発電機における電圧と電流の関係を表現する式に、パーク（Park）の方程式がある。
本記事では、パークの方程式の導出について考える。
発電機の三相電気量における基本式
発電機の基本回路
図1に発電機の基本回路を示す。同図において、電機子$a-b-c$相巻線は$\displaystyle{\frac{2}{3}}\pi$ずつずれて配置されている。
一方、界磁においては界磁巻線と制動巻線の回路を考慮する。
界磁巻線には励磁のために外部の電源電圧$E_{fd}$が接続されており、磁極の方向、すなわち$d$軸方向のみに磁束をつくる（$q$軸方向には磁束は存在しないと考える）。
制動巻線は突極機の場合に回転子磁極表面に配置されるが、$d,\ q$軸方向それぞれに回路が配置され、磁束を発生させる回路であると考える。
以上のすべての巻線は、巻線抵抗およびインダクタンスから成る回路となる。
このような回路構成とすることで、$d-q-0$領域におけるパークの方程式を導出する。
図1 発電機の基本回路
電機子巻線の電圧関係式
図1の電機子巻線における電圧・磁束・電流の関係について、ファラデーの電磁誘導の法則および巻線抵抗による電圧降下を考慮すると、次式が成り立つ。
$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} e_a(t) \\ e_b(t) \\ e_c(t)\end{array}\right)=\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c} \mathit{\Psi_a}(t) \\ \mathit{\Psi_b}(t) \\ \mathit{\Psi_c}(t)\end{array}\right)-r\left(\begin{array}{c} i_a(t) \\ i_b(t) \\ i_c(t)\end{array}\right) ・・・(1)\end{align*}$$
\left(\begin{array}{c} e_a(t) \\ e_b(t) \\ e_c(t)\end{array}\right)=\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c} \mathit{\Psi_a}(t) \\ \mathit{\Psi_b}(t) \\ \mathit{\Psi_c}(t)\end{array}\right)-r\left(\begin{array}{c} i_a(t) \\ i_b(t) \\ i_c(t)\end{array}\right) ・・・(1)\end{align*}$$
ここで、
- $e_a(t),\ e_b(t),\ e_c(t)$：各相の電機子電圧
- $\mathit{\Psi_a}(t),\ \mathit{\Psi_b}(t),\ \mathit{\Psi_c}(t)$：各相電機子巻線の鎖交磁束数
- $i_a(t),\ i_b(t),\ i_c(t)$：各相の電機子巻線電流
- $r$：電機子巻線抵抗（三相とも等しいとする）
後の計算に備え、$(1)$式の各行列を記号で表すと、
$$\boldsymbol{e_{abc}}(t)=\frac{d}{dt}\mathbf{\Psi_{abc}}(t)-r\boldsymbol{i_{abc}}(t) ・・・(1)’$$
界磁巻線・制動巻線の電圧関係式
同様に、図1の界磁巻線および制動巻線における電圧・磁束・電流の関係について、次式が成り立つ。
$$\begin{align*}
\left(\begin{array}{c} E_{fd} \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c} \mathit{\Psi_{fd}}(t) \\ \mathit{\Psi_{Dd}}(t) \\ \mathit{\Psi_{Dq}}(t)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} r_{fd}\cdot i_{fd}(t) \\ r_{Dd}\cdot i_{Dd}(t) \\ r_{Dq}\cdot i_{Dq}(t)\end{array}\right) ・・・(2)
\end{align*}$$
\left(\begin{array}{c} E_{fd} \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c} \mathit{\Psi_{fd}}(t) \\ \mathit{\Psi_{Dd}}(t) \\ \mathit{\Psi_{Dq}}(t)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} r_{fd}\cdot i_{fd}(t) \\ r_{Dd}\cdot i_{Dd}(t) \\ r_{Dq}\cdot i_{Dq}(t)\end{array}\right) ・・・(2)
\end{align*}$$
ここで、
- $E_{fd}$：界磁電圧
- $\mathit{\Psi_{fd}}(t),\ \mathit{\Psi_{Dd}}(t),\ \mathit{\Psi_{Dq}}(t)$：界磁巻線（添字$f$）および制動巻線（添字$D$）の鎖交磁束数
- $i_{fd}(t),\ i_{Dd}(t),\ i_{Dq}(t)$：界磁巻線および制動巻線電流
- $r_{fd},\ r_{Dd},\ r_{Dq}$：界磁巻線および制動巻線抵抗
（なお、$(2)$式はすでに$d-q-0$領域における式であり、改めて変換する必要はない）
電圧関係式のd－q－0変換
$(1)’$式の両辺に、変換行列$\boldsymbol{D}(t)$を左から掛けて、その実数値をとる（$d-q-0$変換で扱う電気量は瞬時値であるため）と、
$$\begin{align*}
\boldsymbol{e_{dq0}}(t)&=\mathrm{Re}\left\{\boldsymbol{D}(t)\boldsymbol{e_{abc}}(t)\right\}=\mathrm{Re}\left\{\boldsymbol{D}(t)\frac{d}{dt}\boldsymbol{\Psi_{abc}}(t)-\boldsymbol{D}(t)r\boldsymbol{i_{abc}}(t)\right\}\\\\
