RL並列回路の過渡現象(直流回路)

本記事では、直流電源が接続された$RL$並列回路における過渡現象について解説する。





回路方程式(スイッチ開→閉)

直流電源$E$,抵抗$R_0$および$R$,インダクタンス$L$が接続された$RL$並列回路にて、時間$t=0$でスイッチを閉じた状態のものを図1に示す。

(図1の回路では、$L$に過大な電流が流れるのを防ぐため抵抗$R_0$を挿入している)

 

図1 $RL$並列回路(スイッチ閉)

 

図1の回路では$t=0$でスイッチが閉じた後、電源から抵抗$R_0$を介した電流$i$が、抵抗$R$とインダクタンス$L$にそれぞれ$i_\mathrm{R}$および$i_\mathrm{L}$として分流している。

この電流$i$に関して、キルヒホッフの第一法則および第二法則を適用すると、回路方程式は、

$$\begin{cases}
i=i_\mathrm{R}+i_\mathrm{L} &・・・(1)\\\\
R_0i+Ri_\mathrm{R}=E &・・・(2)\\\\
Ri_\mathrm{R}=L\displaystyle{\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}} &・・・(3)
\end{cases}$$

 

$(2)$式の$i$に$(1)$式を代入すると、

$$\begin{align*}
R_0\left(i_\mathrm{R}+i_\mathrm{L}\right)+Ri_\mathrm{R}&=E\\\\
\therefore\left(R_0+R\right)i_\mathrm{R}+R_0i_\mathrm{L}&=E ・・・(4)
\end{align*}$$

 

$(3)$および$(4)$式より、$i_\mathrm{R}$を消去すると、

$$\frac{R_0+R}{R}L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{L}=E ・・・(5)$$

 

回路方程式(スイッチ開→閉)の解法

過渡解と定常解

$(5)$式を電流$i_\mathrm{L}$について解く場合、過渡解を$i_\mathrm{Lt}$,定常解を$i_\mathrm{Ls}$とすると、$(5)$式の一般解は、

$$i_\mathrm{L}=i_\mathrm{Lt}+i_\mathrm{Ls} ・・・(6)$$

と表すことができる。

 

$(6)$式を$(5)$式に代入すると、

$$\begin{align*}
\frac{R_0+R}{R}L\left(\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}\right)+R_0\left(i_\mathrm{Lt}+i_\mathrm{Ls}\right)&=E\\\\
\therefore\left(\frac{R_0+R}{R}L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Lt}\right)+\left(\frac{R_0+R}{R}L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Ls}\right)&=E ・・・(7)
\end{align*}$$

 

$(7)$式をそれぞれ$i_\mathrm{Lt}$と$i_\mathrm{Ls}$についての2つの式に分離すると、

$$\begin{cases}
\displaystyle{\frac{R_0+R}{R}L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t}}+R_0i_\mathrm{Lt}=0 &・・・(7.1)\\\\
\displaystyle{\frac{R_0+R}{R}L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}}+R_0i_\mathrm{Ls}=E &・・・(7.2)
\end{cases}$$

 

$(7.1)$式は過渡状態においてのみ考慮すべき式であり、$t\rightarrow\infty$で両辺は$0$に収束する。

同式は右辺が$0$であり、数学的には斉次方程式である。

 

一方、$(7.2)$式は定常状態において成立する式であり、右辺が$0$でない非斉次方程式である。

 

過渡解の導出

$(5)$式を解くために、まず

$$\frac{R_0+R}{R}L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Lt}=0 ・・・(7.1)$$

を解き、過渡解$i_\mathrm{Lt}$を求める。

 

$(7.1)$式を変形すると、

$$\begin{align*}
\frac{R_0+R}{R}L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{\mathrm{d}t}&=-R_0i_\mathrm{Lt}\\\\
\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{i_\mathrm{Lt}}&=-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}\mathrm{d}t\\\\
\int{\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Lt}}{i_\mathrm{Lt}}}&=-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}\int{\mathrm{d}t}\\\\
\ln{\left|i_\mathrm{Lt}\right|}&=-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t+C\\\\
\therefore i_\mathrm{Lt}&=Ae^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t} \left(A=\pm e^C\right) ・・・(8)
\end{align*}$$

上記の導出において、$C,\ A$は積分定数である。

 

$(8)$式が$(7)$式における過渡解となる。

 

定常解の導出

次に、

$$\frac{R_0+R}{R}L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}+R_0i_\mathrm{Ls}=E ・・・(7.2)$$

を解き、$(5)$式の定常解を求める。

 

$(7.2)$式は定常状態、すなわち$t\rightarrow\infty$としたときにも成り立つ式である。

この場合、過渡的な電流値の遷移がない状態であるから、

$$\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{Ls}}{\mathrm{d}t}=0$$

 

