電力系統における電圧と無効電力の関係

2021年1月9日
2022年6月17日
系統安定性

本記事では、電力系統の電圧と無効電力の関係について、 $Q - V$ 曲線や電圧変動の式を基に解説する。

1 電力系統のQ-V曲線
2 電力の変化に対する電圧変動
3 関連する例題（「電験王」へのリンク）
- 3.1 電験二種
4 参考文献

電力系統のQ-V曲線

電力系統のモデル

まず、図1のような発電機（今回は円筒形同期発電機を想定）から負荷に電力供給している「1電源・1負荷」の系統を考える。

図1　電力系統（1電源・1負荷）

図1において、 $\dot{E} = E ∠ δ$ は発電機背後電圧、 $\dot{V} = V ∠ 0$ は受電端電圧、 $X$ は系統のリアクタンスを表し、抵抗分は無視するとする。

受電端電力と電圧の関係式

図1の受電端における電力が $\dot{S} = P + j Q$ であるとして、この $P, Q$ を各電圧の大きさ $E, V$ および相差角 $δ$ を用いて表すと、

${\begin{cases} P & = \frac{E V}{X} \sin δ ・・・ (1) \\ Q & = \frac{E V \cos δ - V^{2}}{X} ・・・ (2) \end{cases}$

(1)

および

(2)

式の導出に関しては、下記の記事を参照のこと。

一機無限大母線系統の定態安定性

本記事では、発電機の動揺方程式を用いて、一機無限大母線系統の定態安定性（定態安定度）について解説する。一機無限大母線系統電力系統のモデルとして、図1のような発電機（今回は円筒形同期発電機を想定）と無限大母線、およびその間のリアクタン[…]

また、受電端の有効電力 $P$ と無効電力 $Q$ との間には、力率角を $θ$ とすると、次の関係がある。

$Q = P \tan θ ・・・ (3)$

次に、「電力系統のP-V曲線と電圧安定性」の $(5)$ 式より、受電端の有効電力 $P$ を $V, δ, θ$ で表すと、

$P = \frac{V^{2}}{2 X} \cdot \frac{\sin (δ + θ) + \sin (δ - θ)}{\cos (δ + θ)} ・・・ (4)$

$(4)$ 式を $(3)$ 式に代入すると、

$Q = \frac{V^{2}}{2 X} \cdot \frac{\sin (δ + θ) + \sin (δ - θ)}{\cos (δ + θ)} \tan θ ・・・ (5)$

となり、受電端の無効電力 $Q$ もまた $V, δ, θ$ の関数となる。

電力系統のP-V曲線と電圧安定性

本記事では、電力系統の電圧安定性について、有効電力と電圧の関係を表した系統の $P - V$ 曲線を用いて解説する。電力系統のP-V曲線電力系統のモデル今回、図1のような発電機（今回は円筒形同期発電機を想定）から負荷に電力供給し[…]

Q-V曲線

$(5)$ 式の $δ$ および $θ$ をそれぞれ変化させたときの、 $Q$ と $V$ の関係をグラフに表した $Q - V$ 曲線を図2に示す。

図2　 $δ$ および $θ$ を変化させたときの $Q - V$ 曲線（力率角 $θ$ は遅れを正とする）

同図より、力率角 $θ$ が遅れおよび進み共にグラフ右側にピークをとる形状をしているが、特に遅れ力率の場合は少しの $Q$ の変化で電圧 $V$ が急減することがわかる。

また、進み力率の場合は、 $P - V$ 曲線の場合と同様に相差角 $δ$ が増大するにつれ $Q$ が増大するものの、ピーク値を境に $P$ および電圧 $V$ が減少していく傾向になる。

（最大でも $δ = \frac{π}{3}$ 付近で減少に転じている）

無効電力と電圧安定性

受電端電圧 $V$ に対してインピーダンスの値が変化しない定インピーダンス負荷の場合について、電力系統の電圧安定性と無効電力の関係を考える。

負荷は抵抗とリアクタンスの並列回路で表すことができるとして、そのリアクタンス成分を $X_{L}$ とすると、負荷の無効電力 $Q_{L}$ は、

$Q_{L} = \frac{V^{2}}{X_{L}}$

となり、受電端電圧 $V$ の2乗に比例する。

ここで、リアクタンス $X$ の値を変化させたときの各 $Q_{L}$ のグラフについて、系統の $Q - V$ 曲線（遅れ・進みともに同じ相差角 $δ$ の値としている）とともに描いたものを図3に示す。

同図では、遅れおよび進み力率の両方の場合について表している。

図3　定インピーダンス負荷の電圧安定性（ $Q - V$ 線図）

図3において、負荷の無効電力 $Q_{L}$ と系統の $Q - V$ 曲線との交点が運転点となる。

同図より、遅れ・進みともに軽負荷から重負荷になると、運転点は $Q - V$ 曲線を移動し、ピーク値を境に電圧 $V$ が急に減少する領域に入ることがわかる。

そして、さらに重負荷となれば、曲線同士の交点は存在しなくなる。

すなわち、このピーク値までが安定して運転可能な領域であり、これを超えるような負荷の状態となると電圧不安定となる。

電圧 $V$ が変動すると、 $P - V$ 線図に基づき消費電力 $P_{L}$ も変化することから、実際には $P - Q - V$ の三次元のグラフとなる。

