本記事では、多導体送電線のインダクタンスの式を導出し、かつ多導体送電線の等価半径について記述する。
2導体送電線のインダクタンスと等価半径
2導体送電線
送電線の1相あたりの導体本数を複数本以上に分けたものを多導体送電線という。
まず、図1のように、往復路の導体を各2本使用する2導体送電線のインダクタンスを考える。
図1 2導体送電線
図1において、
- $r[\mathrm{m}]$：素導体の半径。すべての導体で一様とする。
- $l[\mathrm{m}]$：素導体の中心間距離
- $D[\mathrm{m}]$：多導体往路と復路の中心間距離
また、各距離の大きさの関係は$D\gg l\gg r$であり、導体1と他の導体との中心間距離は$D_{12}=D_{21}\fallingdotseq l,\ D_{11^{\prime}}=D_{1^{\prime}1}\fallingdotseq D_{12^{\prime}}=D_{2^{\prime}1}\fallingdotseq D$，その他の導体間についても同様とする。
このとき、送電線の単位長あたりのインダクタンス$L_2[\mathrm{H/m}]$は、「往復多導体の鎖交磁束とインダクタンス」の$(10)$式より、
$$L_2=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_2}{R_2} ・・・(1)$$
ただし、$\mu_0$は真空の透磁率で、かつ空気の比透磁率を$1$とする。
本記事では、平行に設置された複数の円筒導体からなる「往復多導体」の鎖交磁束およびインダクタンスの式を導出する。[sitecard subtitle=関連記事 url=https://denki-no-shinzui.com/indu[…]
送電線のGMRとGMD
このとき、素導体の幾何学的平均半径（GMR）を$R[\mathrm{m}]$とすると、2導体送電線のGMR$R_2[\mathrm{m}]$は、
$$R=\sqrt[2^2]{\left(Rl\right)\left(lR\right)}=\sqrt{Rl} ・・・(2)$$
また、往復導体間の幾何学的平均距離（GMD）$D_2[\mathrm{m}]$は、
$$\begin{align*}
D_2&=\sqrt[2^2]{\left(D_{11^{\prime}}D_{12^{\prime}}\right)\left(D_{21^{\prime}}D_{22^{\prime}}\right)}\\\\
&\fallingdotseq\sqrt[4]{D^2\cdot D^2}=D
\end{align*}$$
インダクタンスと等価半径
したがって$(1)$式より、2導体送電線の単位長あたりのインダクタンス$L_2[\mathrm{H/m}]$は、$\mu_0=4\pi\times10^{-7}$，$R=\displaystyle{e^{-\frac{1}{4}}r}$を用いて、
$$\begin{align*}
L_2&=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_2}{R_2}\\\\
&=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}\ln\frac{D}{\sqrt{Rl}}\\\\
&=0.2\ln\frac{D}{\sqrt{\displaystyle{e^{-\frac{1}{4}}r}l}}\times10^{-6}\\\\
&\equiv0.2\ln\frac{D}{r_{e2}\cdot\displaystyle{e^{-\frac{1}{8}}}}\times10^{-6}\\\\
&=0.2\left(\ln\frac{D}{r_{e2}}+\frac{1}{8}\ln e\right)\times10^{-6}\\\\
&=0.2\left(\frac{\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r_{e2}}}}{\log_{10}e}+\frac{1}{8}\right)\times10^{-6}\\\\
&=\left(\frac{0.2}{0.43429}\times\log_{10}\frac{D}{r_{e2}}+0.2\times\frac{1}{8}\right)\times10^{-6}[\mathrm{H/m}]\\\\
&=0.46052\log_{10}\frac{D}{r_{e2}}+\frac{0.05}{2}[\mathrm{mH/km}] ・・・(3)
\end{align*}$$
ただし、$(3)$式において、
$$r_{e2}=\sqrt{rl}[\mathrm{m}]$$
を2導体送電線の等価半径といい、多導体を単導体とみなしたときの半径の大きさを表す。
$(3)$式が2導体送電線の単位長あたりのインダクタンスの一般式である。
4導体送電線のインダクタンスと等価半径
4導体送電線
次に、図2のように、往復路の導体を各4本、正方形配置した4導体送電線のインダクタンスを考える。
図2 4導体送電線
図2の配置の場合、隣り合う素導体の中心間距離は$l[\mathrm{m}]$，斜め向かいに配置されている導体（導体1と導体3）の中心間距離は$\sqrt{2}l[\mathrm{m}]$となる。