&=\mathrm{Re}\left[\boldsymbol{D}(t)\frac{d}{dt}\left\{\boldsymbol{D^{-1}}(t) \boldsymbol{\Psi_{dq0}}(t)\right\}-\boldsymbol{D}(t)r\left\{\boldsymbol{D^{-1}}(t) \boldsymbol{i_{dq0}}(t)\right\}\right]\\\\
&=\mathrm{Re}\left[\boldsymbol{D}(t)\left\{\frac{d}{dt}\boldsymbol{D^{-1}}(t) \right\}\boldsymbol{\Psi_{dq0}}(t)+\boldsymbol{D}(t)\boldsymbol{D^{-1}}(t)\frac{d}{dt}\boldsymbol{\Psi_{dq0}}(t)-r\boldsymbol{i_{dq0}}(t)\right] ・・・(3)
\end{align*}$$
\boldsymbol{e_{dq0}}(t)&=\mathrm{Re}\left\{\boldsymbol{D}(t)\boldsymbol{e_{abc}}(t)\right\}=\mathrm{Re}\left\{\boldsymbol{D}(t)\frac{d}{dt}\boldsymbol{\Psi_{abc}}(t)-\boldsymbol{D}(t)r\boldsymbol{i_{abc}}(t)\right\}\\\\
&=\mathrm{Re}\left[\boldsymbol{D}(t)\frac{d}{dt}\left\{\boldsymbol{D^{-1}}(t) \boldsymbol{\Psi_{dq0}}(t)\right\}-\boldsymbol{D}(t)r\left\{\boldsymbol{D^{-1}}(t) \boldsymbol{i_{dq0}}(t)\right\}\right]\\\\
&=\mathrm{Re}\left[\boldsymbol{D}(t)\left\{\frac{d}{dt}\boldsymbol{D^{-1}}(t) \right\}\boldsymbol{\Psi_{dq0}}(t)+\boldsymbol{D}(t)\boldsymbol{D^{-1}}(t)\frac{d}{dt}\boldsymbol{\Psi_{dq0}}(t)-r\boldsymbol{i_{dq0}}(t)\right] ・・・(3)
\end{align*}$$
ここで、上記変換の２→３行目の計算においては、$\boldsymbol{D^{-1}}(t)$および$\boldsymbol{\Psi_{dq0}}(t)$はともに時間$t$の関数であるため、積の微分公式を用いていることに注意する。
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ここで、
$$\begin{align*}
\frac{d}{dt}\boldsymbol{D^{-1}}(t)&=\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & -\sin\theta_a & 1 \\ \cos\theta_b & -\sin\theta_b & 1 \\ \cos\theta_c & -\sin\theta_c & 1 \end{array} \right)\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} -\sin\theta_a\displaystyle{\frac{d\theta_a}{dt}} & -\cos\theta_a\displaystyle{\frac{d\theta_a}{dt}} & 0 \\ -\sin\theta_b\displaystyle{\frac{d\theta_b}{dt}} & -\cos\theta_b\displaystyle{\frac{d\theta_b}{dt}} & 0 \\ -\sin\theta_c\displaystyle{\frac{d\theta_c}{dt}} & -\cos\theta_c\displaystyle{\frac{d\theta_c}{dt}} & 0 \end{array} \right)\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} -\sin\theta_a & -\cos\theta_a & 0 \\ -\sin\theta_b & -\cos\theta_b & 0 \\ -\sin\theta_c & -\cos\theta_c & 0 \end{array} \right)\frac{d\theta}{dt}\\\\
&\left(\because\displaystyle{\frac{d\theta_a}{dt}}=\displaystyle{\frac{d\theta_b}{dt}}=\displaystyle{\frac{d\theta_c}{dt}}=\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}}=\omega\right)
\end{align*}$$
