水力発電所の計算における基本式

スポンサーリンク

ベルヌーイの定理

完全流体(粘性のない流体)の流れについて、エネルギー保存則より、下記の式が成り立つ。

$$\begin{align*}
H+\frac{v^2}{2g}+\frac{p}{\rho g}=\mathrm{const} ・・・(1)
\end{align*}$$

$(1)$式の左辺の各項は流体のエネルギーを高さに置き換えたものであり、それぞれ位置水頭、速度水頭、圧力水頭という。

$(1)$式を導出するために、図1のように任意の流路における流体のエネルギーを考える。

図1 完全流体の流路

図1の$A$および$B$領域における位置エネルギー$W_{pA},\ W_{pB}$は、重力加速度を$g,\ $高さをそれぞれ$H_A,\ H_B$とすると、

$$\begin{cases}
W_{pA}=m_AgH_A=\rho V_AgH_A\\\\
W_{pB}=m_BgH_B=\rho V_BgH_B
\end{cases}$$

ここで、各部分の流体の質量は流体の密度$\rho,\ $各領域の体積$V_A,\ V_B$を用いて$m_A=\rho V_A,\ m_B=\rho V_B$で表せる。

次に、図1の各領域における運動エネルギー $W_{kA},\ W_{kB}$は、各領域における流体の速度を$v_A,\ v_B$とすると、

$$\begin{cases}
W_{kA}&=\displaystyle{\frac{1}{2}}m_Av^2_A=\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho V_Av^2_A\\\\
W_{kB}&=\displaystyle{\frac{1}{2}}m_Bv^2_B=\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho V_Bv^2_B
\end{cases}$$

さらに、各部分の圧力を$p_A$および$p_B$とすると、圧力が流体を押し出す仕事の式はそれぞれ$p_AV_A,\ p_BV_B$で表されるので、エネルギー保存の式は、

$$\begin{align*}
W_{kA}+W_{pA}+p_AV_A&=W_{kB}+W_{pB}+p_BV_B\\\\
\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho V_Av^2_A+\rho V_AgH_A +p_AV_A&= \displaystyle{\frac{1}{2}}\rho V_Bv^2_B+\rho V_BgH_B +p_BV_B\\\\
\end{align*}$$

この$A,\ B$に限らず、流路中の任意の領域で上式が成り立つため、結局、

$$\begin{align*}
\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho Vv^2+\rho VgH +pV=\mathrm{const}\\\\
\therefore H+\frac{v^2}{2g}+\frac{p}{\rho g}=\mathrm{const}
\end{align*}$$

となり、$(1)$式が導かれる。

理論水力の式

流量$Q[\mathrm{m^3/s}]$の水が高さ$H[\mathrm{m}]$から落下するときの単位時間当たりの仕事$P$は、水の比重$\rho=1000\mathrm{kg/m^3},\ $重力加速度$g=9.8[\mathrm{m/s^2}]$を用いて、

$$P=\rho gQH=1000\times9.8QH[\mathrm{kg\cdot m^2/s^3}] ・・・(2)$$

単位時間当たりの仕事量=仕事率の単位は$[\mathrm{W}]=[\mathrm{kg\cdot m^2/s^3}]$であり、かつ$(2)$式の単位を$[\mathrm{kW}]$とすると、

$$P=9.8QH[\mathrm{kW}] ・・・(3)$$

と表せる。

発電機出力の式

水車発電機の出力の関係式を導く。

水圧管の断面積を$A,\ $管路損失(管路の圧力損失など)で流速が低下することを考慮した流速係数を$k$とすると、水圧管内の流量$Q$は$(1)$式より、

$$Q=Av=Ak\sqrt{2gH} ・・・(4)$$

したがって、発電機出力$P_G$は、水車効率を$\eta_W,\ $発電機効率を$\eta_G$とすると、理論出力に各効率を掛けたもので表されるため、$(2),\ (4)$式より、

$$\begin{align*}
P_G=\rho gQH\eta_W \eta_G&=\rho gH\cdot Ak\sqrt{2gH}\cdot\eta_W \eta_G\\\\
&=\sqrt{2}k\rho A\left(gH\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\eta_W \eta_G ・・・(5)\\\\
&\propto H^\frac{3}{2}
\end{align*}$$

水車の回転速度比

水車の出力$P_W$は、$(2),\ (4)$式より、

$$\begin{align*}
P_W=\sqrt{2}k\rho A\left(gH\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\eta_W ・・・(6)\\\\
\end{align*}$$

ランナ直径および有効落差が異なる相似な二つの水車$A$および$B$があるとすると、それぞれの水車の出力は$(6)$式より、

$$\begin{cases}
P_A=\sqrt{2}k\rho\times\pi\left(\frac{D_A}{2}\right)^2\left(gH_A\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\eta_W\\\\
P_B=\sqrt{2}k\rho\times\pi\left(\frac{D_B}{2}\right)^2\left(gH_B\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\eta_W
\end{cases}$$

したがって、水車$A$と$B$の出力比は、

$$\frac{P_A}{P_B}=\left(\frac{D_A}{D_B}\right)^2\left(\frac{H_A}{H_B}\right)^{\frac{3}{2}} ・・・(7)$$

水車の回転速度$n$は$v=2\pi rn$で表されることから、2つの水車の回転速度比は$(2)$および$(7)$式より、

$$\begin{align*}
\frac{N_A}{N_B}=\frac{\displaystyle{\frac{\sqrt{H_A}}{\pi D_A}}}{\displaystyle{\frac{\sqrt{H_B}}{\pi D_B}}}&=\left(\frac{H_A}{H_B}\right)^\frac{1}{2} \left(\frac{D_B}{D_A}\right)\\\\
&=\left(\frac{H_A}{H_B}\right)^\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{H_A}{H_B}\right)^\frac{3}{4}}{\left(\frac{P_A}{P_B}\right)^\frac{1}{2}}\\\\
&=\frac{\left(\frac{H_A}{H_B}\right)^\frac{5}{4}}{\left(\frac{P_A}{P_B}\right)^\frac{1}{2}} ・・・(8)
\end{align*}$$

したがって、水車$B$の回転速度は、$(8)$式より、

$$N_B=N_A\frac{\left(\frac{P_A}{P_B}\right)^\frac{1}{2}}{\left(\frac{H_A}{H_B}\right)^\frac{5}{4}} ・・・(9)$$

対象の水車の幾何学的に相似を保って大きさを変え、単位落差において単位出力を発生するようにしたときの回転速度を比速度という。$(9)$式において対象を$A$の水車とすると、比速度$n_s$は、

$$n_s=N\frac{P^\frac{1}{2}}{H^\frac{5}{4}}$$

となる。

スポンサーリンク

水力発電の最新記事8件