送電線のGMRとGMD
その他の条件は2導体送電線と同一とすると、4導体送電線のGMR$R_4[\mathrm{m}]$は、
$$\begin{align*}
R_4&=\sqrt[4^4]{\left(R\cdot l\cdot\sqrt{2}l\cdot l\right)\left(l\cdot R\cdot l\cdot\sqrt{2}l\right)\left(\sqrt{2}l\cdot l\cdot R\cdot l\right)\left(l\cdot\sqrt{2}l\cdot l\cdot R\right)}\\\\
&=\sqrt[4^4]{\left(\sqrt{2}Rl^3\right)^4}=\sqrt[4]{\sqrt{2}Rl^3} ・・・(4)
\end{align*}$$
また、往復導体間のGMD$D_4[\mathrm{m}]$は、
$$\begin{align*}
D_4&=\sqrt[4^4]{\left(D_{11^{\prime}}D_{12^{\prime}}D_{13^{\prime}}D_{14^{\prime}}\right)\left(D_{21^{\prime}}D_{22^{\prime}}D_{23^{\prime}}D_{24^{\prime}}\right)\left(D_{31^{\prime}}D_{32^{\prime}}D_{33^{\prime}}D_{34^{\prime}}\right)\left(D_{41^{\prime}}D_{42^{\prime}}D_{43^{\prime}}D_{44^{\prime}}\right)}\\\\
&\fallingdotseq\sqrt[4^4]{D^4\cdot D^4\cdot D^4\cdot D^4}\\\\
&=\sqrt[4]{D^4}=D
\end{align*}$$
インダクタンスと等価半径
したがって、4導体送電線の単位長あたりのインダクタンス$L_4[\mathrm{H/m}]$は、$(4)$式および$\mu_0=4\pi\times10^{-7}$，$R=\displaystyle{e^{-\frac{1}{4}}r}$を用いて、
$$\begin{align*}
L_4&=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_4}{R_4}\\\\
&=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}\ln\frac{D}{\sqrt[4]{\sqrt{2}Rl^3}}\\\\
&=0.2\ln\frac{D}{\sqrt[4]{\sqrt{2}\displaystyle{e^{-\frac{1}{4}}r}l^3}}\times10^{-6}\\\\
&=0.2\ln\frac{D}{\sqrt[4]{\sqrt{2}rl^3}\cdot\displaystyle{e^{-\frac{1}{16}}}}\times10^{-6}\\\\
&=0.2\left(\ln\frac{D}{\sqrt[4]{\sqrt{2}rl^3}}+\frac{1}{16}\ln e\right)\times10^{-6}\\\\
&=0.2\left(\frac{\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{\sqrt[4]{\sqrt{2}rl^3}}}}{\log_{10}e}+\frac{1}{16}\right)\times10^{-6}\\\\
&=\left(\frac{0.2}{0.43429}\times\log_{10}\frac{D}{\sqrt[4]{\sqrt{2}rl^3}}+0.2\times\frac{1}{16}\right)\times10^{-6}[\mathrm{H/m}]\\\\
&=0.46052\log_{10}\frac{D}{\sqrt[4]{\sqrt{2}rl^3}}+\frac{0.05}{4}[\mathrm{mH/km}] ・・・(5)
\end{align*}$$
ただし、$(5)$式において、
$$r_{e4}=\sqrt[4]{\sqrt{2}rl^3}[\mathrm{m}]$$
は4導体送電線の等価半径を表す。
$(5)$式が4導体送電線の単位長あたりのインダクタンスの一般式である。
n導体送電線のインダクタンスと等価半径
n導体送電線
さらに、図3のように、往復路の導体を各$n$本、円環状に配置した$n$導体送電線のインダクタンスを考える。
図3 $n$導体送電線
図3の配置の場合、円環の半径を$a[\mathrm{m}]$とすると、導体1と導体2の中心間距離$l[\mathrm{m}]$は、
$$l=2a\sin\frac{\pi}{n} ・・・(6)$$
同様の考え方で、導体1と導体$k\left(k=1,2,\cdots,n\right)$との中心間距離$l_k[\mathrm{m}]$は、
$$l_k=2a\sin\frac{\left(k-1\right)\pi}{n} \left(k=1,2,\cdots,n\right) ・・・(7)$$
送電線のGMRとGMD
他の条件は2導体および4導体送電線と同一とすると、$n$導体送電線のGMR$R_n[\mathrm{m}]$は、
