往復多導体の鎖交磁束とインダクタンス

本記事では、往復多導体の鎖交磁束およびインダクタンスの式を導出する。





多導体の鎖交磁束

図1のように、$n$本の平行に設置された一様な円筒導体に、それぞれ電流$i_1,\ i_2,\ \cdots,\ i_n[\mathrm{A}]$が流れている場合を考える。

 

図1 平行に設置された多導体

 

図1において、各電流がつくり出す磁束が導体1へ鎖交する数$\Psi_1[\mathrm{Wb}]$は、「往復導体の作用インダクタンス」の$(5)$式と同様にして求めることができて、

$$\Psi_1=\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_{1y}}{r_1}+\frac{\mu_0}{8\pi}\right)i_1+\frac{\mu_0 i_2}{2\pi}\ln\frac{D_{1y}}{D_{12}}+\cdots+\frac{\mu_0 i_n}{2\pi}\ln\frac{D_{1y}}{D_{1n}} ・・・(1)$$

 

ただし、$(1)$式において(以降の$(2)~(4)$式においても同様)、

  • $D_{1y},\ D_{2y},\cdots,\ D_{ny}$:各導体の中心から任意の点である$y$点までの距離
  • $D_{12},\cdots,\ D_{ny}$:導体1と他の導体との中心間距離
  • $r_1$:導体1の半径
  • $\mu_0$:真空の透磁率。かつ、ここでは空気の比透磁率を$1$としている。

 

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ここで、$(1)$式の第1項は、

$$\begin{align*}
\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_{1y}}{r}+\frac{\mu_0}{8\pi}\right)i_1&=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(\ln\frac{D_{1y}}{r}+\frac{1}{4}\right)i_1\\\\
&=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(\ln\frac{D_{1y}}{r}+\frac{1}{4}\ln e\right)i_1\\\\
&=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_{1y}}{e^{-\frac{1}{4}}r}
\end{align*}$$

 

$R_1\equiv\displaystyle{e^{-\frac{1}{4}}r}\fallingdotseq0.7788r$を導体1の幾何学的平均半径(GMR;Geometrical Mean Radius)と呼ぶ。

 

また、$(1)$式において$i_1+i_2+\cdots+i_n=0$とすると、鎖交磁束数$\Psi_1$は、

$$\begin{align*}
\Psi_1&=\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_{1y}}{r}+\frac{\mu_0}{8\pi}\right)i_1+\frac{\mu_0 i_2}{2\pi}\ln\frac{D_{1y}}{D_{12}}+\cdots+\frac{\mu_0 i_n}{2\pi}\ln\frac{D_{1y}}{D_{1n}}\\\\
&=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(i_1\ln D_{1y}+i_2\ln D_{1y}+\cdots+i_n\ln D_{1y}\right)+\frac{\mu_0}{2\pi}\left(i_1\ln\frac{1}{R_1}+i_2\ln\frac{1}{D_{12}}+\cdots+i_n\ln\frac{1}{D_{1n}}\right)\\\\
&=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(i_1+i_2+\cdots+i_n\right)\ln D_{1y}+\frac{\mu_0}{2\pi}\left(i_1\ln\frac{1}{R_1}+i_2\ln\frac{1}{D_{12}}+\cdots+i_n\ln\frac{1}{D_{1n}}\right)\\\\
&=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(i_1\ln\frac{1}{R_1}+i_2\ln\frac{1}{D_{12}}+\cdots+i_n\ln\frac{1}{D_{1n}}\right) ・・・(2)
\end{align*}$$

 

同様に、導体2の鎖交磁束数$\Psi_2[\mathrm{Wb}]$は、

$$\Psi_2=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(i_1\ln\frac{1}{D_{21}}+i_2\ln\frac{1}{R_2}+\cdots+i_n\ln\frac{1}{D_{2n}}\right) ・・・(3)$$

 

以降、導体$n$までも同様の計算となる。$k$番目の導体の鎖交磁束数$\Psi_k[\mathrm{Wb}]$は、

$$\Psi_k=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(i_1\ln\frac{1}{D_{k1}}+i_2\ln\frac{1}{D_{k2}}+\cdots+i_k\ln\frac{1}{R_k}+\cdots+i_n\ln\frac{1}{D_{kn}}\right) ・・・(4)$$

 

 

往復多導体の鎖交磁束

各導体への鎖交磁束数

図2のように、平行に設置された$m$本の一様な円筒導体を往路、同様な$n$本の円筒導体を帰路とする回路に全電流$i$が流れている場合を考える。

 

図2 平行に設置された往復多導体

 

