本記事では、交流電源が接続された$RC$直列回路における過渡現象について解説する。
回路方程式
図1に抵抗$R$，静電容量$C$のコンデンサで構成された$RC$直列回路には、波高値$E_m$，周波数ωである交流電源$e=E_m$sin $\omega t$が接続されている。
このとき、スイッチが入る前には$C$は充電されていないものとする。
図1 $RC$直列回路
図1の回路にキルヒホッフの第二法則を適用すると、回路方程式は、
$$Ri+\frac{1}{C}\int{idt}=E_m\sin\omega t ・・・(1)$$
回路方程式の解法
過渡解と定常解
$(1)$式を電流$i$について解く場合、過渡解を$i_t$，定常解を$i_s$とすると、$(1)$式の解は、
$$i=i_t+i_s ・・・(2)$$
$(2)$式を$(1)$式に代入すると、
$$\begin{align*}
R\left(i_t+i_s\right)+\frac{1}{C}\int{\left(i_t+i_s\right)dt}&=E_m\sin\omega t\\\\
\therefore\left(Ri_t+\frac{1}{C}\int{i_tdt}\right)+\left(Ri_s+\frac{1}{C}\int{i_sds}\right)&=E_m\sin\omega t ・・・(3)
\end{align*}$$
$(3)$式をそれぞれ$i_t$と$i_s$についての2つの式に分離すると、
$$\begin{cases}
Ri_t+\displaystyle{\frac{1}{C}}\int{i_tdt}=0 &・・・(3.1)\\\\
Ri_s+\displaystyle{\frac{1}{C}}\int{i_sds}=E_m\sin\omega t &・・・(3.2)
\end{cases}$$
$(3.1)$式は過渡状態においてのみ考慮すべき式（かつ数学的には斉次方程式）であり、$t\rightarrow\infty$で両辺は$0$に収束する。
$(3.2)$式は定常状態において成立する式であり、右辺が$0$でない非斉次方程式である。
過渡解の導出
$(1)$式を解くために、まず
$$Ri_t+\frac{1}{C}\int{i_tdt}=0 ・・・(3.1)$$
を解き、過渡解$i_t$を求める。
※過渡解の解き方は直流回路の場合と全く同じであるが、再掲する。
$(3.1)$式の両辺を時間$t$で微分すると、
$$R\frac{di_t}{dt}+\frac{i_t}{C}=0 ・・・(4)$$
$(4)$式を変形すると、
$$\begin{align*}
R\frac{di_t}{dt}&=-\frac{i_t}{C}\\\\
\frac{di_t}{i_t}&=-\frac{dt}{CR}\\\\
\int{\frac{di_t}{i_t}}&=-\frac{1}{CR}\int{dt}\\\\
\ln{\left|i_t\right|}&=-\frac{t}{CR}+D\\\\
\therefore i_t&=Ae^{-\frac{t}{CR}}\left(A=\pm e^D\right) ・・・(5)
\end{align*}$$
上記の導出において、$D,\ A$は積分定数である。
$(5)$式が$(1)$式における過渡解となる。
定常解の導出
次に、
$$Ri_s+\displaystyle{\frac{1}{C}}\int{i_sds}=E_m\sin\omega t ・・・(3.2)$$
を解き、$(1)$式の定常解を求める。
$(3.2)$式の両辺を時間$t$で微分すると、
$$\begin{align*}
R\frac{di_s}{dt}+\frac{i_s}{C}&=\omega E_m\cos\omega t\\\\
\therefore CR\frac{di_s}{dt}+i_s&=\omega CE_m\cos\omega t ・・・(6)
\end{align*}$$
ここで、$(4)$式の過渡解$i_t$と同様に、定常解$i_s$が減衰項$e^{-\frac{t}{CR}}$をもち、かつ係数$A$が時間$t$の関数$A(t)$であるとした式
$$i_s=A(t)e^{-\frac{t}{CR}} ・・・(7)$$
になるとする。
$(7)$式を$(6)$式に代入すると、
$$\begin{align*}
CR\left(\frac{dA(t)}{dt}e^{-\frac{t}{CR}}-\frac{1}{CR}A(t)e^{-\frac{t}{CR}}\right)&+A(t)e^{-\frac{t}{CR}}=\omega CE_m\cos\omega t\\\\
CR\frac{dA(t)}{dt}e^{-\frac{t}{CR}}&=\omega CE_m\cos\omega t\\\\
dA(t)&=\frac{\omega E_m}{R}e^{\frac{t}{CR}}\cos\omega tdt\\\\
\therefore A(t)&=\frac{\omega E_m}{R}\int{e^{\frac{t}{CR}}\cos\omega tdt} ・・・(8)\\\\
\end{align*}$$
$(8)$式の積分の部分のみ計算すると、
$$\begin{align*}
\int{e^{\frac{t}{CR}}\cos\omega tdt}&=CRe^{\frac{t}{CR}}\cos\omega t+\omega CR\int{e^{\frac{t}{CR}}\sin\omega tdt}\\\\
&=CRe^{\frac{t}{CR}}\cos\omega t+\omega CR\left(CRe^{\frac{t}{CR}}\sin\omega t-\omega CR\int{e^{\frac{t}{CR}}\cos\omega tdt}\right)
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\left\{1+\left(\omega CR\right)^2\right\}\int{e^{\frac{t}{CR}}\cos\omega tdt}&=CRe^{\frac{t}{CR}}\cos\omega t+\omega(CR)^2e^{\frac{t}{CR}}\sin\omega t\\\\
\therefore\int{e^{\frac{t}{CR}}\cos\omega tdt}&=\frac{1}{1+\left(\omega CR\right)^2}e^{\frac{t}{CR}}\left\{CR\cos\omega t+\omega(CR)^2\sin\omega t\right\}
\end{align*}$$
したがって、係数$A(t)$は、$(7)$式より、
$$A(t)=\frac{\omega CE_m}{1+\left(\omega CR\right)^2}e^{\frac{t}{CR}}\left(\cos\omega t+\omega CR\sin\omega t\right) ・・・(9)$$
