本記事では、電力系統全体に対称座標法計算を適用するため、1回線および2回線の送電線に対称座標法変換を適用した場合の計算式について記述する。
1回線送電線の対称座標法変換
1回線送電線の等価回路
図1に、1回線送電線の等価回路を示す。
図1 1回線送電線の等価回路
図1において、各端子－大地間の電圧の添字$s$は送電端（入力側）、$r$は受電端（出力側）を示している。
また、三相の送電線はよくねん架されていると考え、各相の自己インピーダンスは$\dot{Z}_s$, 各相間の相互インピーダンスは$\dot{Z}_m$ですべて等しいとする。
以上の条件において、図1の回路における電圧・電流の関係式は下記となる。
\dot{V}_{as}-\dot{V}_{ar}&=\dot{Z}_s\dot{I}_a+\dot{Z}_m\dot{I}_b+\dot{Z}_m\dot{I}_c\\\\
\dot{V}_{bs}-\dot{V}_{br}&=\dot{Z}_m\dot{I}_a+\dot{Z}_s\dot{I}_b+\dot{Z}_m\dot{I}_c\\\\
\dot{V}_{cs}-\dot{V}_{cr}&=\dot{Z}_m\dot{I}_a+\dot{Z}_m\dot{I}_b+\dot{Z}_s\dot{I}_c
\end{cases} ・・・(1.1)$$
行列表示で記載すると、
「零相成分」および「正相成分と逆相成分」の記事にて、任意の三相電気量の各相成分（$a-b-c$領域における電気量）を、零相・正相・逆相の各成分（$0-1-2$領域における電気量）へ変換するための考察を行った。本記事では、実際の計算で[…]
対称座標法変換の計算
$a-b-c$領域の値を$0-1-2$領域の値に変換するためには、$(1.2)$式の左から変換行列$\boldsymbol{a}=\displaystyle{\frac {1}{3}}\left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right)$を掛けて、
\boldsymbol{a}\left( \begin{array}{c} \dot{V}_{as} \\ \dot{V}_{bs} \\ \dot{V}_{cs} \end{array} \right)-\boldsymbol{a}\left( \begin{array}{c} \dot{V}_{ar} \\ \dot{V}_{br} \\ \dot{V}_{cr} \end{array} \right)&=\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z}_s & \dot{Z}_m & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m & \dot{Z}_s & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m & \dot{Z}_m & \dot{Z}_s \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right)\\\\
\Longleftrightarrow\left(\begin{array}{c} \dot{V}_{0s} \\ \dot{V}_{1s} \\ \dot{V}_{2s} \end{array} \right)-\left(\begin{array}{c} \dot{V}_{0r} \\ \dot{V}_{1r} \\ \dot{V}_{2r} \end{array} \right)&=\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z}_s & \dot{Z}_m & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m & \dot{Z}_s & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m & \dot{Z}_m & \dot{Z}_s \end{array} \right)\boldsymbol{a^{-1}} \left(\begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right) ・・・(2)
\end{align*}$$
ここで、$\boldsymbol{a^{-1}}=\left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right),\ \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a^{-1}}=\boldsymbol{I}$（単位行列）である。
$(2)$式のインピーダンス行列を計算すると、
\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z}_s & \dot{Z}_m & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m & \dot{Z}_s & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m & \dot{Z}_m & \dot{Z}_s \end{array} \right)\boldsymbol{a^{-1}}&=\frac {1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right)\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z}_s & \dot{Z}_m & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m & \dot{Z}_s & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m & \dot{Z}_m & \dot{Z}_s \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right)\\\\
&=\frac {1}{3}\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z}_s+2\dot{Z}_m & \dot{Z}_s+2\dot{Z}_m & \dot{Z}_s+2\dot{Z}_m \\ \dot{Z}_s-\dot{Z}_m& a\left(\dot{Z}_s-\dot{Z}_m\right) & a^2\left(\dot{Z}_s-\dot{Z}_m\right) \\ \dot{Z}_s-\dot{Z_m} & a^2\left(\dot{Z}_s-\dot{Z}_m\right) & a\left(\dot{Z}_s-\dot{Z}_m\right) \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right)\\\\