両方の量と電圧 $V$ との関係を考える際には電力円線図が用いられる。

※電力円線図については別の記事で解説する。

電力の変化に対する電圧変動

受電端電圧と電力の関係式

次に、各電力の変化に対して、電力系統における電圧変動の式を導出する。

図4のように、無限大母線（電圧）から送電線を介して負荷に電力供給している系統を考える。

図4　無限大母線から負荷に電力供給する系統

図4において、 ${\dot{V}}_{s} = V_{s} ∠ δ$ は送電端電圧、 ${\dot{V}}_{r} = V_{r} ∠ 0$ は受電端電圧、 $R, X$ はそれぞれ送電線の抵抗およびリアクタンスとする。

同図の系統に流れる電流を $\dot{I}$ とすると、図4の有効電力 $P$ および $Q$ を表す式は、

$\begin{array}{r} P + j Q = {\dot{V}}_{r} \cdot \overset{―}{\dot{I}} ・・・ (6) \end{array}$

(6)

式は複素電力の計算式となる。

有効電力・無効電力・複素電力

本記事では、有効電力、無効電力および複素電力の定義式とその導出について解説する。有効電力の定義式電圧・電流の瞬時値の式時間 $t$ で値が変化する交流波形で表される電圧および電流の瞬時値を $v (t)$ […]

また、電流 $\dot{I}$ を各電圧および回路定数で表すと、

$\begin{aligned} \dot{I} & = \frac{{\dot{V}}_{s} - {\dot{V}}_{r}}{R + j X} \\ = \frac{V_{s} ∠ δ - V_{r}}{R + j X} ・・・ (7) \end{aligned}$

$(7)$ 式を $(6)$ 式に代入すると、

$\begin{aligned} P + j Q & = {\dot{V}}_{r} \cdot \overset{―}{(\frac{V_{s} ∠ δ - V_{r}}{R + j X})} \\ = V_{r} \cdot \frac{V_{s} ∠ (- δ) - V_{r}}{R - j X} \\ = \frac{V_{s} V_{r} (\cos δ - j \sin δ) - V_{r}^{2}}{R - j X} ・・・ (8) \end{aligned}$

$(8)$ 式の両辺に $(R - j X)$ をかけて変形すると、

$\begin{aligned} (P + j Q) (R - j X) & = V_{s} V_{r} (\cos δ - j \sin δ) - V_{r}^{2} \\ ∴ R P + X Q + V_{r}^{2} + j (- X P + R Q) & = V_{s} V_{r} (\cos δ - j \sin δ) ・・・ (9) \end{aligned}$

$(9)$ 式両辺の絶対値をとると、

$\begin{aligned} {(R P + X Q + V_{r}^{2})}^{2} + {(- X P + R Q)}^{2} & = V_{s}^{2} V_{r}^{2} \\ {(R P + X Q + V_{r}^{2})}^{2} + {(- X P + R Q)}^{2} - V_{s}^{2} V_{r}^{2} & = 0 ・・・ (10) \end{aligned}$

電力の微小変化に対する電圧変動の度合い

ここで、送電端電圧の大きさ $V_{s}$ を一定とし、 $P, Q$ がそれぞれ微小量 $Δ P, Δ Q$ だけ変化したときの電圧変動 $Δ V_{rP}, Δ V_{rQ}$ は、次の式で表すことができる。

$\begin{aligned} Δ V_{rP} & = \frac{\partial V_{r}}{\partial P} Δ P \\ Δ V_{rQ} & = \frac{\partial V_{r}}{\partial Q} Δ Q \end{aligned} ・・・ (11)$

$(11)$ 式中の微小変化量 $Δ P, Δ Q$ に対する電圧変動の度合いである $\frac{\partial V_{r}}{\partial P}, \frac{\partial V_{r}}{\partial Q}$ を求めるために、 $(10)$ 式に次の「陰関数の導関数」を求める式を適用する。

$f (x, y, z)$ という3変数の関数があり、常に $f (x, y, z) = 0$ が成り立つとき、

$z = g (x, y)$

となる $z$ を、 $x$ と $y$ の陰関数という。

ここで、 $f_{x} = \frac{\partial f}{\partial x}, f_{y} = \frac{\partial f}{\partial y}, f_{z} = \frac{\partial f}{\partial z} \neq 0$ とすると、次の公式が成り立つ。

$f_{x} + f_{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = 0, f_{y} + f_{z} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = 0$

したがって、陰関数の導関数は、次の式を用いて求めることができる。

$\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{f_{x}}{f_{z}}, \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{f_{y}}{f_{z}}$

$f = {(R P + X Q + V_{r}^{2})}^{2} + {(- X P + R Q)}^{2} - V_{s}^{2} V_{r}^{2}$ とおくと、 $f$ の $V_{r}, P, Q$ における導関数 $f_{V}, f_{P}, f_{Q}$ は、

