変圧器の効率

本記事では、変圧器の効率について解説する。





規約効率

効率は(変圧器に限らず)「(出力)/(入力)」という形式で表される。

 

JEC規格においては、変圧器の効率は「(有効出力)/(有効出力+全損失)」という形式で表され、このように求められる効率を規約効率という。

 

単相変圧器の規約効率$\eta[\%]$は、下式にて表される。

$$\begin{align*}
\eta&=\frac{V_2I_2\cos\theta}{V_2I_2\cos\theta+W_N+W_L}\times100\\\\
&=\frac{V_2I_2\cos\theta}{V_2I_2\cos\theta+W_N+I_2^2r}\times100 ・・・(1)
\end{align*}$$

 

$(1)$式において、

  • $V_2$:定格二次電圧$[\mathrm{V}]$
  • $I_2$:二次負荷電流$[\mathrm{A}]$
  • $\cos\theta$:負荷力率
  • $W_N$:無負荷損$[\mathrm{W}]$
  • $W_L=I_2^2r$:負荷損$[\mathrm{W}]$,$r$は実効抵抗$[\Omega]$
三相変圧器の場合、$(1)$式で出力$=\sqrt{3}V_2I_2\cos\theta$(ただし、$V_2$は線間電圧、$I_2$は線電流)とすればよい。

 

ここで、負荷率が$m$(ただし、$0<m\leq 1$)のときの効率を$\eta_m[\%]$とすると、$(1)$式より、

$$\begin{align*}
\eta_m&=\frac{V_2\left(mI_2\right)\cos\theta}{V_2\left(mI_2\right)\cos\theta+W_N+\left(mI_2\right)^2r}\times100\\\\
&=\frac{mV_2I_2\cos\theta}{mV_2I_2\cos\theta+W_N+m^2I_2^2r}\times100 ・・・(2)
\end{align*}$$

 

IECにおける効率の定義式

国際規格IECにおける効率は、IEC60076-20で下記のように定義されている。

Energy Efficiency Index Method A

the ratio of the transmitted apparent power of a transformer minus electrical losses including the power consumed by the cooling to the transmitted apparent power of the transformer for a given load factor

 

上の文章を和訳すると、下記となる。

方式Aによる電力効率

変圧器の所定の負荷率において、供給される皮相電力から補機損を含む電気的損失を引いたものと、供給される皮相電力との比

 

上記を式で表すと、下記となる。

$$\eta=\frac{S-W}{S} ・・・(3)$$

 

$(3)$式において、$S$は入力となる皮相電力、$W$は補機損を含む全損失である。

 

$(3)$式のように、IEC規格では効率の計算式が「(入力-損失)/(入力)」となり、電源側からの入力値を基準として効率が計算される。

 

なお、方式Bとして、JEC規格と同様の計算方式が用いられることもある。

Energy efficiency index Method B

the ratio of the transmitted apparent power of a transformer to the transmitted apparent power of the transformer plus electrical losses for a given load factor

こちらは自冷定格や部分負荷で用いる変圧器にのみ推奨される計算式となっている。

 

 

最大効率と損失率

最大効率となる条件

$(1)$式で計算される効率が最大となる条件を考える。

 

$(4)$式を変形して、

$$\begin{align*}
\eta&=\frac{V_2I_2\cos\theta}{V_2I_2\cos\theta+W_N+I_2^2r}\times100\\\\
&=\frac{V_2\cos\theta}{V_2\cos\theta+\displaystyle{\frac{W_N}{I_2}}+I_2r}\times100 ・・・(4)
\end{align*}$$

 

$(4)$式において、$\eta$が最大となるとき、同式右辺の分母は最小となる。

 

ここで、$(4)$式の分母を$f(I_2)=V_2\cos\theta+\displaystyle{\frac{W_N}{I_2}}+I_2r$とすると、両辺を$I_2$で微分して、

$$\begin{align*}
\frac{df(I_2)}{dI_2}=-\frac{W_N}{I^2_2}+r ・・・(5)
\end{align*}$$

 