したがって、$(7.2)$式から、

$$i_\mathrm{Ls}=\frac{E}{R_0} ・・・(9)$$

$(9)$式が$(7)$式における定常解となる。

 

電流・電圧の一般解

$(8),\ (9)$式を$(6)$式に代入すると、$(5)$式の一般解を求めることができて、

$$i_\mathrm{L}=Ae^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}+\frac{E}{R_0} ・・・(10)$$

 

ここで、初期状態$t=0$において、スイッチが入った直後はインダクタンス$L$の作用により、$L$には電流が流れないため、

$$\begin{align*}
i_\mathrm{L}|_{t=0}=A+\frac{E}{R_0}=0\\\\
\therefore A=-\frac{E}{R_0}
\end{align*}$$

 

したがって、$(10)$式は、

$$i_\mathrm{L}=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\right\} ・・・(11)$$

$(11)$式が$(5)$式における一般解となる。

 

また、抵抗$R$に流れる電流$i_\mathrm{R}$は、$(11)$式を$(3)$式の右辺に代入して、

$$\begin{align*}
Ri_\mathrm{R}&=L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}\\\\
&=L\cdot\frac{E}{R_0}\cdot\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\\\\
&=\frac{RE}{R_0+R}e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\\\\
\therefore i_\mathrm{R}&=\frac{E}{R_0+R}e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t} ・・・(12)
\end{align*}$$

 

以上より、回路に流れる電流$i$は、$(1),\ (11),\ (12)$式より、

$$\begin{align*}
i&=i_\mathrm{R}+i_\mathrm{L}\\\\
&=\frac{E}{R_0+R}e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}+\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0\left(R_0+R\right)}\left[R_0e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}+\left(R_0+R\right)\left\{1-e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\right\}\right]\\\\
&=\frac{E}{R_0\left(R_0+R\right)}\left[R_0+R\left\{1-e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\right\}\right] ・・・(13)
\end{align*}$$

 

なお、抵抗$R$およびインダクタンス$L$の並列回路に発生する電圧を$v$とすると、$(12)$式を用いて、

$$v=Ri_\mathrm{R}=\frac{RE}{R_0+R}e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t} ・・・(14)$$

で表される。

 

ラプラス変換による解法

ラプラス変換を用いると、$(5)$式から直接$(11)$式を導出できる。

 

$(5)$式の両辺をラプラス変換すると、$I_\mathrm{L}(s)=\mathcal{L}\left\{i_\mathrm{L}\right\}$として、

$$\begin{align*}
\frac{R_0+R}{R}LsI_\mathrm{L}(s)&-\frac{R_0+R}{R}Li|_{t=0}+R_0I_\mathrm{L}(s)=\frac{E}{s}\\\\
I_\mathrm{L}(s)&=\frac{E}{s\left(\displaystyle{\frac{R_0+R}{R}}Ls+R_0\right)} \left(\because i|_{t=0}=0\right)\\\\
&=\frac{RE}{\left(R_0+R\right)L}\cdot\frac{1}{s\left\{s+\displaystyle{\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}}\right\}}\\\\
&=\frac{RE}{\left(R_0+R\right)L}\cdot\frac{\left(R_0+R\right)L}{R_0R}\left\{\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\displaystyle{\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}}}\right\}\\\\
&=\frac{E}{R_0}\left\{\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\displaystyle{\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}}}\right\}\\\\
\therefore i_\mathrm{L}&=\mathcal{L}^{-1}\left\{I_\mathrm{L}(s)\right\}=\frac{E}{R_0}\left\{1-e^{-\frac{R_0R}{\left(R_0+R\right)L}t}\right\}
\end{align*}$$

となり、$(11)$式と同じ結果が得られる。

 

 

回路方程式(スイッチ閉→開)

図1の$RL$並列回路にて、スイッチを閉じてから十分に経過した時間$t=T$にてスイッチを開けた状態を図2に示す。

図2 $RL$並列回路(スイッチ開)

 

スイッチを開くことで、電源と抵抗$R$およびインダクタンス$L$の回路は切り離され、図2のように閉回路を形成し、電流$i$が還流する。

図2の$i$の向きを正として、$t=T$以降でスイッチを開いた状態における回路方程式は、キルヒホッフの第二法則より、

$$L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}+Ri=0 ・・・(15)$$

 

回路方程式(スイッチ閉→開)の解法

$(15)$式は「RL直列回路の過渡現象(直列回路)」の$(3.1)$式と同じ形であり、その解は定数$A$を用いて($t=T$が時間$t$の基準値であることに注意すると)、

$$i=Ae^{-\frac{R}{L}\left(t-T\right)} ・・・(16)$$

 

