「零相成分」および「正相成分と逆相成分」の記事にて、任意の三相電気量の各相成分（$a-b-c$領域における電気量）を、零相・正相・逆相の各成分（$0-1-2$領域における電気量）へ変換するための考察を行った。
本記事では、実際の計算で使用する対称座標法変換の基本式について導出する。
対称座標法における零相成分
任意の三相電気量（電圧）を$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$とすると、零相成分$\dot{V}_0$の定義式は、
$$\dot{V}_0=\frac{1}{3}\left(\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c\right) ・・・(1\mathrm{a})$$
また、三相電気量$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$から零相成分$\dot{V}_0$を図1のように分離すると、
$$\begin{cases}
\dot{V}_a&=\dot{V’}_a+\dot{V}_0 &・・・(2\mathrm{a})\\\\
\dot{V}_b&=\dot{V’}_b+\dot{V}_0 &・・・(2\mathrm{b})\\\\
\dot{V}_c&=\dot{V’}_c+\dot{V}_0 &・・・(2\mathrm{c})
\end{cases}$$
ここで、$\dot{V’_a},\ \dot{V’_b},\ \dot{V’_c}$は、$\dot{V’}_a+\dot{V’}_b+\dot{V’}_c=0$となるような三相電気量ベクトルである。
図1 三相電気量からの零相成分の分離
零相成分（Zero phase sequence）とは三相不平衡な電気量において、各相すべてで大きさ・位相ともに等しい成分を指す。本記事では、対称座標法における零相成分について考察する。不平衡かつ和がゼロでない三相電気量ベク[…]
対称座標法における正相および逆相成分
正相成分$\dot{V}_1$および逆相成分$\dot{V}_2$の定義式は、前項の$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$を用いて、
$$\begin{align*}
\dot{V}_1&=\frac{1}{3}\left(\dot{V}_a+a\dot{V}_b+a^2\dot{V}_c\right) &・・・(1\mathrm{b})\\\\
\dot{V}_2&=\frac{1}{3}\left(\dot{V}_a+a^2\dot{V}_b+a\dot{V}_c\right) &・・・(1\mathrm{c})
\end{align*}$$
ここで、$\dot{V}_1$および$\dot{V}_2$を$\dot{V’_a},\ \dot{V’_b},\ \dot{V’_c}$を用いて表すと、$(1\mathrm{b}),\ (1\mathrm{c})$式および$1+a+a^2=0$の関係を用いて、
$$\begin{align*}
\dot{V}_1&=\frac{1}{3}\left(\dot{V}_a+a\dot{V}_b+a^2\dot{V}_c\right)\\\\
&=\frac{1}{3}\left\{\left(\dot{V’}_a+\dot{V}_0\right)+a\left(\dot{V’}_b+\dot{V}_0\right)+a^2\left(\dot{V’}_c+\dot{V}_0\right)\right\}\\\\
&=\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a\dot{V’}_b+a^2\dot{V’}_c\right)+\frac{1}{3}\left(1+a+a^2\right)\dot{V}_0\\\\
&=\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a\dot{V’}_b+a^2\dot{V’}_c\right) ・・・(1\mathrm{b})’
\end{align*}$$
$$\begin{align*}
\dot{V}_2&=\frac{1}{3}\left(\dot{V}_a+a^2\dot{V}_b+a\dot{V}_c\right)\\\\
&=\frac{1}{3}\left\{\left(\dot{V’}_a+\dot{V}_0\right)+a^2\left(\dot{V’}_b+\dot{V}_0\right)+a\left(\dot{V’}_c+\dot{V}_0\right)\right\}\\\\
&=\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a^2\dot{V’}_b+a\dot{V’}_c\right)+\frac{1}{3}\left(1+a^2+a\right)\dot{V}_0\\\\
&=\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a^2\dot{V’}_b+a\dot{V’}_c\right) ・・・(1\mathrm{c})’
\end{align*}$$
$(1\mathrm{b})’,\ (1\mathrm{c})’$式に基づき、$\dot{V}_1$および$\dot{V}_2$を$\dot{V’_a},\ \dot{V’_b},\ \dot{V’_c}$を用いて表したものを図2および図3に示す。
図2 三相電気量からの正相成分の生成
図3 三相電気量からの逆相成分の生成
逆に、$\dot{V’}_a$, $\dot{V’}_b$, $\dot{V’}_c$を変形し、$\dot{V}_1$および$\dot{V}_2$を用いて表す。
まず$\dot{V’}_a$は、$\dot{V’}_a+\dot{V’}_b+\dot{V’}_c=0$を考慮して、
$$\begin{align*}
\dot{V’}_a&=\frac{1}{3}\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\dot{V’}_a\\\\
&=\frac{1}{3}\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\left(-\dot{V’}_b-\dot{V’}_c\right)\\\\
&=\frac{1}{3}\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\left(a+a^2\right)\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\left(a^2+a\right)\dot{V’}_c\\\\
&=\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a\dot{V’}_b+a^2\dot{V’}_c\right)+\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a^2\dot{V’}_b+a\dot{V’}_c\right)\\\\
