LC並列回路の過渡現象(直流回路)

本記事では、直流電源が接続された$LC$並列回路における過渡現象について解説する。





回路方程式(スイッチ開→閉)

直流電源$E$,抵抗$R_0$,静電容量$C$,インダクタンス$L$が接続された$LC$並列回路にて、時間$t=0$でスイッチを閉じた状態のものを図1に示す。

(図1の回路では、$L$および$C$に過大な電流が流れるのを防ぐため抵抗$R_0$を挿入している)

 

図1 $LC$並列回路(スイッチ閉)

 

図1の回路では$t=0$でスイッチが閉じた後、電源から抵抗$R_0$を介した電流$i$が、静電容量$C$とインダクタンス$L$にそれぞれ$i_\mathrm{C}$および$i_\mathrm{L}$として分流している。

この電流$i$に関して、キルヒホッフの第一法則および第二法則を適用すると、回路方程式は、

$$\begin{cases}
i=i_\mathrm{C}+i_\mathrm{L} &・・・(1)\\\\
R_0i+L\displaystyle{\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}}=E &・・・(2)\\\\
L\displaystyle{\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}}=\displaystyle{\frac{1}{C}\int i_\mathrm{C}}\ \mathrm{d}t &・・・(3)
\end{cases}$$

 

$(2)$式の$i$に$(1)$式を代入すると、

$$R_0\left(i_\mathrm{C}+i_\mathrm{L}\right)+L\displaystyle{\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}}=E ・・・(4)$$

 

また、$(3)$式の両辺を$t$で微分して、$i_\mathrm{C}$の式にすると、

$$\begin{align*}
L\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t^2}&=\frac{i_\mathrm{C}}{C}\\\\
\therefore i_\mathrm{C}&=LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t^2} ・・・(5)
\end{align*}$$

 

$(4)$および$(5)$式より、$i_\mathrm{C}$を消去して整理すると、

$$R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{L}=E ・・・(6)$$

 

回路方程式(スイッチ開→閉)の解法

過渡解と定常解

$(6)$式を電流$i_\mathrm{L}$について解く場合、過渡解を$i_\mathrm{Lt}$,定常解を$i_\mathrm{Ls}$とすると、$(6)$式の解は、

$$i=i_\mathrm{Lt}+i_\mathrm{Ls} ・・・(7)$$

と表すことができる。

 

$(7)$式を$(6)$式に代入すると、

$$\begin{align*}
R_0LC\frac{\mathrm{d}^2\left(i_\mathrm{Lt}+i_\mathrm{s}\right)}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}\left(i_\mathrm{Lt}+i_\mathrm{Ls}\right)}{\mathrm{d}t}+R_0\left(i_\mathrm{Lt}+i_\mathrm{Ls}\right)&=E\\\\
\therefore\left(R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Lt}\right)+\left(R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Ls}\right)&=E ・・・(8)
\end{align*}$$

 

$(8)$式をそれぞれ$i_\mathrm{Lt}$と$i_\mathrm{Ls}$についての2つの式に分離すると、

$$\begin{cases}
\displaystyle{R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Lt}}=0 &・・・(8.1)\\\\
\displaystyle{R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Ls}}=E &・・・(8.2)
\end{cases}$$

 

$(8.1)$式は過渡状態においてのみ考慮すべき式であり、$t\rightarrow\infty$で両辺は$0$に収束する。

同式は右辺が$0$であり、数学的には斉次方程式である。

 

一方、$(8.2)$式は定常状態において成立する式であり、右辺が$0$でない非斉次方程式である。

 

過渡解の導出

$(6)$式を解くために、まず、

$$R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Lt}=0 ・・・(8.1)$$

を解き、過渡解$i_\mathrm{Lt}$を求める。

 

$(8.1)$式の解を便宜的に$i_\mathrm{Lt}=Ae^{Bt}$とおく($A, B$は定数)。

これを$(8.1)$式に代入すると、

$$\begin{align*}
R_0LCAB^2e^{Bt}+LABe^{Bt}+R_0Ae^{Bt}&=0\\\\
\therefore R_0LCB^2+LB+R_0&=0 ・・・(9)
\end{align*}$$

 

$(9)$式から$B$を求めると、二次方程式の解の公式より、

$$\begin{align*}
B&=\frac{-L\pm\sqrt{L^2-4R^2_0LC}}{2R_0LC}\\\\
&=-\frac{1}{2R_0C}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}} ・・・(10)
\end{align*}$$

 