&=\left( \begin{array}{ccc} \dot{Z}_s+2\dot{Z}_m & 0 & 0 \\ 0& \dot{Z}_s-\dot{Z}_m & 0 \\ 0& 0 & \dot{Z}_s-\dot{Z}_m \end{array} \right)\\\\
&\equiv\left( \begin{array}{ccc} \dot{Z}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \dot{Z}_1 & 0 \\ 0& 0 & \dot{Z}_2 \end{array} \right) ・・・(3)
\end{align*}$$
したがって、$(2)$式は、
\left( \begin{array}{c} \dot{V}_{0s} \\ \dot{V}_{1s} \\ \dot{V}_{2s}\end{array} \right)-\left( \begin{array}{c} \dot{V}_{0r} \\ \dot{V}_{1r} \\ \dot{V}_{2r}\end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z}_0 & 0 & 0 \\ 0& \dot{Z}_1 & 0 \\ 0 & 0 & \dot{Z}_2 \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right) ・・・(4)
\end{align*}$$
ただし、 $\dot{Z}_0=\dot{Z}_s+2\dot{Z}_m,\ \dot{Z}_1=\dot{Z}_2=\dot{Z}_s-\dot{Z}_m$
$(4)$式が1回線送電線における電圧・電流の対称座標法による変換式である。
1回線送電線の零相・正相・逆相回路
$(4)$式に基づき、1回線送電線の零相・正相・逆相成分（$0-1-2$成分）の等価回路を描くと、図2のようになる。
図2 1回線送電線の等価回路（$0-1-2$成分）
$(4)$式および図2より、対称座標法変換を用いることで、発電機の場合と同様に相間の相互インピーダンスを考える必要はなくなり、各成分ごとにその回路の自己インピーダンスのみ考慮すればよいことがわかる。
三相負荷の対称座標法変換
これまで、発電機および送電線の対称座標法変換を考えてきたが、電力系統で考慮すべき要素で残すは負荷である。
電力系統内の負荷は鉄道や電気炉など、不平衡負荷も一部存在はしているが、ほとんどが三相平衡負荷である。
したがって、各相の負荷の電圧・電流・インピーダンスについて、これまでの要素と同様に考えることができる。
計算は前項までと同様なので省略し、対称座標法変換前（$a-b-c$領域）と変換後（$0-1-2$領域）における電圧と電流の関係式は、それぞれ、
\left(\begin{array}{c} \dot{V}_{a} \\ \dot{V}_{b} \\ \dot{V}_{c}\end{array} \right)&=\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z}_s & \dot{Z}_m & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m & \dot{Z}_s & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m & \dot{Z}_m & \dot{Z}_s \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right) &・・・(5)\\\\
\Longleftrightarrow\left( \begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right)&=\left( \begin{array}{ccc} \dot{Z}_0 & 0 & 0 \\ 0& \dot{Z}_1 & 0 \\ 0& 0 & \dot{Z}_2 \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right) &・・・(6)
\end{align*}$$
ただし、 $\dot{Z}_0=\dot{Z}_s+2\dot{Z}_m,\ \dot{Z}_1=\dot{Z}_2=\dot{Z}_s-\dot{Z}_m$
$(6)$式が三相負荷における電圧・電流の対称座標法による変換式である。
「発電機の基本式」と合わせると、これで電力系統の全ての要素の対称座標法変換が可能となった。
本記事では、対称座標法を用いた計算において重要な式である「発電機の基本式」を導入する。発電機の内部等価回路「発電機の基本式」を導入するにあたり、まずは適用する回路について考える。図1は、発電機を「[…]
2回線送電線の対称座標法変換
2回線送電線の等価回路
電力系統内の送電線は、通常2回線で使用されるため、実用に伴う計算式を導入する必要がある。
図3に、よくねん架された2回線送電線の$a$相のみを取り出した等価回路を示す。
（同図では、回路が視覚的に複雑になるため、2号線自身のインピーダンスは省略していることを注意願いたい）
図3 2回線送電線の等価回路
なお、電圧・電流の左側添字$1,\ 2$はそれぞれ1号線および2号線の諸量であることを示している。
図3より、1回線の場合と同様に各相の自己インピーダンス$\dot{Z}_s$および各相間の相互インピーダンス$\dot{Z}_m$が存在するが、今回はそれらに加え送電線間の相互インピーダンス$\dot{Z’}_m$が各相ごとに存在する（すなわち、各相1回線ごとに6種類のインピーダンスを考慮しなければならない）。
以上を考慮して、図3の回路における電圧・電流の関係式を行列表示で記載すると、
変換計算式の分割
このままでは非常にわかりづらいため、$(7)$式を分割する。
- 電圧および電流は、たとえば送電線ごとに下記のようにまとめる。$$\left( \begin{array}{c} \dot{_{1}V_{as}} \\ \dot{ _{1} V_{bs}} \\ \dot{ _{1} V_{cs}} \end{array} \right)\equiv\boldsymbol{ _{1}V_{abcs}}$$