&=\dot{V}_1+\dot{V}_2 ・・・(3\mathrm{a})
\end{align*}$$
$(3\mathrm{a})$式導出までの変形をベクトル図に表したものを図4に示す。
図4 $\dot{V’}_a$ベクトルの変形
次に、$\dot{V’}_b$も同様に、
$$\begin{align*}
\dot{V’}_b&=\frac{1}{3}\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\dot{V’}_b\\\\
&=\frac{1}{3}\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\left(-\dot{V’}_c-\dot{V’}_a\right)\\\\
&=\frac{1}{3}\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\dot{V’}_b+\frac{1}{3}\left(a+a^2\right)\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\left(a^2+a\right)\dot{V’}_a\\\\
&=\frac{1}{3}a^2\left(\dot{V’}_a+a\dot{V’}_b+a^2\dot{V’}_c\right)+a\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a^2\dot{V’}_b+a\dot{V’}_c\right)\\\\
&=a^2\dot{V}_1+a\dot{V}_2 ・・・(3\mathrm{b})
\end{align*}$$
$(3\mathrm{b})$式導出までの変形をベクトル図に表したものを図5に示す。
図5 $\dot{V’}_b$ベクトルの変形
さらに、$\dot{V’}_c$についても同様に、
$$\begin{align*}
\dot{V’}_c&=\frac{1}{3}\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\dot{V’}_c\\\\
&=\frac{1}{3}\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\left(-\dot{V’}_a-\dot{V’}_b\right)\\\\
&=\frac{1}{3}\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\dot{V’}_c+\frac{1}{3}\left(a+a^2\right)\dot{V’}_a+\frac{1}{3}\left(a^2+a\right)\dot{V’}_b\\\\
&=\frac{1}{3}a\left(\dot{V’}_a+a\dot{V’}_b+a^2\dot{V’}_c\right)+a^2\frac{1}{3}\left(\dot{V’}_a+a^2\dot{V’}_b+a\dot{V’}_c\right)\\\\
&=a\dot{V}_1+a^2\dot{V}_2 ・・・(3\mathrm{c})
\end{align*}$$
$(3\mathrm{c})$式導出までの変形をベクトル図に表したものを図6に示す。
図6 $\dot{V’}_c$ベクトルの変形
本記事では、対称座標法における正相成分と逆相成分について考察する。 [sitecard subtitle=零相成分について url="https://denki-no-shinzui.com/zero-phase/"][…]
対称座標法変換の基本式
以下、三相電気量の各相成分を$a-b-c$領域、零相・逆相・正相成分を$0-1-2$領域における量と表現する。
電圧のa－b－c ⇒0－1－2変換式
$(1\mathrm{a})$～$(1\mathrm{c})$式を再掲すると、
$$\begin{cases}
\dot{V}_0&=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\dot{V}_a+\dot{V}_b+\dot{V}_c\right) &・・・(1\mathrm{a})\\\\
\dot{V}_1&=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\dot{V}_a+a\dot{V}_b+a^2\dot{V}_c\right) &・・・(1\mathrm{b})\\\\
\dot{V}_2&=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\dot{V}_a+a^2\dot{V}_b+a\dot{V}_c\right) &・・・(1\mathrm{c})
\end{cases}$$
$(1\mathrm{a})$～$(1\mathrm{c})$式を行列表記にすると、
$$\left(\begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array} \right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right)\equiv\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array} \right) ・・・(1.1)$$
$(1.1)$式において、$\displaystyle{\boldsymbol{a}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array}\right)}$は対称座標法における$a-b-c\Rightarrow 0-1-2$領域への変換行列という。
また、$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$から$\dot{V}_0,\ \dot{V}_1,\ \dot{V}_2$への変換をベクトル図に表したものを図7に示す。
図7 電圧の$a-b-c\Rightarrow 0-1-2$変換
電流のa－b－c ⇒0－1－2変換式
また、前項まで電圧についての導出であったが、電流についても同様の関係が成り立つ。
$a-b-c$領域における電流$\dot{I}_a,\ \dot{I}_b,\ \dot{I}_c$から、$0-1-2$領域における電流$\dot{I}_0,\ \dot{I}_1,\ \dot{I}_2$への変換式は、
$$\begin{cases}
\dot{I}_0&=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\dot{I}_a+\dot{I}_b+\dot{I}_c\right) &・・・(1\mathrm{d})\\\\