したがって、過渡解$i_\mathrm{Lt}$は、$(10)$式より、

$$\begin{align*}
i_\mathrm{Lt}&=A_1e^{\left\{-\frac{1}{2R_0C}+\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}}\right\}t}+A_2e^{\left\{-\frac{1}{2R_0C}-\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}}\right\}t}\\\\
&=e^{-\frac{t}{2R_0C}}\left(A_1e^{\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}}t}+A_2e^{-\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}}t}\right) ・・・(11)
\end{align*}$$

ただし、$A_1,\ A_2$は定数である。

 

定常解の導出

次に、

$$R_0LC\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t^2}+L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Ls}=E ・・・(8.2)$$

を解き、定常解$i_\mathrm{Ls}$を求める。

 

$(8.2)$式は定常状態、すなわち$t\rightarrow\infty$としたときにも成り立つ式である。

この場合、過渡的な電流値の遷移がない状態であるから、

$$\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t^2}=0,\ \frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}=0$$

 

したがって、$(8.2)$式から、

$$i_\mathrm{Ls}=\frac{E}{R_0} ・・・(12)$$

$(12)$式が$(6)$式における定常解となる。

 

インダクタンスLに流れる電流の一般解

$(11),\ (12)$式を$(7)$式に代入すると、$(6)$式の一般解を求めることができて、

$$i_\mathrm{L}=e^{-\frac{t}{2R_0C}}\left(A_1e^{\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}}t}+A_2e^{-\sqrt{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2-\frac{1}{LC}}t}\right)+\frac{E}{R_0} ・・・(13)$$

 

$(13)$式の平方根の中、$\left\{\displaystyle{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2}-\frac{1}{LC}\right\}$の符号により、$i_\mathrm{L}$の挙動は変化する。

 

以降、$\alpha\equiv\displaystyle{\frac{1}{2R_0C}},\ \omega_0\equiv\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{LC}}},\ \sqrt{\displaystyle{\left(\frac{1}{2R_0C}\right)^2}-\frac{1}{LC}}=\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2}\equiv\beta$とおく。

ここからは、$\alpha^2$と${\omega_0}^2$の大小について場合分けを行う。

α202の場合

$\alpha^2-{\omega_0}^2>0$,すなわち$\alpha^2>{\omega_0}^2$の場合、$(13)$式は、

$$i_\mathrm{L}=e^{-\alpha t}\left(A_1e^{\beta t}+A_2e^{-\beta t}\right)+\frac{E}{R_0} ・・・(13.1)$$

 

$A_1,\ A_2$を求めるため、$t=0$における初期条件を確認する。

$t=0$のとき、スイッチが入った直後はインダクタンス$L$の作用により、並列回路のうち静電容量$C$の方にのみ電流が流れるため、

$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}|_{t=0}=A_1+A_2+\frac{E}{R_0}&=0\\\\
\therefore A_1+A_2&=-\frac{E}{R_0} ・・・(14)
\end{align*}$$

 

またこのとき、並列回路部の$L$および$C$の電圧は$0$になるため、$(14)$式と合わせて、

$$\begin{align*}
\left.L\frac{di_\mathrm{L}}{dt}\right|_{t=0}&=L\left.\left\{-\alpha e^{-\alpha t}\left(A_1e^{\beta t}+A_2e^{-\beta t}\right)+e^{-\alpha t}\left(\beta A_1e^{\beta t}-\beta A_2e^{-\beta t}\right)\right\}\right|_{t=0}\\\\
&=Le^{-\alpha t}\left\{-\alpha\left(A_1+A_2\right)+\beta\left(A_1-A_2\right)\right\}\\\\
&=\frac{\alpha LE}{R_0}+L\beta\left\{A_1-\left(-\frac{E}{R_0}-A_1\right)\right\}\\\\
&=0\\\\
2L\beta A_1&=-\frac{LE}{R_0}\left(\beta+\alpha\right)\\\\
\therefore A_1&=-\frac{E}{2R_0}\left(1+\frac{\alpha}{\beta}\right) ・・・(15)
\end{align*}$$

 

$(14),\ (15)$式より、

$$\begin{align*}
A_2&=-\frac{E}{R_0}-A_1\\\\
&=\frac{E}{2R_0}\left\{-2+\left(1+\frac{\alpha}{\beta}\right)\right\}\\\\
&=-\frac{E}{2R_0}\left(1-\frac{\alpha}{\beta}\right) ・・・(16)
\end{align*}$$

 