ゆえに、定常解$i_s$は、$(7),\ (9)$式より、
$$\begin{align*}
i_s&=\frac{\omega CE_m}{1+\left(\omega CR\right)^2}\left(\cos\omega t+\omega CR\sin\omega t\right)\\\\
&=\frac{\omega CE_m}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\cos\omega t+\frac{\omega CR}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\sin\omega t\right)\\\\
&=\frac{\omega CE_m}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\cos\left(\omega t-\phi\right) ・・・(10)
\end{align*}$$
ただし、$\phi=\displaystyle{\tan^{-1}\omega CR}$
電流の式
$(5),\ (10)$式を$(2)$式に代入すると、$(1)$式の一般解を求めることができて、
$$i=A(t)e^{-\frac{t}{CR}}+\frac{\omega CE_m}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\cos\left(\omega t-\phi\right) ・・・(11)$$
ここで、初期状態$t=0$において、図1の回路にスイッチが入った直後は$C$は短絡状態に等しいため、
$$\begin{align*}
i|_{t=0}&=A+\frac{\omega CE_m}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\cos\left(-\phi\right)=0\\\\
\therefore A&=-\frac{\omega CE_m}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\cos\phi
\end{align*}$$
したがって、$(11)$式は、
$$i=\frac{\omega CE_m}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\left\{\cos\left(\omega t-\phi\right)-e^{-\frac{t}{CR}t}\cos\phi\right\} ・・・(12)$$
ただし、$\phi=\displaystyle{\tan^{-1}\omega CR}$
$(12)$式が$(1)$式における特殊解となる。
ラプラス変換による解法
ラプラス変換を用いると、$(1)$式から直接$(12)$式を導出できる。
$(1)$式の両辺をラプラス変換すると、$I(s)=\mathcal{L}\left\{i\right\}$として、
$$\begin{align*}
RI(s)&+\frac{I(s)}{sC}+\frac{1}{sC}\left.\int{idt}\right|_{t=0}=\frac{\omega E_m}{s^2+\omega^2}\\\\
I(s)&=\frac{\omega E_m}{\left(R+\frac{1}{sC}\right)\left(s^2+\omega^2\right)}\left(\because \left.\int{idt}\right|_{t=0}=0\right)\\\\
&=\frac{\omega E_m}{R}\frac{s}{\left(s+\frac{1}{CR}\right)\left(s^2+\omega^2\right)}\\\\
&=\frac{\omega E_m}{R}\cdot\frac{1}{1+\left(\omega CR\right)^2}\left\{\frac{sCR+(\omega CR)^2}{s^2+\omega^2}-\frac{CR}{s+\frac{1}{CR}}\right\}\\\\
&=\frac{\omega CE_m}{1+\left(\omega CR\right)^2}\left(\frac{s}{s^2+\omega^2}+\omega CR\frac{\omega}{s^2+\omega^2}-\frac{1}{s+\frac{1}{CR}}\right)\\\\
\therefore i&=\mathcal{L}^{-1}\left\{I(s)\right\}=\frac{\omega CE_m}{1+\left(\omega CR\right)^2}\left(\cos\omega t+\omega CR\sin\omega t-e^{-\frac{t}{CR}t}\right)\\\\
&=\frac{\omega CE_m}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\left(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\cos\omega t+\frac{\omega CR}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\sin\omega t-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}e^{-\frac{t}{CR}t}\right)\\\\
&=\frac{\omega CE_m}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}\left\{\cos\left(\omega t-\phi\right)-e^{-\frac{t}{CR}t}\cos\phi\right\}
\end{align*}$$
ただし、$\phi=\displaystyle{\tan^{-1}\omega CR},\ \cos\phi=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega CR\right)^2}}$
となり、$(12)$式と同じ結果が得られる。
電流・電圧のグラフ
図1の回路における電源電圧$e$および回路に流れる電流$i$のグラフを図2に示す。
図2 $RC$直列回路の電流・電圧のグラフ
図2より、正弦波の電圧$e$に対し、電流$i$も一見正弦波のような形状であるが、位相は$\frac{\pi}{2}-\phi$進み、かつ減衰項$e^{-\frac{t}{CR}t}\cos\phi$の作用が時間$t$に伴い薄れていく波形となる。
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