\dot{I}_1&=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\dot{I}_a+a\dot{I}_b+a^2\dot{I}_c\right) &・・・(1\mathrm{e})\\\\
\dot{I}_2&=\displaystyle{\frac{1}{3}}\left(\dot{I}_a+a^2\dot{I}_b+a\dot{I}_c\right) &・・・(1\mathrm{f})
\end{cases}$$
$(1\mathrm{d})$～$(1\mathrm{f})$式を行列表記にすると、
$$\left(\begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & a^2 & a \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right)\equiv\boldsymbol{a}\left(\begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right) ・・・(1.2)$$
$(1.2)$式より、変換行列$\boldsymbol{a}$を用いて、電流についても変換の計算を行うことができる。
電圧の0－1－2⇒a－b－c 変換式
また、$(2\mathrm{a})$～$(2\mathrm{c})$式に$(3\mathrm{a})$～$(3\mathrm{c})$式をそれぞれ代入し、$\dot{V’}_a$, $\dot{V’}_b$, $\dot{V’}_c$を消去すると、
$$\begin{cases}
\dot{V}_a&=\dot{V}_0+\dot{V}_1+\dot{V}_2 &・・・(4\mathrm{a})\\\\
\dot{V}_b&=\dot{V}_0+a^2\dot{V}_1+a\dot{V}_2 &・・・(4\mathrm{b})\\\\
\dot{V}_c&=\dot{V}_0+a\dot{V}_1+a^2\dot{V}_2 &・・・(4\mathrm{c})
\end{cases}$$
$(4\mathrm{a})$～$(4\mathrm{c})$式を行列表記にすると、
$$\left(\begin{array}{c} \dot{V}_a \\ \dot{V}_b \\ \dot{V}_c \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array}\right)\equiv\boldsymbol{a^{-1}}\left(\begin{array}{c} \dot{V}_0 \\ \dot{V}_1 \\ \dot{V}_2 \end{array}\right) ・・・(2.1)$$
$(2.1)$式において、$\displaystyle{\boldsymbol{a}^{-1}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array}\right)}$は対称座標法における$0-1-2\Rightarrow a-b-c$領域への逆変換行列という。
また、$\dot{V}_0,\ \dot{V}_1,\ \dot{V}_2$から$\dot{V}_a,\ \dot{V}_b,\ \dot{V}_c$への変換をベクトル図に表したものを図8に示す。
図8 電圧の$0-1-2\Rightarrow a-b-c$変換
電流の0－1－2⇒a－b－c 変換式
さらに、電流についても前項と同様の関係が成り立つ。
$$\begin{cases}
\dot{I}_a&=\dot{I}_0+\dot{I}_1+\dot{I}_2 &・・・(4\mathrm{d})\\\\
\dot{I}_b&=\dot{I}_0+a^2\dot{I}_1+a\dot{I}_2 &・・・(4\mathrm{e})\\\\
\dot{I}_c&=\dot{I}_0+a\dot{I}_1+a^2\dot{I}_2 &・・・(4\mathrm{f})
\end{cases}$$
$(4\mathrm{d})$～$(4\mathrm{f})$式を行列表記にすると、
$$\left(\begin{array}{c} \dot{I}_a \\ \dot{I}_b \\ \dot{I}_c \end{array} \right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a^2 & a \\ 1 & a & a^2 \end{array} \right)\left(\begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right)\equiv\boldsymbol{a^{-1}}\left(\begin{array}{c} \dot{I}_0 \\ \dot{I}_1 \\ \dot{I}_2 \end{array} \right) ・・・(2.2)$$
$(2.2)$式より、逆変換行列$\boldsymbol{a}^{-1}$を用いて、電流についても変換の計算を行うことができる。
なお、変換行列$\boldsymbol{a}$と逆変換行列$\boldsymbol{a}^{-1}$は互いに逆行列の関係にある。
以上、$(1\mathrm{a})$～$(1\mathrm{f})$, $(4\mathrm{a})$～$(4\mathrm{f})$が三相電気量の各相成分（$a-b-c$領域）を零相・正相・逆相成分（$0-1-2$領域)に変換する対称座標法の変換式となる。
本記事では、対称座標法を用いた計算において重要な式である「発電機の基本式」を導入する。発電機の内部等価回路「発電機の基本式」を導入するにあたり、まずは適用する回路について考える。図1は、発電機を「[…]
関連する例題（「電験王」へのリンク）
電験一種
電験二種
参考文献
- 長谷良秀『電力技術の実用理論 第3版 発電・送変電の基礎理論からパワーエレクトロニクス応用まで』丸善出版，2015
※本ページはプロモーションが含まれています。―『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている― 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。[…]
電験アカデミアにテキストを書き下ろしてもらい、電験どうでしょうの川尻将先生により動画解説を行ない、電験3種受験予定者が電…
※本ページはプロモーションが含まれています。すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！ 当サイト「電気の神髄」をいつもご愛読ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 […]
※本ページはプロモーションが含まれています。 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 2022年5月18日、オーム社より「電験カフェへようこそ[…]