$(15),\ (16)$式を$(13.1)$式に代入すると、

$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}&=-e^{-\alpha t}\left\{\frac{E}{2R_0}\left(1+\frac{\alpha}{\beta}\right)e^{\beta t}+\frac{E}{2R_0}\left(1-\frac{\alpha}{\beta}\right)e^{-\beta t}\right\}+\frac{E}{R_0}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\frac{e^{\beta t}+e^{-\beta t}}{2}+\frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{e^{\beta t}-e^{-\beta t}}{2}\right)\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t+\frac{\alpha}{\beta}\sinh\beta t\right)\right\} ・・・(17)
\end{align*}$$

 

また、$\phi=\tanh^{-1}\displaystyle{\frac{\beta}{\alpha}}$と置くと、$\tanh\phi=\displaystyle{\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi}}$の関係および双曲線関数の加法定理を用いて$(17)$式を変形し、、

$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t+\frac{1}{\tanh\phi}\cdot\sinh\beta t\right)\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t+\frac{\cosh\phi}{\sinh\phi}\cdot\sinh\beta t\right)\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left(1-e^{-\alpha t}\frac{\sinh\phi\cosh\beta t+\cosh\phi\sinh\beta t}{\sinh\phi}\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\frac{\sinh\left(\beta t+\phi\right)}{\sinh\phi}\right\} ・・・(18)
\end{align*}$$

 

α202の場合

$\alpha^2-{\omega_0}^2=0$,すなわち$\alpha^2={\omega_0}^2$のとき、$(17)$式で$\beta\rightarrow0$とする場合に等しくなる。

このとき、双曲線関数の極限値の公式

$$\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow0}\cosh{x}&=1\\\\
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sinh{ax}}{x}&=\lim_{x\rightarrow0}a\frac{\sinh{ax}}{ax}=a
\end{align*}$$

を用いると、$(17)$式は、

$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}&=\lim_{\beta\rightarrow0}\left[\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t+\alpha\cdot\frac{\sinh\beta t}{\beta}\right)\right\}\right]\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(1+\alpha t\right)\right\} ・・・(19)
\end{align*}$$

 

α202の場合

$\alpha^2-{\omega_0}^2>0$,すなわち$\alpha^2>{\omega_0}^2$のとき、

$$\sqrt{\alpha^2-{\omega_0}^2}=j\sqrt{{\omega_0}^2-\alpha^2}\equiv j\beta$$

とおくと、この場合は$(17)$式で$\beta\rightarrow j\beta$とすればよい。また、双曲線関数と三角関数の関係式

$$\begin{align*}
\sinh j\beta t=j\frac{e^{j\beta t}-e^{j\beta t}}{2j}=j\sin\beta t\\\\
\cosh j\beta t=\frac{e^{j\beta t}+e^{j\beta t}}{2}=\cos\beta t
\end{align*}$$

を用いると、$(17)$式で$\beta\rightarrow j\beta$として、

$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t+\frac{\alpha}{\beta}\sin\beta t\right)\right\} ・・・(20)
\end{align*}$$

 

さらに、$\theta\equiv\tan^{-1}\displaystyle{\frac{\beta}{\alpha}}$とおくと、$(20)$式は、

$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t+\frac{1}{\tan\theta}\cdot\sin\beta t\right)\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cdot\sin\beta t\right)\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\frac{\left(\sin\theta\cos\beta t+\cos\theta\sin\beta t\right)}{\sin\theta}\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\frac{\sin\left(\beta t+\theta\right)}{\sin\theta}\right\} ・・・(21)
\end{align*}$$

 

$(21)$式は、$(18)$式で$\beta\rightarrow j\beta,\ \phi\rightarrow j\theta$とした場合に等しくなる。

 

静電容量Cに流れる電流の一般解

次に、静電容量$C$に流れる電流$i_\mathrm{C}$を、$(5)$式および前項までの$i_\mathrm{L}$を用いて求める。

α202の場合

$\alpha^2>{\omega_0}^2$のとき、$(5),\ (17)$式および$LC=\displaystyle{\frac{1}{{\omega_0}^2}},\ \beta^2-\alpha^2=\left(\alpha^2-{\omega_0}^2\right)-\alpha^2=-{\omega_0}^2$および双曲線関数の導関数の公式を用いて、