- インピーダンス行列は、下記のように置く。$$\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z}_s & \dot{Z}_m & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m & \dot{Z}_s & \dot{Z}_m \\ \dot{Z}_m & \dot{Z}_m & \dot{Z}_s \end{array} \right)\equiv\boldsymbol{Z},\ \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m \\ \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m \\ \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m \end{array} \right)\equiv\boldsymbol{Z’_{m}}$$
このようなルールにしたがって$(7)$式を分割すると、
\boldsymbol{ _{1}V_{abcs}}-\boldsymbol{ _{1}V_{abcr}}&=\boldsymbol{Z}\cdot\boldsymbol{ _{1}I_{abc}}+\boldsymbol{Z’_m}\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{abc}}\\\\
\boldsymbol{ _{2}V_{abcs}}-\boldsymbol{ _{2}V_{abcr}}&=\boldsymbol{ Z’_m}\cdot\boldsymbol{ _{1}I_{abc}}+\boldsymbol{ Z }\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{abc}}
\end{cases} ・・・(8)$$
となり（行列表示よりは見た目が）簡素化された。
対称座標法変換の計算
$(8)$式を対称座標法変換するため、$(8)$式の左から変換行列$\boldsymbol{a}$を掛けて（なお、変換前添字$abc\rightarrow$変換後$012$である）、
\boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{ _{1}V_{abcs}}-\boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{ _{1}V_{abcr}}&=\boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{Z}\cdot\boldsymbol{ _{1}I_{abc}}+ \boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{Z’_m}\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{abc}}\\\\
\boldsymbol {a}\cdot \boldsymbol{ _{2}V_{abcs}}-\boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{ _{2}V_{abcr}}&=\boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{Z’_m}\cdot\boldsymbol{ _{1}I_{abc}}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{Z}\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{abc}}
\end{cases}$$
上式を書き直して整理すると、
\boldsymbol{ _{1}V_{012s}}-\boldsymbol{ _{1}V_{012r}}&=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{Z}\cdot\boldsymbol {a^{-1}}\cdot\boldsymbol{ _{1}I_{012}}+\boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{Z’_m}\cdot\boldsymbol {a^{-1}}\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{012}}\\\\
\boldsymbol{ _{2}V_{012s}}-\boldsymbol{ _{2}V_{012r}}&=\boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{Z’_m}\cdot\boldsymbol{a^{-1}}\cdot\boldsymbol{ _{1}I_{012}}+\boldsymbol {a}\cdot\boldsymbol{Z}\cdot\boldsymbol{a^{-1}}\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{012}}
\end{cases} ・・・(9)$$
$(9)$式のうち、第1項にかかる$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{Z}\cdot\boldsymbol{a^{-1}}$は$(3)$式と全く同じ計算なので、再掲すると、
ただし、$\dot{Z}_0=\dot{Z}_s+2\dot{Z}_m,\ \dot{Z}_1=\dot{Z}_2=\dot{Z}_s-\dot{Z}_m$
次に、$(9)$式第2項にかかる$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{Z’_m}\cdot\boldsymbol {a^{-1}}$を計算すると、
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{Z’_m}\cdot\boldsymbol {a^{-1}}&=\frac{1}{3}\left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a & a^2 \\ 1& a^2 & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \dot{Z’}_m& \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m \\ \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m \\ \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right)\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m & \dot{Z’}_m \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1& 1 & 1 \\ 1& a^2 & a \\ 1& a & a^2 \end{array} \right)\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} 3\dot{Z’}_m & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 \end{array} \right)\equiv\boldsymbol{Z’_{0m}} ・・・(10)
