本記事では、水力発電関連の計算に必要な「ベルヌーイの定理」「理論水力および発電出力」「水車の比速度」の式を導出する。
ベルヌーイの定理
ベルヌーイの定理の式
ある完全流体（粘性のない流体）の流れについて、エネルギー保存則より、下記の式が成り立つ。
$$H+\frac{v^2}{2g}+\frac{p}{\rho g}=\mathrm{const} ・・・(1)$$
ただし、
- $H$：流体の高さ
- $v$：流体の速度
- $g$：重力加速度
- $p$：流体の圧力
- $\rho$：流体の密度
ベルヌーイの定理は、$(1)$式のように、流体におけるエネルギーの和が常に一定である定理である。
同式の左辺の各項は流体のエネルギーを高さに置き換えたものであり、それぞれ位置水頭、速度水頭、圧力水頭という。
式の導出
$(1)$式を導出するために、図1のように任意の流路における完全流体のエネルギーを考える。
図1 完全流体の流路
まず、図1の$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$領域における位置エネルギー$W_\mathrm{pA},\ W_\mathrm{pB}$を求める。
各部分の流体の質量$m_\mathrm{A},\ m_\mathrm{B}$は、流体の密度$\rho,\ $各領域の体積$V_\mathrm{A},\ V_\mathrm{B}$を用いて$m_\mathrm{A}=\rho V_\mathrm{A},\ m_\mathrm{B}=\rho V_\mathrm{B}$と表せるので、重力加速度を$g,\ $高さをそれぞれ$H_\mathrm{A},\ H_\mathrm{B}$として、$W_\mathrm{pA}$および$W_\mathrm{pB}$を求めると、
$$\begin{cases}
W_\mathrm{pA}&=m_\mathrm{A}\ gH_\mathrm{A}&=\rho V_\mathrm{A}gH_\mathrm{A}\\\\
W_\mathrm{pB}&=m_\mathrm{B}\ gH_\mathrm{B}&=\rho V_\mathrm{B}gH_\mathrm{B}
\end{cases} ・・・(2)$$
次に、図1の各領域における運動エネルギー $W_\mathrm{kA},\ W_\mathrm{kB}$は、各領域における流体の速度を$v_\mathrm{A},\ v_\mathrm{B}$とすると、
$$\begin{cases}
W_\mathrm{kA}&=\displaystyle{\frac{1}{2}}m_\mathrm{A}v^2_\mathrm{A}&=\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho V_\mathrm{A}v^2_\mathrm{A}\\\\
W_\mathrm{kB}&=\displaystyle{\frac{1}{2}}m_\mathrm{B}v^2_\mathrm{B}&=\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho V_\mathrm{B}v^2_\mathrm{B}
\end{cases} ・・・(3)$$
さらに、各部分の圧力を$p_\mathrm{A}$および$p_\mathrm{B}$とすると、圧力が流体を押し出す仕事の式はそれぞれ$p_\mathrm{A}V_\mathrm{A},\ p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}$で表されるので、エネルギー保存の式は、$(2),\ (3)$式より、
$$\begin{align*}
W_\mathrm{kA}+W_\mathrm{pA}+p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}&=W_\mathrm{kB}+W_\mathrm{pB}+p_\mathrm{B}V_\mathrm{B}\\\\
\therefore\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho V_\mathrm{A}v^2_\mathrm{A}+\rho V_\mathrm{A}\ gH_\mathrm{A}+p_\mathrm{A}V_\mathrm{A}&= \displaystyle{\frac{1}{2}}\rho V_\mathrm{B}v^2_\mathrm{B}+\rho V_\mathrm{B}\ gH_\mathrm{B} +p_\mathrm{B}V_\mathrm{B} ・・・(4)
\end{align*}$$
領域$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$に限らず、図1の流路中の任意の領域（体積$V$，速度$v$，高さ$H$，圧力$p$）で$(4)$式は成り立つため、結局、
$$\begin{align*}
\displaystyle{\frac{1}{2}}\rho Vv^2+\rho VgH +pV=\mathrm{const}\\\\
\therefore H+\frac{v^2}{2g}+\frac{p}{\rho g}=\mathrm{const}
\end{align*}$$
となり、ベルヌーイの定理の式である$(1)$式が導かれる。
理論水力と発電出力
理論水力の式
流量$Q[\mathrm{m^3/s}]$の水が高さ$H[\mathrm{m}]$から落下するときの単位時間当たりの仕事$P$は、水の比重$\rho=1000\mathrm{kg/m^3},\ $重力加速度$g=9.8\mathrm{m/s^2}$を用いて、
$$P=\rho gQH=1000\times9.8QH[\mathrm{kg\cdot m^2/s^3}] ・・・(5)$$
単位時間当たりの仕事量＝仕事率の単位は$[\mathrm{W}]=[\mathrm{kg\cdot m^2/s^3}]$であり、かつ$(5)$式の単位を$[\mathrm{kW}]$とすると、
$$P=9.8QH[\mathrm{kW}] ・・・(6)$$
$(6)$式は機器の損失を考えない場合の発電出力、すなわち理論水力の式である。
発電出力の式
次に、機器の損失を考慮した場合の発電出力の式を導く。
水圧管の断面積を$A,\ $管路損失（管路の圧力損失など）で流速が低下することを考慮した流速係数を$k$とすると、水圧管内の流量$Q$は、
$$Q=Av=Ak\sqrt{2gH} ・・・(7)$$
したがって、水車効率を$\eta_\mathrm{W},\ $発電機効率を$\eta_\mathrm{G}$とすると、発電機出力$P_\mathrm{G}$は理論出力$P$に各効率を掛けたもので表されるため、$(6),\ (7)$式より、
$$\begin{align*}