$$\begin{align*}
i_\mathrm{C}&=\frac{1}{{\omega_0}^2}\frac{\mathrm{d}^2i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t^2}\\\\
&=-\frac{1}{{\omega_0}^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[\frac{E}{R_0}\left\{-\alpha e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t+\frac{\alpha}{\beta}\sinh\beta t\right)+\beta e^{-\alpha t}\left(\sinh\beta t+\frac{\alpha}{\beta}\cosh\beta t\right)\right\}\right]\\\\
&=-\frac{1}{{\omega_0}^2}\frac{E}{R_0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\{e^{-\alpha t}\left(\beta-\frac{\alpha^2}{\beta}\right)\sinh\beta t\right\}\\\\
&=-\frac{1}{{\omega_0}^2}\frac{E}{R_0}\left\{-\alpha e^{-\alpha t}\left(\beta-\frac{\alpha^2}{\beta}\right)\sinh\beta t+\beta e^{-\alpha t}\left(\beta-\frac{\alpha^2}{\beta}\right)\cosh\beta t\right\}\\\\
&=-\frac{1}{{\omega_0}^2}\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left\{\left(\beta^2-\alpha^2\right)\cosh\beta t-\left(\beta^2-\alpha^2\right)\frac{\alpha}{\beta}\sinh\beta t\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t-\frac{\alpha}{\beta}\sinh\beta t\right) ・・・(22)
\end{align*}$$

 

さらに、$\phi=\tanh^{-1}\displaystyle{\frac{\beta}{\alpha}}$および双曲線関数の加法定理を用いると、$(22)$式は、

$$\begin{align*}
i_\mathrm{C}&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t-\frac{1}{\tanh\phi}\sinh\beta t\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t-\frac{\cosh\phi}{\sinh\phi}\sinh\beta t\right)\\\\
&=-\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\frac{\sinh\beta t\cosh\phi-\cosh\beta t\sinh\phi}{\sinh\phi}\\\\
&=-\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\frac{\sinh\left(\beta t-\phi\right)}{\sinh\phi} ・・・(23)
\end{align*}$$

 

α202の場合

$\alpha^2={\omega_0}^2$のとき、$(22)$式で$\beta\rightarrow0$とする場合に等しくなるため、

$$\begin{align*}
i_\mathrm{C}&=\lim_{\beta\rightarrow0}\left\{\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t-\alpha\cdot\frac{\sinh\beta t}{\beta}\right)\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(1-\alpha t\right) ・・・(24)
\end{align*}$$

 

α202の場合

$\alpha^2<{\omega_0}^2$のとき、$(22),\ (23)$式で$\beta\rightarrow j\beta,\ \phi\rightarrow j\theta$とする場合に等しくなるため、双曲線関数と三角関数の関係式を用いて(2パターン導出すると)、

$$\begin{align*}
i_\mathrm{C}&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cosh j\beta t-\frac{\alpha}{j\beta}\sinh j\beta t\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t-\frac{\alpha}{j\beta}j\sin\beta t\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t-\frac{\alpha}{\beta}\sin\beta t\right) ・・・(25)\\\\\\\\
i_\mathrm{C}&=-\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\frac{\sinh\left(j\beta t-j\theta\right)}{\sinh j\theta}\\\\
&=-\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\frac{j\sin\left(\beta t-\theta\right)}{j\sin\theta}\\\\
&=-\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\frac{\sin\left(\beta t-\theta\right)}{\sin\theta} ・・・(26)
\end{align*}$$

 

回路全体の電流の一般解

さらに、回路全体に流れる電流$i$を、$(1)$式および前項までの$i_\mathrm{L},\ i_\mathrm{C}$を用いて求める。

α202の場合

$(17),\ (22)$式より、

$$\begin{align*}
i&=i_\mathrm{L}+i_\mathrm{C}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t+\frac{\alpha}{\beta}\sinh\beta t\right)\right\}+\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cosh\beta t-\frac{\alpha}{\beta}\sinh\beta t\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left(1-\frac{2\alpha}{\beta}e^{-\alpha t}\sinh\beta t\right) ・・・(27)
\end{align*}$$

 

α202の場合

$(19),\ (24)$式より、

$$\begin{align*}
i&=i_\mathrm{L}+i_\mathrm{C}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(1+\alpha t\right)\right\}+\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(1-\alpha t\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left(1-2\alpha te^{-\alpha t}\right) ・・・(28)
\end{align*}$$

 

α202の場合

$(20),\ (25)$式より、

$$\begin{align*}
i&=i_\mathrm{L}+i_\mathrm{C}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t+\frac{\alpha}{\beta}\sin\beta t\right)\right\}+\frac{E}{R_0}e^{-\alpha t}\left(\cos\beta t-\frac{\alpha}{\beta}\sin\beta t\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left(1-\frac{2\alpha}{\beta}e^{-\alpha t}\sin\beta t\right) ・・・(29)
\end{align*}$$

 

 

