本記事では、直線状導体がつくる磁束のうち正三角形面を通るものに関して、電験一種の旧制度の問題を通して取り上げる。
直線状導体による正三角形面を通る磁束：例題
出典：電験一種一次試験 昭和62年度問1
（問題文の記述を一部変更しています）図1に示すように、真空中に置かれた無限に長い直線状導体に電流$I[\mathrm{A}]$が流れている。
図1 直線状導体と正三角形
この導体と辺$\mathrm{AC}$が平行で、かつ、正三角形$\mathrm{ABC}$が導体と同一平面上にあるとき、正三角形$\mathrm{ABC}$の面を通る磁束を求めよ。
ただし、導体と$\mathrm{B}$及び$\mathrm{C}$との距離は、それぞれ$a[\mathrm{m}]$及び$\left(a+b\right)[\mathrm{m}]$とする。
直線状導体による正三角形面を通る磁束：解法
磁束が通る部分の面積
図1に各寸法を記載したものを図2に示す。
図2 直線状導体と正三角形（寸法記載）
図2において、網掛け部の面積$S$を通る磁束を考える。
ここで、直線状導体から網掛け部までの距離を$x$，網掛け部の幅を$\mathrm{d}x$とする。
まず、$\mathrm{\triangle{ABC}}$の辺$\mathrm{AC}$の長さ$\overline{\mathrm{AC}}$は、$\mathrm{\triangle{ABC}}$が正三角形であるから、
$$\overline{\mathrm{AC}}=\frac{2}{\sqrt{3}}b$$
また、$\mathrm{\triangle{ABC}}$と$\mathrm{\triangle{DBE}}$は相似であることから、辺$\mathrm{DE}$の長さ$\overline{\mathrm{DE}}$は、
$$\overline{\mathrm{DE}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-a\right)$$
したがって、網掛け部の面積$S$は、
$$S=\overline{\mathrm{DE}}\cdot \mathrm{d}x=\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-a\right)\mathrm{d}x$$
正三角形全体を通る磁束
直線状導体から距離$x$において、電流$\dot{I}$によって作り出される磁束密度の大きさ$B$は、真空の透磁率を$\mu_0$とすると、
$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi x}$$
したがって、網掛け部の面積$S$における磁束$\mathrm{d}\Phi$は、
$$\begin{align*}
\mathrm{d}\Phi&=B\cdot S\\\\
&=\frac{\mu_0 I}{2\pi x}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\left(x-a\right)\mathrm{d}x\\\\
&=\frac{\mu_0 I}{\sqrt{3}\pi}\left(1-\frac{a}{x}\right)\mathrm{d}x
\end{align*}$$
以上より、$\mathrm{\triangle{ABC}}$全体を通る磁束$\Phi$は、$\mathrm{d}\Phi$を$a\sim a+b$の範囲で積分して、
$$\begin{align*}
\Phi&=\int^{a+b}_{a}\mathrm{d}\Phi\\\\
&=\frac{\mu_0 I}{\sqrt{3}\pi}\int^{a+b}_{a}\left(1-\frac{a}{x}\right)\mathrm{d}x\\\\
&=\frac{\mu_0 I}{\sqrt{3}\pi}\left[x-a\ln x\right]^{a+b}_{a}\\\\
&=\frac{\mu_0 I}{\sqrt{3}\pi}\left[\left\{\left(a+b\right)-a\ln\left(a+b\right)\right\}-\left(a-a\ln a\right)\right]\\\\
&=\boldsymbol{\frac{\mu_0 I}{\sqrt{3}\pi}\left(b-\ln\frac{a+b}{a}\right)}
\end{align*}$$
本記事では、かなり特殊なパターンではあるが、中に空洞が存在する中空導体がつくり出す磁界の計算について、電験一種の旧制度の過去問を例として考えてみる。中空導体がつくり出す磁界の計算：例題出典：電験一種筆記試験「理論」 昭和57[…]
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