図2において、全電流$i$は各導体に等しく分流し、往路で各導体に$i_1=i_2=\cdots=i_m=\displaystyle{\frac{i}{m}}$,帰路で$i_{1′}=i_{2′}=\cdots=i_n=\displaystyle{\frac{i}{n}}$が流れるとすれば、往路の導体1への鎖交磁束$\Psi_1$は、

$$\begin{align*}
\Psi_1&=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(\frac{i}{m}\ln\frac{1}{R_1}+\frac{i}{m}\ln\frac{1}{D_{12}}+\cdots+\frac{i}{m}\ln\frac{1}{D_{1m}}\right)\\\\
&\quad-\frac{\mu_0}{2\pi}\left(\frac{i}{n}\ln\frac{1}{D_{11′}}+\frac{i}{n}\ln\frac{1}{D_{12′}}+\cdots+\frac{i}{n}\ln\frac{1}{D_{1n}}\right)\\\\
&=\frac{\mu_0i}{2\pi m}\left(\ln\frac{1}{R_1}+\ln\frac{1}{D_{12}}+\cdots+\ln\frac{1}{D_{1m}}\right)\\\\
&\quad-\frac{\mu_0i}{2\pi n}\left(\ln\frac{1}{D_{11′}}+\ln\frac{1}{D_{12′}}+\cdots+\ln\frac{1}{D_{1n}}\right)\\\\
&=\frac{\mu_0i}{2\pi m}\ln R_1D_{12}\cdots D_{1n}-\frac{\mu_0i}{2\pi n}\ln D_{11′}D_{12′}\cdots D_{1n}\\\\
&=\frac{\mu_0i}{2\pi}\ln\frac{\sqrt[n]{D_{11′}D_{12′}\cdots D_{1n}}}{\sqrt[m]{R_1D_{12}\cdots D_{1n}}} ・・・(5)
\end{align*}$$

 

ただし、$(5)$式において(以降の式においても同様)、

  • $D_{11},\ D_{12},\cdots,\ D_{1n}$:導体1と他の導体との中心間距離で、$D_{12}=D_{21}$の関係がある。
  • $R_1$:導体1のGMR
  • $\mu_0$:真空の透磁率。かつ、ここでは空気の比透磁率を$1$としている。

 

また、導体2の鎖交磁束$\Psi_2[\mathrm{Wb}]$は、

$$\Psi_2=\frac{\mu_0i}{2\pi}\ln\frac{\sqrt[n]{D_{21′}D_{22′}\cdots D_{2n}}}{\sqrt[m]{D_{21}R_2\cdots D_{2n}}} ・・・(6)$$

 

同様に、導体$m$の鎖交磁束$\Psi_m[\mathrm{Wb}]$は、

$$\Psi_m=\frac{\mu_0i}{2\pi}\ln\frac{\sqrt[n]{D_{m1′}D_{m2′}\cdots D_{mn}}}{\sqrt[m]{D_{m1}D_{m2}\cdots R_m}} ・・・(7)$$

 

往復導体の平均鎖交磁束とインダクタンス

$(5)\sim(7)$式より、往路導体の平均鎖交磁束$\Psi_\mathrm{A}[\mathrm{Wb}]$は、

$$\begin{align*}
\Psi_\mathrm{A}&=\frac{\Psi_1+\Psi_2+\cdots+\Psi_m}{m}\\\\
&=\frac{1}{m}\cdot\frac{\mu_0i}{2\pi}\ln\frac{\sqrt[n]{\left(D_{11′}D_{12′}\cdots D_{1n}\right)\left(D_{21′}D_{22′}\cdots D_{2n}\right)\cdots\left(D_{m1′}D_{m2′}\cdots D_{mn}\right)}}{\sqrt[m]{\left(R_1D_{12}\cdots D_{1n}\right)\left(D_{21}R_2\cdots D_{2n}\right)\cdots\left(D_{m1}D_{m2}\cdots R_m\right)}}\\\\
&=\frac{\mu_0i}{2\pi}\ln\frac{\sqrt[mn]{\left(D_{11′}D_{12′}\cdots D_{1n}\right)\left(D_{21′}D_{22′}\cdots D_{2n}\right)\cdots\left(D_{m1′}D_{m2′}\cdots D_{mn}\right)}}{\sqrt[m^2]{\left(R_1D_{12}\cdots D_{1n}\right)\left(D_{21}R_2\cdots D_{2n}\right)\cdots\left(D_{m1}D_{m2}\cdots R_m\right)}} ・・・(8)
\end{align*}$$

 

同様にして、帰路導体の平均鎖交磁束$\Psi_\mathrm{B}[\mathrm{Wb}]$は、各導体への鎖交磁束数を$\Psi_{1′},\ \Psi_{2′},\cdots,\ \Psi_n[\mathrm{Wb}]$とすると、

$$\begin{align*}
\Psi_\mathrm{B}&=\frac{\Psi_{1′}+\Psi_{2′}+\cdots+\Psi_n}{n}\\\\
&=\frac{1}{n}\cdot\frac{\mu_0i}{2\pi}\ln\frac{\sqrt[m]{\left(D_{1’1}D_{1’2′}\cdots D_{1’m}\right)\left(D_{2’1}D_{2’2}\cdots D_{2’m}\right)\cdots\left(D_{n1}D_{n2}\cdots D_{nm}\right)}}{\sqrt[n]{\left(R_{1′}D_{1’2′}\cdots D_{1’n}\right)\left(D_{2’1′}R_{2′}\cdots D_{2’n}\right)\cdots\left(D_{n1′}D_{n2′}\cdots R_n\right)}}\\\\
&=\frac{\mu_0i}{2\pi}\ln\frac{\sqrt[mn]{\left(D_{1’1}D_{1’2′}\cdots D_{1’m}\right)\left(D_{2’1}D_{2’2}\cdots D_{2’m}\right)\cdots\left(D_{n1}D_{n2}\cdots D_{nm}\right)}}{\sqrt[n^2]{\left(R_{1′}D_{1’2′}\cdots D_{1’n}\right)\left(D_{2’1′}R_{2′}\cdots D_{2’n}\right)\cdots\left(D_{n1′}D_{n2′}\cdots R_n\right)}} ・・・(9)
\end{align*}$$