回路方程式(スイッチ閉→開)

図1の$LC$並列回路にて、スイッチを閉じてから十分に経過した時間$t=T$にてスイッチを開いた状態を図2に示す。

 

 

図2 $LC$並列回路(スイッチ開)

 

スイッチを開くことで、電源と静電容量$C$およびインダクタンス$L$の回路は切り離され、図2のように閉回路を形成し、電流$i$が還流する。

図2の$i$の向きを正として、$t=T$以降でスイッチを開いた状態における回路方程式は、キルヒホッフの第二法則より、

$$\frac{1}{C}\int i\ \mathrm{d}t+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=0 ・・・(30)$$

 

回路方程式(スイッチ閉→開)の解法

$(30)$式の両辺を$t$で微分して、電荷$q$の式としたものは「LC直列回路の過渡現象(直列回路)」の$(4.1)$式と同じ形になる。

同記事より、電流$i$の一般解を定数$A_3,\ A_4$を用いて表すと($t=T$が時間$t$の基準値であることに注意すると)、

$$\begin{align*}
i&=-\frac{A_3}{\sqrt{LC}}\sin\frac{t}{\sqrt{LC}}+\frac{A_4}{\sqrt{LC}}\cos\frac{t}{\sqrt{LC}}\\\\
&=-\omega_0A_3\sin\omega_0\left(t-T\right)+\omega_0A_4\cos\omega_0\left(t-T\right) ・・・(31)
\end{align*}$$

 

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次に、$t=T$でスイッチを開く直前に流れていた電流$i$は、$(27)\sim(29)$式で十分に時間が経った場合($t\rightarrow\infty$)の値と等しくなり、

$$\begin{align*}
i|_{t=T}=\omega_0A_4&=\frac{E}{R_0}\\\\
\therefore A_4&=\frac{E}{\omega_0R_0} ・・・(32)
\end{align*}$$

 

またこのとき、インダクタンス$L$の両端の電圧は$0$であるため、

$$\begin{align*}
\left.L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}\right|_{t=T}&=\left.L\left\{-\omega^2_0A_3\cos\omega_0\left(t-T\right)-\omega^2_0A_4 \sin\omega_0\left(t-T\right)\right\}\right|_{t=T}\\\\
&=-\omega^2_0LA_3\\\\
&=0\\\\
\therefore A_3&=0 ・・・(33)
\end{align*}$$

 

以上より、$(31)\sim(33)$式より、電流$i$の一般解は、

$$\begin{align*}
i&=\omega_0\cdot\frac{E}{\omega_0R_0}\cos\omega_0\left(t-T\right)\\\\
&=\frac{E}{R_0}\cos\omega_0\left(t-T\right) ・・・(34)
\end{align*}$$

 

電流のグラフ

$(27)\sim(29)$式に基づき、図1の回路のスイッチを閉じて十分に時間が経つまでの、電流$i$のグラフを図3に示す。

 

図3 $LC$並列回路の電流(スイッチ閉)

 

同図より、$\alpha^2>{\omega_0}^2$の場合(赤の波形)は、電流$i$は時間$t$に伴いゆっくりと減衰する波形となる(過制動)

また、$\alpha^2<{\omega_0}^2$の場合(青の波形)は、減衰しながら振動する波形となる(減衰振動または不足制動)

この振動の有無の境界線となるのが、$\alpha^2={\omega_0}^2$の場合(緑の波形)である(臨界制動)

 

次に、$(27)$式および$(34)$式に基づき、$\alpha^2>{\omega_0}^2$の場合における、スイッチ開閉前後の電流$i$のグラフを図4に示す。

 

図4 $LC$並列回路の電流($\alpha^2>{\omega_0}^2$,スイッチ開閉前後)

 

図3より、スイッチを閉じた$t=0$の直後は静電容量$C$に電流$i=\displaystyle{\frac{E}{R_0}}$が流れ込む。

その後、$C$は時間が経過にするにつれ充電されていくため、徐々にインダクタンス$L$の方に電流が流れ、最終的には$R_0$の値で決まる一定値$i=\displaystyle{\frac{E}{R_0}}$に収束する。

 

そして、$t=T$でスイッチを開くと、$L$と$C$の間でそれぞれエネルギーを互いに送り合い、電流$i$は振動する波形となる。

図2は抵抗$R_0$が回路から切り離されており、エネルギーが消費されないために減衰項は存在せず、各波形は一定の値に収束することなく振動し続ける。

 

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参考文献

  • 大下眞二郎『詳解電気回路演習(下)』共立出版,1980