\frac{d}{dt}\boldsymbol{D^{-1}}(t)&=\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & -\sin\theta_a & 1 \\ \cos\theta_b & -\sin\theta_b & 1 \\ \cos\theta_c & -\sin\theta_c & 1 \end{array} \right)\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} -\sin\theta_a\displaystyle{\frac{d\theta_a}{dt}} & -\cos\theta_a\displaystyle{\frac{d\theta_a}{dt}} & 0 \\ -\sin\theta_b\displaystyle{\frac{d\theta_b}{dt}} & -\cos\theta_b\displaystyle{\frac{d\theta_b}{dt}} & 0 \\ -\sin\theta_c\displaystyle{\frac{d\theta_c}{dt}} & -\cos\theta_c\displaystyle{\frac{d\theta_c}{dt}} & 0 \end{array} \right)\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} -\sin\theta_a & -\cos\theta_a & 0 \\ -\sin\theta_b & -\cos\theta_b & 0 \\ -\sin\theta_c & -\cos\theta_c & 0 \end{array} \right)\frac{d\theta}{dt}\\\\
&\left(\because\displaystyle{\frac{d\theta_a}{dt}}=\displaystyle{\frac{d\theta_b}{dt}}=\displaystyle{\frac{d\theta_c}{dt}}=\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}}=\omega\right)
\end{align*}$$
したがって、
$$\begin{align*}
&\boldsymbol{D}(t)\left\{\frac{d}{dt}\boldsymbol{D^{-1}}(t)\right\}\\\\
&=\frac{2}{3}\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & \cos\theta_b & \cos\theta_c \\ -\sin\theta_a & -\sin\theta_b & -\sin\theta_c \\ \displaystyle{\frac{1}{2}} & \displaystyle{\frac{1}{2}} & \displaystyle{\frac{1}{2}} \end{array} \right) \left(\begin{array}{ccc} -\sin\theta_a & -\cos\theta_a & 0 \\ -\sin\theta_b & -\cos\theta_b & 0 \\ -\sin\theta_c & -\cos\theta_c & 0 \end{array} \right)\frac{d\theta}{dt}\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 \\ \displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align*}$$
&\boldsymbol{D}(t)\left\{\frac{d}{dt}\boldsymbol{D^{-1}}(t)\right\}\\\\
&=\frac{2}{3}\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & \cos\theta_b & \cos\theta_c \\ -\sin\theta_a & -\sin\theta_b & -\sin\theta_c \\ \displaystyle{\frac{1}{2}} & \displaystyle{\frac{1}{2}} & \displaystyle{\frac{1}{2}} \end{array} \right) \left(\begin{array}{ccc} -\sin\theta_a & -\cos\theta_a & 0 \\ -\sin\theta_b & -\cos\theta_b & 0 \\ -\sin\theta_c & -\cos\theta_c & 0 \end{array} \right)\frac{d\theta}{dt}\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 \\ \displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align*}$$
上式の計算の詳細について
まず、$\theta_a,\ \theta_b,\ \theta_c$に関する式として、
$$\begin{align*}
\sin\theta_a+\sin\theta_b+\sin\theta_c&=\sin\theta_a+\sin\left(\theta_a-\frac{2}{3}\pi\right)+\sin\left(\theta_a+\frac{2}{3}\pi\right)\\\\
&=\sin\theta_a+\sin\theta_a\cos\frac{2}{3}\pi-\sin\frac{2}{3}\pi\cos\theta_a+\sin\theta_a\cos\frac{2}{3}\pi+\sin\frac{2}{3}\pi\cos\theta_a\\\\
&=\sin\theta_a+2\sin\theta_a\cos\frac{2}{3}\pi\\\\
&=\sin\theta_a+2\sin\theta_a\times\left(-\frac{1}{2}\right)\\\\
&=0\\\\\\
\cos\theta_a+\cos\theta_b+\cos\theta_c&=\cos\theta_a+\cos\left(\theta_a-\frac{2}{3}\pi\right)+\cos\left(\theta_a+\frac{2}{3}\pi\right)\\\\
&=\cos\theta_a+\cos\theta_a\cos\frac{2}{3}\pi+\sin\theta_a\sin\frac{2}{3}\pi+\cos\theta_a\cos\frac{2}{3}\pi-\sin\theta_a\sin\frac{2}{3}\pi\\\\