 

したがって、往路および復路の単位長あたりのインダクタンス$L_\mathrm{A},\ L_\mathrm{B}[\mathrm{H/m}]$および回路全体のインダクタンス$L[\mathrm{H/m}]$は、$(8),\ (9)$式より、

$$\begin{align*}
L_\mathrm{A}&=\frac{\Psi_\mathrm{A}}{i}\\\\
&=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{\sqrt[{mn}]{\left(D_{11′}D_{12′}\cdots D_{1n}\right)\left(D_{21′}D_{22′}\cdots D_{2n}\right)\cdots\left(D_{m1′}D_{m2′}\cdots D_{mn}\right)}}{\sqrt[m^2]{\left(R_1D_{12}\cdots D_{1n}\right)\left(D_{21}R_2\cdots D_{2n}\right)\cdots\left(D_{m1}D_{m2}\cdots R_m\right)}}\\\\
&\equiv\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_\mathrm{A-B}}{R_\mathrm{A}} ・・・(10)\\\\\\\\
L_\mathrm{B}&=\frac{\Psi_\mathrm{B}}{i}\\\\
&\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{\sqrt[mn]{\left(D_{1’1}D_{1’2′}\cdots D_{1’m}\right)\left(D_{2’1}D_{2’2}\cdots D_{2’m}\right)\cdots\left(D_{n1}D_{n2}\cdots D_{nm}\right)}}{\sqrt[n^2]{\left(R_{1′}D_{1’2′}\cdots D_{1’n}\right)\left(D_{2’1′}R_{2′}\cdots D_{2’n}\right)\cdots\left(D_{n1′}D_{n2′}\cdots R_n\right)}}\\\\
&\equiv\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_\mathrm{A-B}}{R_\mathrm{B}} ・・・(11)\\\\\\\\
L&=L_\mathrm{A}+L_\mathrm{B}\\\\
&=\frac{\mu_0}{2\pi}\left(\ln\frac{D_\mathrm{A-B}}{R_\mathrm{A}}+\ln\frac{D_\mathrm{A-B}}{R_\mathrm{B}}\right)\\\\
&=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D^2_\mathrm{A-B}}{R_\mathrm{A}R_\mathrm{B}}\\\\
&=\frac{\mu_0}{\pi}\ln\frac{D_\mathrm{A-B}}{\sqrt{R_\mathrm{A}R_\mathrm{B}}} ・・・(12)
\end{align*}$$

 

ただし、

$$\begin{align*}
D_\mathrm{A-B}&=\sqrt[mn]{\left(D_{11′}D_{12′}\cdots D_{1n}\right)\left(D_{21′}D_{22′}\cdots D_{2n}\right)\cdots\left(D_{m1′}D_{m2′}\cdots D_{mn}\right)}\\\\
R_\mathrm{A}&=\sqrt[m^2]{\left(R_1D_{12}\cdots D_{1n}\right)\left(D_{21}R_2\cdots D_{2n}\right)\cdots\left(D_{m1}D_{m2}\cdots R_m\right)}\\\\
R_\mathrm{B}&=\sqrt[n^2]{\left(R_{1′}D_{1’2′}\cdots D_{1’n}\right)\left(D_{2’1′}R_{2′}\cdots D_{2’n}\right)\cdots\left(D_{n1′}D_{n2′}\cdots R_n\right)}
\end{align*}$$

 

$D_\mathrm{A-B}$は往復導体間の幾何学的平均距離(GMD;Geometrical Mean Distance)という。

また、$R_\mathrm{A}$および$R_\mathrm{B}$はそれぞれ往路および復路導体全体を一つの導体としてみたときのGMRである。

 

往復2導体の場合

往復導体の作用インダクタンス」の記事における往復2導体のインダクタンス$L_1[\mathrm{H/m}]$は、$(12)$式で導体1および導体2の2つしかない場合を考えて、導体のGMRを$R_\mathrm{A}=R_\mathrm{B}=R$とすると、

$$L_1=\frac{\mu_0}{\pi}\ln\frac{D_\mathrm{12}}{R} ・・・(13)$$

 

$(13)$式で$R=\displaystyle{e^{-\frac{1}{4}}r}$とすれば、同記事の$(6)$式と一致する。

すなわち、単導体の場合でも$(12)$式は成り立つ。

 

参考文献

  • 新田目倖造『電力系統技術計算の基礎』電気書院,1981

 

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