$$\begin{align*}
R_n&=\sqrt[n^n]{\left\{R\cdot 2a\sin\frac{\pi}{n}\cdot2a\sin\frac{2\pi}{n}\cdots 2a\sin\frac{\left(n-1\right)\pi}{n}\right\}}\ast\\\\
&\qquad\overline{\ast\cdots\left\{2a\sin\frac{\left(n-1\right)\pi}{n}\cdot2a\sin\frac{\left(n-2\right)\pi}{n}\cdots2a\sin\frac{\pi}{n}\cdot R\right\}}\\\\
&=\sqrt[n^n]{\left\{R\cdot 2a\sin\frac{\pi}{n}\cdot2a\sin\frac{2\pi}{n}\cdots 2a\sin\frac{\left(n-1\right)\pi}{n}\right\}^n}\\\\
&=\sqrt[n]{R\cdot 2a\sin\frac{\pi}{n}\cdot2a\sin\frac{2\pi}{n}\cdots 2a\sin\frac{\left(n-1\right)\pi}{n}}\\\\
&=\sqrt[n]{R\left(2a\right)^{n-1}\prod^{n-1}_{k=1}\sin\frac{k\pi}{n}} ・・・(8)
\end{align*}$$
ここで、数学公式
$$\prod^{n-1}_{k=1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}$$
を用いる [参考]と、$(8)$式は、
$$\begin{align*}
R_n&=\sqrt[n]{R\left(2a\right)^{n-1}\cdot\frac{n}{2^{n-1}}}\\\\
&=\sqrt[n]{nRa^{n-1}}\\\\
&=\sqrt[n]{nR\left(\frac{l}{2\sin\displaystyle{\frac{\pi}{n}}}\right)^{n-1}} \left(\because(6)\right) ・・・(9)
\end{align*}$$
また、往復導体間のGMD$D_n[\mathrm{m}]$は、
$$\begin{align*}
D_4&=\sqrt[n^n]{\left(D_{11^{\prime}}D_{12^{\prime}}\cdots D_{1n^{\prime}}\right)\left(D_{21^{\prime}}D_{22^{\prime}}\cdots D_{2n^{\prime}}\right)\cdots\left(D_{n1^{\prime}}D_{n2^{\prime}}\cdots D_{nn^{\prime}}\right)}\\\\
&\fallingdotseq\sqrt[n^n]{D^n\cdot D^n\cdots D^n}\\\\
&=\sqrt[n]{D^n}=D
\end{align*}$$
インダクタンスと等価半径
したがって、$n$導体送電線のインダクタンス$L_n[\mathrm{H/m}]$は、$(9)$式および$\mu_0=4\pi\times10^{-7}$，$R=\displaystyle{e^{-\frac{1}{4}}r}$を用いて、
$$\begin{align*}
L_n&=\frac{\mu_0}{2\pi}\ln\frac{D_n}{R_n}\\\\
&=\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}\ln\frac{D}{\sqrt[n]{nR\left(\displaystyle{\frac{l}{2\sin\displaystyle{\frac{\pi}{n}}}}\right)^{n-1}}}\\\\
&=0.2\ln\frac{D}{\sqrt[n]{\displaystyle{e^{-\frac{1}{4}}nr\left(\displaystyle{\frac{l}{2\sin\displaystyle{\frac{\pi}{n}}}}\right)^{n-1}}}}\times10^{-6}\\\\
&\equiv0.2\ln\frac{D}{r_{en}\cdot\displaystyle{e^{-\frac{1}{4n}}}}\times10^{-6}\\\\
&=0.2\left(\ln\frac{D}{r_{en}}+\frac{1}{4n}\ln e\right)\times10^{-6}\\\\
&=0.2\left(\frac{\log_{10}\displaystyle{\frac{D}{r_{en}}}}{\log_{10}e}+\frac{1}{4n}\right)\times10^{-6}\\\\
&=\left(\frac{0.2}{0.43429}\times\log_{10}\frac{D}{r_{en}}+0.2\times\frac{1}{4n}\right)\times10^{-6}[\mathrm{H/m}]\\\\
&=0.46052\log_{10}\frac{D}{r_{en}}+\frac{0.05}{n}[\mathrm{mH/km}] ・・・(10)