関連記事

本記事では、直流電源が接続された$RL$直列回路における過渡現象について解説する。[afTag id=11282]回路方程式図1に直流電源$E$,抵抗$R$,インダクタンス$L$が接続された$RL$直列回路を示す。&[…]

 

次に、$t=T$でスイッチを開く直前に流れていた電流$i$は、$(13)$式で十分に時間が経った場合($t\rightarrow\infty$)の値と等しくなり、

$$i|_{t=T}=\frac{E}{R_0} ・・・(17)$$

 

したがって、$(16),\ (17)$式より、定数$A$は、

$$\begin{align*}
i|_{t=T}=A=\frac{E}{R_0}
\end{align*}$$

 

以上より、$(15)$式の一般解は、

$$i=\frac{E}{R_0}e^{-\frac{R}{L}\left(t-T\right)} ・・・(18)$$

 

なお、インダクタンス$L$に発生する電圧$v$は、$(18)$式を用いて、

$$\begin{align*}
v&=L\frac{\mathrm{d}i_\mathrm{L}}{\mathrm{d}t}\\\\
&=L\cdot\frac{E}{R_0}\cdot\left(-\frac{R}{L}\right)e^{-\frac{R}{L}\left(t-T\right)}\\\\
&=-\frac{RE}{R_0}e^{-\frac{R}{L}\left(t-T\right)} ・・・(19)
\end{align*}$$

で表される。

 

電流・電圧のグラフ

$(11)~(13)$式および$(18)$式に基づき電流$i,\ i_\mathrm{L},\ i_\mathrm{R}$のグラフを図3に示す。

 

図3 $RL$並列回路の電流

 

また、$(14),\ (19)$式に基づき、インダクタンス$L$の両端の電圧$v$のグラフを図4に示す。

 

図4 $RL$並列回路におけるインダクタンス$L$の両端の電圧

 

図3より、スイッチを閉じた$t=0$の直後は抵抗$R$に電流$i_\mathrm{R}$が流れ込むが、時間が経過にするにつれインダクタンス$L$に分流する$i_\mathrm{L}$の比重が大きくなる。

そして、十分に時間が経過すると回路の電流はすべて$L$に流れ込むことになる。

このとき、インダクタンス$L$には、電源から供給されるエネルギーが電磁エネルギーとして蓄えられる。

電圧$v$に関しても、抵抗$R$に流れ込む電流$i_\mathrm{R}$の割合が減少するに伴って低くなっていく。

 

次に、$t=T$でスイッチを開くと、インダクタンス$L$に蓄えられたエネルギーが抵抗$R$へ流れ込む。

抵抗$R$ではそのエネルギーが消費され、それに伴い電流$i$は減少していく。

電圧$v$に関しては、インダクタンス$L$が抵抗$R$へエネルギーを流出させるために、スイッチを開いた直後はそのための逆起電力がはたらく。

 

ここで、$t=T$以降で抵抗$R$で消費される電力$P$は、$(18)$式より、

$$\begin{align*}
P&=Ri^2\\\\
&=R\left\{\frac{E}{R_0}e^{-\frac{R}{L}\left(t-T\right)}\right\}^2\\\\
&=\frac{RE^2}{R^2_0}e^{-\frac{2R}{L}\left(t-T\right)}
\end{align*}$$

 

$t=T$でスイッチを開いてから十分に時間が経過する($t\rightarrow\infty$)までの抵抗$R$の全消費電力$W$は、

$$\begin{align*}
W&=\int^{\infty}_{T}P\ \mathrm{d}t\\\\
&=\frac{RE^2}{R^2_0}\int^{\infty}_{T}e^{-\frac{2R}{L}\left(t-T\right)}\mathrm{d}t\\\\
&=\frac{RE^2}{R^2_0}\left[-\frac{L}{2R}e^{-\frac{2R}{L}\left(t-T\right)}\right]^{\infty}_{T}\\\\
&=\frac{RE^2}{R^2_0}\cdot\frac{L}{2R}\\\\
&=\frac{1}{2}L\left(\frac{E}{R_0}\right)^2\\\\
&=\frac{1}{2}\left\{{Li|_{t=T}}\right\}^2
\end{align*}$$

となり、スイッチを開く直前までインダクタンス$L$に蓄えられていた電磁エネルギーが、スイッチを開いた後に流れだし、抵抗$R$で消費されることを示している。

 

関連記事

本記事では、各素子を接続した回路にスイッチをいれた直後の過渡現象についてまとめる。[afTag id=11282]過渡現象とは過渡現象とは「ある定常状態から別の定常状態に移行する際に起こる現象」である。 […]





関連する例題(「電験王」へのリンク)

電験三種

 

参考文献