&=\cos\theta_a+2\cos\theta_a\cos\frac{2}{3}\pi\\\\
&=\cos\theta_a+2\cos\theta_a\times\left(-\frac{1}{2}\right)\\\\
&=0
\end{align*}$$また、次の関係式も成り立つ。
$$\begin{align*}
\sin^2\theta_a+\sin^2\theta_b+\sin^2\theta_c&=\frac{1-\cos2\theta_a}{2}+\frac{1-\cos2\theta_b}{2}+\frac{1-\cos2\theta_c}{2}\\\\
&=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\cos2\theta_a+\cos2\theta_b+\cos2\theta_c\right)\\\\
&=\frac{3}{2}\\\\\\
\cos^2\theta_a+\cos^2\theta_b+\cos^2\theta_c&=\frac{1+\cos2\theta_a}{2}+\frac{1+\cos2\theta_b}{2}+\frac{1+\cos2\theta_c}{2}\\\\
&=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left(\cos2\theta_a+\cos2\theta_b+\cos2\theta_c\right)\\\\
&=\frac{3}{2}
\end{align*}$$上記の関係を踏まえた上で、行列計算を行うと、
$$\begin{align*}
&\boldsymbol{D}(t)\left\{\frac{d}{dt}\boldsymbol{D^{-1}}(t)\right\}\\\\
&=\frac{2}{3}\left(\begin{array}{ccc} \cos\theta_a & \cos\theta_b & \cos\theta_c \\ -\sin\theta_a & -\sin\theta_b & -\sin\theta_c \\ \displaystyle{\frac{1}{2}} & \displaystyle{\frac{1}{2}} & \displaystyle{\frac{1}{2}} \end{array} \right) \left(\begin{array}{ccc} -\sin\theta_a & -\cos\theta_a & 0 \\ -\sin\theta_b & -\cos\theta_b & 0 \\ -\sin\theta_c & -\cos\theta_c & 0 \end{array} \right)\frac{d\theta}{dt}\\\\
&=\frac{2}{3}\left(\begin{array}{ccc} -\sin\theta_a\cos\theta_a-\sin\theta_b\cos\theta_b-\sin\theta_c\cos\theta_c & -\cos^2\theta_a-\cos^2\theta_b-\cos^2\theta_c & 0 \\ \sin^2\theta_a+\sin^2\theta_b+\sin^2\theta_c & \sin\theta_a\cos\theta_a+\sin\theta_b\cos\theta_b+\sin\theta_c\cos\theta_c & 0 \\ -\displaystyle{\frac{1}{2}}\sin\theta_a-\displaystyle{\frac{1}{2}}\sin\theta_b-\displaystyle{\frac{1}{2}}\sin\theta_c & -\displaystyle{\frac{1}{2}}\cos\theta_a-\displaystyle{\frac{1}{2}}\cos\theta_b-\displaystyle{\frac{1}{2}}\cos\theta_c & 0 \end{array} \right)\frac{d\theta}{dt}\\\\
&=\frac{2}{3}\left(\begin{array}{ccc} -\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(\sin2\theta_a+\sin2\theta_b+\sin2\theta_c\right) & -\left(\cos^2\theta_a+\cos^2\theta_b+\cos^2\theta_c\right) & 0 \\ \sin^2\theta_a+\sin^2\theta_b+\sin^2\theta_c & \displaystyle{\frac{1}{2}}\left(\sin2\theta_a+\sin2\theta_b+\sin2\theta_c\right) & 0 \\ -\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(\sin\theta_a+\sin\theta_b+\sin\theta_c\right) & -\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(\cos\theta_a+\cos\theta_b+\cos\theta_c\right) & 0 \end{array} \right)\frac{d\theta}{dt}\\\\
&=\frac{2}{3}\left(\begin{array}{ccc} 0 & -\displaystyle\frac{3}{2} & 0 \\ \displaystyle{\frac{3}{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\frac{d\theta}{dt}\\\\
&=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 \\ \displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align*}$$