\end{align*}$$
ただし、$(10)$式において、
$$r_{en}=\sqrt[n]{nr\left(\displaystyle{\frac{l}{2\sin\displaystyle{\frac{\pi}{n}}}}\right)^{n-1}}[\mathrm{m}]$$
は導体数$n$の多導体送電線の等価半径を表す。
$(10)$式は多導体送電線のインダクタンスを任意の導体数$n$について一般化したものである。
ここで、$n=2$のとき、送電線の等価半径$r_{e2}[\mathrm{m}]$は、
$$\begin{align*}
r_{e2}&=\sqrt{2r\cdot\displaystyle{\frac{l}{2\sin\displaystyle{\frac{\pi}{2}}}}}\\\\
&=\sqrt{2r\cdot \frac{l}{2}}\\\\
&=\sqrt{rl}
\end{align*}$$
$n=4$のとき、送電線の等価半径$r_{e4}[\mathrm{m}]$は、
$$\begin{align*}
r_{e4}&=\sqrt[4]{4r\left(\displaystyle{\frac{l}{2\sin\displaystyle{\frac{\pi}{4}}}}\right)^3}\\\\
&=\sqrt[4]{4r\left(\displaystyle{\frac{l}{2\cdot\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}}}\right)^3}\\\\
&=\sqrt[4]{4r\left(\displaystyle{\frac{l}{\sqrt{2}}}\right)^3}\\\\
&=\sqrt[4]{4r\cdot\frac{l^3}{2\sqrt{2}}}\\\\
&=\sqrt[4]{\sqrt{2}rl^3}
\end{align*}$$
となり、それぞれ$(2)$および$(4)$式に一致する。
また、インダクタンスの式も、同様に$(10)$式で$n=2$および$n=4$とすれば、それぞれ$(3)$および$(5)$式に一致する。
実際の送電線における値の計算
実際の送電線の例として、半径$r=0.2\mathrm{m}$，素導体の中心間距離$l=0.5\mathrm{m}$，往復導体間の中心間距離$D=5\mathrm{m}$である$n=2,\ 4$の多導体送電線を考える。
等価半径の値
$n=2,\ 4$における等価半径$r_{e2}[\mathrm{m}]$および$r_{e4}[\mathrm{m}]$は、
$$\begin{align*}
r_{e2}&=\sqrt{rl}=\sqrt{0.2\times0.5}=0.3162\mathrm{m}\\\\
r_{e4}&=\sqrt[4]{\sqrt{2}rl^3}=\sqrt[4]{\sqrt{2}\times0.2\times0.5^3}=0.4336\mathrm{m}
\end{align*}$$
となり、単導体の場合の$r=0.2\mathrm{m}$と比較して、多導体化した場合は半径が$1.5\sim2$倍程度増加したものとみなせる。
多導体化して等価半径を大きくすることにより、コロナ臨界電圧が高くなるため、送電線へのコロナの発生を抑制できる。
インダクタンスの値
また、2導体および4導体送電線の単位長あたりのインダクタンス$L_2[\mathrm{mH/km}]$および$L_4[\mathrm{mH/km}]$は、
$$\begin{align*}
L_2&=0.46052\log_{10}\frac{D}{r_{e2}}+\frac{0.05}{2}\\\\
&=0.46052\log_{10}\frac{5}{0.3162}+\frac{0.05}{2}\\\\
&=0.5772\mathrm{mH/km}\\\\\\\\
L_4&=0.46052\log_{10}\frac{D}{r_{e4}}+\frac{0.05}{4}\\\\
&=0.46052\log_{10}\frac{5}{0.4336}+\frac{0.05}{4}\\\\
&=0.5015\mathrm{mH/km}
\end{align*}$$
一方、同半径の単導体送電線の単位長あたりのインダクタンス$L_1[\mathrm{mH/km}]$は、「往復導体の作用インダクタンス」の$(7)$式より、
$$\begin{align*}
L_1&=0.46052\log_{10}\frac{D}{r}+0.05\\\\
&=0.46052\log_{10}\frac{5}{0.2}+0.05\\\\
&=0.6938\mathrm{mH/km}
\end{align*}$$
であるから、多導体化することによりインダクタンスは$\boldsymbol{20\sim40\%}$程度減少する。
関連する例題（「電験王」へのリンク）
電験三種
参考文献
- 電気学会『電気工学ハンドブック 第7版』オーム社，2013
- 長谷良秀『電力技術の実用理論 第3版 発電・送変電の基礎理論からパワーエレクトロニクス応用まで』丸善出版，2015
- 新田目倖造『電力系統技術計算の基礎』電気書院，1981
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