{max}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}\left(t-t_2\right)}+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\left\{1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}\left(t-t_2\right)}\right\}\\\\
&\equiv I_\mathrm{max}e^{-\frac{t-t_2}{\tau}}+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{t-t_2}{\tau}}\right)・・・(18)
\end{align*}$$
$(18)$式も$(13)$式と同様に、電流$i_\mathrm{L}$は本来は指数関数的に変動する。
ここで、回路のインダクタンス$L$が十分に大きい（$=\tau$も十分に大きい）とき、$(14)$式のマクローリン展開を同様に用いると、$(18)$式は、
$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}&\fallingdotseq I_\mathrm{max}\left(1-\frac{t-t_2}{\tau}\right)+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\left\{1-\left(1-\frac{t-t_2}{\tau}\right)\right\}\\\\
&=I_\mathrm{max}\left\{1-\frac{R_\mathrm{e}}{L}\left(t-t_2\right)\right\}+\frac{E_1-E_2}{L}\left(t-t_2\right) ・・・(19)
\end{align*}$$
ここで$R_\mathrm{e}=0$，すなわち図5の回路のように等価抵抗$R_\mathrm{e}$を無視すれば、$(19)$式は$(7)$式に一致する。
電流の最大値と最小値
さらに、電流の最大値$I_\mathrm{max}$および最小値$I_\mathrm{min}$を、回路定数およびオン・オフ時間で表してみる。
スイッチ$\mathrm{Q}$のオンとオフが切り換わる$t=t_2$において、電流の値は$i_\mathrm{L}=I_\mathrm{max}$となるので、$(13)$式で$t=t_2$として（$t_2-t_1=T_\mathrm{ON}$であることにも注意して）、
$$\begin{align*}
I_\mathrm{max}&=I_\mathrm{min}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}\left(t_2-t_1\right)}+\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\left\{1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}\left(t_2-t_1\right)}\right\}\\\\
&=I_\mathrm{min}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{ON}}+\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{ON}}\right) ・・・(20)
\end{align*}$$
また$t=t_1+T$のとき、$(18)$式で$i_\mathrm{L}|_{t=t_1+T}=I_\mathrm{min}$とすれば、$i_\mathrm{L}$のグラフはスイッチング周期$T$で繰り返し波形となるので（$t_2-t_1=T_\mathrm{ON},\ T=T_\mathrm{ON}+T_\mathrm{OFF}$であることに注意して）、
$$\begin{align*}
I_\mathrm{min}&=I_\mathrm{max}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}\left(t_1+T-t_2\right)}+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\left\{1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}\left(t_1+T-t_2\right)}\right\}\\\\
&=I_\mathrm{max}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}\right) ・・・(21)
\end{align*}$$
$(20)$式と$(21)$より、$I_\mathrm{min}$を消去して$I_\mathrm{max}$を求めると、
$$\begin{align*}
I_\mathrm{max}&=\left\{I_\mathrm{max}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}\right)\right\}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{ON}}+\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{ON}}\right)\\\\
&=I_\mathrm{max}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}\right)e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{ON}}+\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{ON}}\right)\\\\
&=I_\mathrm{max}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}-\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{ON}}-\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}+\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\\\\
\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}\right)I_\mathrm{max}&=\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}\right)-\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}\left(e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{ON}}-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}\right)\\\\
\therefore I_\mathrm{max}&=\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}-\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}\displaystyle{\frac{e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{ON}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}\right)}{1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}}} ・・・(22)
\end{align*}$$
同様に、$(20)$式と$(21)$で$I_\mathrm{max}$を消去して$I_\mathrm{min}$を求めると、
$$\begin{align*}
I_\mathrm{min}&=\left\{I_\mathrm{min}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{ON}}+\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{ON}}\right)\right\}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}\right)\\\\
&=I_\mathrm{min}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}+\frac{E_1}{R}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{ON}}\right)e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}\right)\\\\
&=I_\mathrm{min}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}-\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}+\frac{E_1-E_2}{R_\mathrm{e}}+\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}\\\\
\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}\right)I_\mathrm{min}&=\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}\right)-\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}\left(1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}\right)\\\\
\therefore I_\mathrm{min}&=\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}-\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}\displaystyle{\frac{1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T_\mathrm{OFF}}}{1-e^{-\frac{R_\mathrm{e}}{L}T}}} ・・・(23)
\end{align*}$$
特に、各回路のインダクタンス$L$が十分に大きい（$=\tau$も十分に大きい）とき、指数項のマクローリン展開
$$\begin{align*}
e^{-\frac{T}{\tau}}&=1-\frac{T}{\tau}+\frac{T^2}{2\tau^2}-\frac{T^3}{6\tau^3}+\cdots\\\\
&\fallingdotseq 1-\frac{T}{\tau}・・・(24)
\end{align*}$$
を用いると、$(22),\ (23)$式は、
$$\begin{align*}
I_\mathrm{max}&\fallingdotseq\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}-\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}\left(1-\displaystyle{\frac{T_\mathrm{ON}}{\tau}}\right)\frac{1-\left(1-\displaystyle{\frac{T_\mathrm{OFF}}{\tau}}\right)}{1-\left(1-\displaystyle{\frac{T}{\tau}}\right)}\\\\
&=\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}-\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}\left(1-\displaystyle{\frac{T_\mathrm{ON}}{\tau}}\right)\frac{T_\mathrm{OFF}}{T}\\\\
&\fallingdotseq\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}-\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}\frac{T_\mathrm{OFF}}{T}\\\\
&=\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}-\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}\left(1-\alpha\right) ・・・(25)
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
I_\mathrm{min}&\fallingdotseq\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}-\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}\frac{1-\left(1-\displaystyle{\frac{T_\mathrm{OFF}}{\tau}}\right)}{1-\left(1-\displaystyle{\frac{T}{\tau}}\right)}\\\\
&=\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}-\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}\frac{T_\mathrm{OFF}}{T}\\\\
&=\frac{E_1}{R_\mathrm{e}}-\frac{E_2}{R_\mathrm{e}}\left(1-\alpha\right) ・・・(26)
\end{align*}$$
$(25),\ (26)$式より$I_\mathrm{max}=I_\mathrm{min}$，すなわち図6の電流$i_\mathrm{L}$のグラフは完全に平滑になり、図3に示すような一定値$I_\mathrm{L}$をとるような波形になる。
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参考文献
- 電気学会『電気工学ハンドブック 第7版』オーム社，2013
- 長谷良秀『電力技術の実用理論 第3版 発電・送変電の基礎理論からパワーエレクトロニクス応用まで』丸善出版，2015
- 古橋武『パワーエレクトロニクスノート―工作と理論』コロナ社，2008
- 金東海『パワースイッチング工学―パワーエレクトロニクスの基礎理論』電気学会，2003
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