これを$(3)$式に代入し、行列表記になおすと、
$$\begin{align*}
&\left(\begin{array}{c} e_d(t) \\ e_q(t) \\ e_0(t)\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc} 0 & -\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 \\ \displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} \mathit{\Psi_d}(t) \\ \mathit{\Psi_q}(t) \\ \mathit{\Psi_0}(t)\end{array}\right)+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} \mathit{\Psi_d}(t) \\ \mathit{\Psi_q}(t) \\ \mathit{\Psi_0}(t)\end{array}\right)-r\left(\begin{array}{c} i_d(t) \\ i_q(t) \\ i_0(t)\end{array}\right) ・・・(4)
\end{align*}$$
&\left(\begin{array}{c} e_d(t) \\ e_q(t) \\ e_0(t)\end{array}\right)= \left(\begin{array}{ccc} 0 & -\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 \\ \displaystyle{\frac{d\theta}{dt}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \left(\begin{array}{c} \mathit{\Psi_d}(t) \\ \mathit{\Psi_q}(t) \\ \mathit{\Psi_0}(t)\end{array}\right)+\frac{d}{dt} \left(\begin{array}{c} \mathit{\Psi_d}(t) \\ \mathit{\Psi_q}(t) \\ \mathit{\Psi_0}(t)\end{array}\right)-r\left(\begin{array}{c} i_d(t) \\ i_q(t) \\ i_0(t)\end{array}\right) ・・・(4)
\end{align*}$$
パークの方程式
$(4)$式において$\displaystyle{\frac{d\theta}{dt}}=\omega$であることを考慮して、$(2)$式と合わせて記載すると、
$$\begin{align*}
&\begin{cases}
e_d(t)&=-\omega\mathit{\Psi_q}(t)+\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_d}(t)}{dt}}-ri_d(t)\\\\
e_q(t)&=\omega\mathit{\Psi_d}(t)+\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_q}(t)}{dt}}-ri_q(t)\\\\
e_0(t)&=\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_0}(t)}{dt}}-ri_0(t)
\end{cases} ・・・(5)\\\\\\
&\begin{cases}
E_{fd}&=\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_{fd}}(t)}{dt}}+r_{fd}i_{fd}(t)\\\\
0&=\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_{Dd}}(t)}{dt}}+r_{Dd}i_{Dd}(t)\\\\
0&=\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_{Dq}}(t)}{dt}}+r_{Dq}i_{Dq}(t)
\end{cases} ・・・(2)
\end{align*}$$
&\begin{cases}
e_d(t)&=-\omega\mathit{\Psi_q}(t)+\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_d}(t)}{dt}}-ri_d(t)\\\\
e_q(t)&=\omega\mathit{\Psi_d}(t)+\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_q}(t)}{dt}}-ri_q(t)\\\\
e_0(t)&=\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_0}(t)}{dt}}-ri_0(t)
\end{cases} ・・・(5)\\\\\\
&\begin{cases}
E_{fd}&=\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_{fd}}(t)}{dt}}+r_{fd}i_{fd}(t)\\\\
0&=\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_{Dd}}(t)}{dt}}+r_{Dd}i_{Dd}(t)\\\\
0&=\displaystyle{\frac{d\mathit{\Psi_{Dq}}(t)}{dt}}+r_{Dq}i_{Dq}(t)
\end{cases} ・・・(2)
\end{align*}$$
このうち、電機子巻線電圧に関する$(5)$式はパーク（Park）の方程式と呼ばれ、発電機の電気的特性を示す重要な式の１つである。
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