$(5)$式$=0$となる場合を考えると、

$$\begin{align*}
-\frac{W_N}{I^2_2}+r&=0\\\\
\therefore W_N&=I^2_2r ・・・(6)
\end{align*}$$

 

また、$(5)$式の両辺をさらに$I_2$で微分すると、

$$\frac{d^2f(I_2)}{dI^2_2}=\frac{2W_N}{I^3_2}>0 ・・・(7)$$

 

$(6),\ (7)$式より、$W_N=I^2_2r$,すなわち無負荷損と負荷損が等しいとき、$\eta$は最大値をとる。

 

ここで、図1に負荷率に対する効率と各損失のグラフを示す。

 

図1 負荷率に対する効率と損失

 

同図のように、無負荷損と負荷損が等しい値をとる負荷率で、効率は最大値$\eta_\mathrm{max}$をとる。

 

最大効率をとる負荷率

次に、最大効率をとる負荷率$m$(ただし、$0<m\leq 1$)を求める。

 

定格二次負荷電流を$I_{2n}$とすると、$I_2=mI_{2n}$の関係があり、$(6)$式は、

$$\begin{align*}
W_N&=m^2I^2_{2n}r\\\\
\therefore m&=\sqrt{\frac{W_N}{I^2_{2n}r}} ・・・(8)
\end{align*}$$

 

ここで、無負荷損$W_N$と負荷損$W_L$の比を損失比といい、損失比$\mathrm{LR}=\displaystyle{\frac{W_N}{W_L}}$で定義される。

これと$(8)$式から、負荷率$m$と損失比$\mathrm{LR}$との関係は、

$$m=\sqrt{\frac{1}{\mathrm{LR}}} ・・・(9)$$

 

$(9)$式より、損失率と最大値をとる負荷率は反比例の関係にあるため、損失比の大きい変圧器ほど、図1の効率が最大となる点は軽負荷率側に移動する。

 

全日効率の計算

常時負荷に電力供給している変圧器について、1日における出力電力量と入力電力量の比を全日効率という。

 

例として、「電験一種二次試験 機械・制御 平成26年度問2」の値を用いて、全日効率を求めてみる。

 

変圧器における諸元は下記とする。

  • 定格容量:$100\mathrm{kVA}$
  • 負荷力率:$85\%$
  • 無負荷損:$571\mathrm{W}$
  • 負荷損:$288\mathrm{W}$

 

この変圧器を図2のように、全負荷で$6$時間、$\displaystyle{\frac{1}{2}}$負荷で$8$時間、無負荷で合計$10$時間運転した場合の全日効率を考える。

 

図2 1日における変圧器の出力と損失

 

図2の運転条件における全日効率$\eta_d[\%]$は、

$$\begin{align*}
\eta_d&=\frac{\left(6+\displaystyle{\frac{1}{2}}\times 8\right)\times100\times0.85}{\left(6+\displaystyle{\frac{1}{2}}\times 8\right)\times100\times0.85+24\times0.571+\left\{6+\left(\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^2\times 8\right\}\times0.288}\\\\
&=\frac{850}{850+13.704+2.304}\\\\
&=98.15\%
\end{align*}$$

 

負荷率が低い場合、負荷率によらない無負荷損が小さいほど、全日効率は向上する。

 

なお、季節的な負荷変動のある場合、1年を通じての全年効率を考慮することもある。




関連する例題(「電験王」へのリンク)

電験一種

 

電験二種

 

電験三種

 

参考文献

  • JEC-2200「変圧器」,2014
  • IEC60076-20 “Power Transformers-Part 20 : Energy efficiency”, 2017
  • 浅川ほか『電力機器講座5 変圧器』日刊工業新聞社, 1966
  • 坪島茂彦『図解 変圧器―基礎から応用まで』東京電機大学出版局,1981

 

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