$\begin{aligned} f_{V} & = 2 (R P + X Q + V_{r}^{2}) \cdot 2 V_{r} - 2 V_{s}^{2} V_{r} \\ = 2 V_{r} {2 (R P + X Q) + 2 V_{r}^{2} - V_{s}^{2}} ・・・ (12) \\ f_{P} & = 2 (R P + X Q + V_{r}^{2}) \cdot R + 2 (- X P + R Q) \cdot (- X) \\ = 2 (R^{2} P + R X Q + R V_{r}^{2} + X^{2} P - R X Q) \\ = 2 {(R^{2} + X^{2}) P + R V_{r}^{2}} ・・・ (13) \\ f_{Q} & = 2 (R P + X Q + V_{r}^{2}) \cdot X + 2 (- X P + R Q) \cdot R \\ = 2 (R X P + X^{2} Q + X V_{r}^{2} - R X P + R^{2} Q) \\ = 2 {(R^{2} + X^{2}) Q + X V_{r}^{2}} ・・・ (14) \end{aligned}$

$(12), (13), (14)$ 式より、 $(11)$ 式中の $\frac{\partial V_{r}}{\partial P}, \frac{\partial V_{r}}{\partial Q}$ を求めると、

$\begin{aligned} \frac{\partial V_{r}}{\partial P} & = - \frac{f_{P}}{f_{V}} \\ = - \frac{(R^{2} + X^{2}) P + R V_{r}^{2}}{V_{r} {2 (R P + X Q) + 2 V_{r}^{2} - V_{s}^{2}}} \\ = - \frac{Z^{2} P + R V_{r}^{2}}{V_{r} {2 (R P + X Q) + 2 V_{r}^{2} - V_{s}^{2}}} \\ \frac{\partial V_{r}}{\partial Q} & = - \frac{f_{Q}}{f_{V}} ・・・ (15) \\ = - \frac{(R^{2} + X^{2}) Q + X V_{r}^{2}}{V_{r} {2 (R P + X Q) + 2 V_{r}^{2} - V_{s}^{2}}} \\ = - \frac{Z^{2} Q + X V_{r}^{2}}{V_{r} {2 (R P + X Q) + 2 V_{r}^{2} - V_{s}^{2}}} ・・・ (16) \end{aligned}$

$(15), (16)$ 式で、 $Z \equiv \sqrt{R^{2} + X^{2}}$ としている。

電圧変動の感度

ここで、一般的に $V_{s}$ および $V_{r}$ は $1.0 p . u .$ 付近の値となるため、 $(12), (13), (14)$ 式より、 $f_{V}, f_{P}, f_{Q}$ はすべて正の値となる。

したがって、 $(15), (16)$ 式より $\frac{\partial V_{r}}{\partial P}, \frac{\partial V_{r}}{\partial Q}$ はともに負の値となる。

また、 $P$ と $Q$ が同じ値だけ変化した $(Δ P = Δ Q)$ として、 $Δ V_{rP}, Δ V_{rQ}$ の比をとったものを $ρ$ とすると、

$\begin{aligned} ρ & = \frac{Δ V_{rP}}{Δ V_{rQ}} \\ = \frac{Z^{2} P + R V_{r}^{2}}{Z^{2} Q + X V_{r}^{2}} \\ = \frac{Z P + R \cdot \frac{V_{r}^{2}}{Z}}{Z Q + X \cdot \frac{V_{r}^{2}}{Z}} \\ = \frac{Z P + R C}{Z Q + X C} ・・・ (17) \end{aligned}$

$(17)$ 式において、 $C \equiv \frac{V^{2}}{Z}$ は受電端から電源側をみたときの短絡容量を表し、一般に $C ≫ P, Q$ となる。

かつ、一般的な送電線は $R ≪ X$ であるから、 $(17)$ 式は、

$\begin{aligned} ρ & ≃ \frac{X P + R C}{X C} = \frac{P}{C} + \frac{R}{X} ≪ 1 \end{aligned}$

上記の結果から $Δ V_{rP} ≪ Δ V_{rQ}$ ，すなわち無効電力 $Q$ の変化は有効電力 $P$ と比較して、受電端電圧 $V_{r}$ の変動に大きく影響することがわかる。

したがって、電圧変動を抑制するためには、無効電力の調整が効果的であると考えられる。

なお、配電系統の場合、 $R$ と $X$ の大きさはそこまで差がないため、 $ρ$ は $1$ に近くなる。

すなわち、電圧変動の感度は $P$ と $Q$ で差がなくなるため、有効電力 $P$ の調整もある程度効果が出てくる。

（具体的には、系統の電圧上昇に対する、パワーコンディショナを用いた調整^[参考]が挙げられる）

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参考文献

長谷良秀『電力技術の実用理論第3版発電・送変電の基礎理論からパワーエレクトロニクス応用まで』丸善出版，2015
加藤政一『詳解電力系統工学』東京電機大学出版局，2017
上之園親左『現代電力工学』オーム社，1980
卯本重郎『現代基礎電気数学』オーム社，1990

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