\end{align*}$$
$(3)$および$(10)$式を$(9)$式に代入すると、
\boldsymbol{ _{1}V_{012s}}-\boldsymbol{ _{1}V_{012r}}&=\boldsymbol{Z_{012}}\cdot\boldsymbol{ _{1}I_{012}}+\boldsymbol{Z’_{0m}}\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{012}}\\\\
\boldsymbol{ _{2}V_{012s}}-\boldsymbol{ _{2}V_{012r}}&=\boldsymbol{Z’_{0m}}\cdot\boldsymbol{ _{1}I_{012}}+\boldsymbol{Z_{012}}\cdot\boldsymbol{ _{2}I_{012}}
\end{cases} ・・・(11.1)$$
$(11.1)$式を行列表示にすると、
2回線送電線の零相・正相・逆相回路
$(11.2)$式をさらに各成分ごとに式を分割すると（上から零相、正相、逆相）、
&\left\{\begin{array}{l}
\dot{_{1}V_{0s}}-\dot{_{1}V_{0r}}=\dot{Z}_{0}\cdot\dot{_{1}I_{0}\ }+\dot{3Z’_{m}}\cdot\dot{_{2}I_{0}\ }\\\\
\dot{_{2}V_{0s}}-\dot{_{2}V_{0r}}=\dot{3Z’_{m}}\cdot\dot{_{1}I_{0}\ }+\dot {Z_{0}}\cdot\dot{_{2}I_{0}\ }
\end{array} \right. &・・・(11\mathrm{a})\\\\
&\left\{ \begin{array}{l}
\dot{_{1}V_{1s}}-\dot{ _{1}V_{1r}}=\dot{Z_{1}}\cdot\dot{_{1}I_{1}\ }\\\\
\dot{_{2}V_{1s}}-\dot{ _{2}V_{1r}}=\dot{Z_{1}}\cdot\dot{_{2}I_{1}\ }
\end{array} \right. &・・・(11\mathrm{b})\\\\
&\left\{ \begin{array}{l}
\dot{ _{1}V_{2s}}-\dot{_{1}V_{2r}}=\dot{Z_{2}}\cdot\dot{_{1}I_{2}\ }\\\\
\dot{ _{2}V_{2s}}-\dot{_{2}V_{2r}}=\dot{Z_{2}}\cdot\dot{_{2}I_{2}\ }
\end{array} \right. &・・・(11\mathrm{c})
\end{align*}$$
$(11\mathrm{a})$～$(11\mathrm{c})$式に基づき、2回線送電線の零相・正相・逆相成分（$0-1-2$成分）の等価回路を描くと、図4のようになる。
図4 2回線送電線の等価回路（$0-1-2$成分）
$(11\mathrm{a})～(11\mathrm{c})$式および図4より、対称座標法変換後は1回線の場合と同様に、各回路において相間の相互インピーダンスは考慮する必要がなくなることがわかる。
次に、送電線間の相互インピーダンスについて、正相および逆相回路については考慮する必要がなくなり、その回路の自己インピーダンスのみ考えればよい（これらは各成分ごとに個々に独立した回路となる）。
一方、零相回路については相互インピーダンス$\dot{3Z’_{m}}$が残ってしまうが、それ以外は他成分と同様に回路の自己インピーダンスのみ考えればよいことになる。
まとめ―送電線および負荷の対称座標法変換
- 1回線送電線の場合は、対称座標法変換により相間の相互インピーダンスを考える必要がなく、その回路の自己インピーダンスのみ考えればよい。
これらは各成分ごとに個々に独立した回路となる。 - 三相負荷の場合も発電機、送電線と同形式の変換式を立てることができる。
- 2回線送電線の場合は、$a-b-c$領域の場合は相間のみならず送電線間の相互インピーダンスを考慮する必要があって、非常に計算が煩雑になる。
しかし、対称座標法変換により、送電線間の相互インピーダンスは零相回路のみ考慮すればよく、計算が圧倒的に簡素化される。
故障計算への適用
これまで、対称座標法という変数変換法が成立する理由（零相成分、正相成分と逆相成分）、その変換式、電力系統への適用（発電機、送電線および負荷）という流れで記述した。
対称座標法変換を用いる最大のメリットは、回路の相互インピーダンスを考えなくてよく、計算が簡素化されるという点である。
また、2回線送電線の場合のように、複雑な回路であるほどそのご利益は大きい。
そして、電気工学の世界で対称座標法の威力が発揮されるのは、系統内の故障計算においてである。
本記事では、三相電力系統における故障計算の各パターンをまとめる。故障計算の回路モデル図1に電源を含む三相電力系統における故障計算時の回路モデルを示す。系統の任意の故障点から故障点端子$F$を仮想的に伸ばしたとして[…]
参考文献
- 長谷良秀『電力技術の実用理論 第3版 発電・送変電の基礎理論からパワーエレクトロニクス応用まで』丸善出版，2015
- 新田目倖造『電力系統技術計算の基礎』電気書院，1981
※本ページはプロモーションが含まれています。―『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている― 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。[…]
電験アカデミアにテキストを書き下ろしてもらい、電験どうでしょうの川尻将先生により動画解説を行ない、電験3種受験予定者が電…
※本ページはプロモーションが含まれています。すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！ 当サイト「電気の神髄」をいつもご愛読ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 […]
※本ページはプロモーションが含まれています。 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 2022年5月18日、オーム社より「電験カフェへようこそ[…]