P_\mathrm{G}&=\rho gQH\eta_W \eta_\mathrm{G}\\\\
&=\rho gH\cdot Ak\sqrt{2gH}\cdot\eta_\mathrm{W}\eta_\mathrm{G}\\\\
&=\sqrt{2}k\rho A\left(gH\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\eta_\mathrm{W}\eta_\mathrm{G} ・・・(8)\\\\
&\propto H^\frac{3}{2}
\end{align*}$$
$(8)$式が水力発電における発電出力の式である。
水車の比速度
2つの水車の回転速度比
水車の出力$P_\mathrm{W}$は、理論水力$P$に水車の効率$\eta_\mathrm{W}$をかけたもので表されるため、
$$P_\mathrm{W}=\sqrt{2}k\rho A\left(gH\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\eta_\mathrm{W} ・・・(9)$$
ここで、ランナ直径および有効落差が異なる相似な二つの水車$\mathrm{A}$（直径$D_\mathrm{A}$，有効落差$H_\mathrm{A}$）および$\mathrm{B}$（直径$D_\mathrm{B}$，有効落差$H_\mathrm{B}$）を考えると、それぞれの水車の出力$P_\mathrm{A}$および$P_\mathrm{B}$は$(9)$式より、
$$\begin{cases}
P_\mathrm{A}&=\sqrt{2}k\rho\times\pi\displaystyle{\left(\frac{D_\mathrm{A}}{2}\right)}^2\left(gH_\mathrm{A}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\eta_\mathrm{W}\\\\
P_\mathrm{B}&=\sqrt{2}k\rho\times\pi\displaystyle{\left(\frac{D_\mathrm{B}}{2}\right)}^2\left(gH_\mathrm{B}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot\eta_\mathrm{W}
\end{cases} ・・・(10)$$
したがって、水車$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の出力比は、$(10)$式より、
$$\frac{P_\mathrm{A}}{P_\mathrm{B}}=\left(\frac{D_\mathrm{A}}{D_\mathrm{B}}\right)^2\left(\frac{H_\mathrm{A}}{H_\mathrm{B}}\right)^{\frac{3}{2}} ・・・(11)$$
$(11)$式を変形して、ランナ直径の比を求めると、
$$\frac{D_\mathrm{A}}{D_\mathrm{B}}=\frac{\displaystyle{\left(\frac{P_\mathrm{A}}{P_\mathrm{B}}\right)^\frac{1}{2}}}{\displaystyle{\left(\frac{H_\mathrm{A}}{H_\mathrm{B}}\right)^\frac{3}{4}}} ・・・(12)$$
水車の回転速度$n$と水の速度$v$の関係は$v=\pi Dn$，かつ$(7)$式より$v\propto \sqrt{H}$であることから、2つの水車の回転速度比は$(12)$式より、
$$\begin{align*}
\frac{N_\mathrm{A}}{N_\mathrm{B}}&=\frac{\displaystyle{\frac{\sqrt{H_\mathrm{A}}}{\pi D_\mathrm{A}}}}{\displaystyle{\frac{\sqrt{H_\mathrm{B}}}{\pi D_\mathrm{B}}}}\\\\
&=\left(\frac{H_\mathrm{A}}{H_\mathrm{B}}\right)^\frac{1}{2} \left(\frac{D_\mathrm{B}}{D_\mathrm{A}}\right)\\\\
&=\left(\frac{H_\mathrm{A}}{H_\mathrm{B}}\right)^\frac{1}{2}\frac{\displaystyle{\left(\frac{H_\mathrm{A}}{H_\mathrm{B}}\right)}^\frac{3}{4}}{\displaystyle{\left(\frac{P_\mathrm{A}}{P_\mathrm{B}}\right)}^\frac{1}{2}}\\\\
&=\frac{\displaystyle{\left(\frac{H_\mathrm{A}}{H_\mathrm{B}}\right)}^\frac{5}{4}}{\displaystyle{\left(\frac{P_\mathrm{A}}{P_\mathrm{B}}\right)}^\frac{1}{2}} ・・・(13)
\end{align*}$$
したがって、水車$\mathrm{B}$の回転速度$N_\mathrm{B}$は、$(13)$式より、
$$N_\mathrm{B}=N_\mathrm{A}\frac{\displaystyle{\left(\frac{P_\mathrm{A}}{P_\mathrm{B}}\right)}^\frac{1}{2}}{\displaystyle{\left(\frac{H_\mathrm{A}}{H_\mathrm{B}}\right)}^\frac{5}{4}} ・・・(14)$$
水車の比速度の式
対象の水車の幾何学的に相似を保って大きさを変え、単位落差において単位出力を発生するようにしたときの回転速度を比速度という。
$(14)$式において対象を水車$\mathrm{A}$とし、水車$\mathrm{B}$において単位出力および単位落差とすると、水車の比速度$n_\mathrm{s}$は、
$$n_\mathrm{s}\equiv N\frac{P^\frac{1}{2}}{H^\frac{5}{4}} ・・・(15)$$
$(15)$式が水車の比速度の定義式となる。
関連する例題（「電験王」へのリンク）
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電験三種
参考文献
- 電気学会『電気工学ハンドブック 第7版』オーム社，2013
- 道上勉『発電・変電』電気学会，2000
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