本記事では三相短絡時の故障計算について、例題として電験一種の過去問を解いていく。
今回、四端子定数の計算と絡めた問題を選定した。このような融合問題は最近は出題がないが、前半は四端子定数、後半は三相短絡故障計算の基本知識を用いて解くことができる。
三相短絡故障計算：例題
出典：電験一種筆記試験（旧制度）「送配電」平成3年度問1
四端子定数が$\dot{A}=\dot{D}=0.97,\ \dot{B}=j53. 3\ \mathrm{\Omega}$および$\dot{C}=j1. 11\times10^{-3}\ \mathrm{S}$である送電線路の受電端開放中に線路の中央点で三相短絡を生じた場合、短絡点の短絡電流を求めよ。
ただし、三相短絡直前の線路の中央点の電圧は$157.6\ \mathrm{kV}$であり、その他の定数は無視するものとする。
四端子定数の導出
送電端から受電端における四端子定数は問題文で与えられており、各地点の電圧・電流をそれぞれ$\dot{V_s},\ \dot{V_r},\ \dot{I_s},\ \dot{I_r}$とすると、
$$\left(\begin{array}{c}\dot{V_s}\\\dot{I_s}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.97&j53.3\\j1.11\times10^{-3}&0.97\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{V_r}\\\dot{I_r}\end{array}\right) ・・・(1)$$
一方、中央点の電圧・電流を$\dot{V_m},\ \dot{I_m}$とすると、送電端から中央点、および中央点から受電端への四端子定数は共通して$\dot{A_m},\ \dot{B_m},\ \dot{C_m},\ \dot{D_m}$で表すことができるとして、
$$\begin{align*} \left(\begin{array}{c}\dot{V_s}\\\dot{I_s}\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc}\dot{A_m}&\dot{B_m}\\\dot{C_m}&\dot{D_m}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{V_m}\\\dot{I_m}\end{array}\right) ・・・(2)\\\\\left(\begin{array}{c}\dot{V_m}\\\dot{I_m}\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc}\dot{A_m}&\dot{B_m}\\\dot{C_m}&\dot{D_m}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{V_r}\\\dot{I_r}\end{array}\right) ・・・(3) \end{align*}$$
$(2)$式の右辺に$(3)$を代入して、
$$\begin{align*} \left(\begin{array}{c}\dot{V_s}\\\dot{I_s}\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{cc}\dot{A_m}&\dot{B_m}\\\dot{C_m}&\dot{D_m}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\dot{A_m}&\dot{B_m}\\\dot{C_m}&\dot{D_m}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{V_r}\\\dot{I_r}\end{array}\right)\\\\&=\left(\begin{array}{cc}\dot{A_m}^2+\dot{B_m}\dot{C_m}&\dot{A_m}\dot{B_m}+\dot{B_m}\dot{D_m}\\\dot{A_m}\dot{C_m}+\dot{C_m}\dot{D_m}&\dot{B_m}\dot{C_m}+\dot{D_m}^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\dot{V_r}\\\dot{I_r}\end{array}\right) ・・・(4) \end{align*}$$
$(1)$式と$(4)$式の右辺を比較すると、
$$\begin{cases}\begin{array}{llll} \dot{A_m}^2+\dot{B_m}\dot{C_m}=\dot{B_m}\dot{C_m}+\dot{D_m}^2=0.97 &・・・(5)\\\dot{A_m}\dot{B_m}+\dot{B_m}\dot{D_m}=j53.3 &・・・(6)\\\dot{A_m}\dot{C_m}+\dot{C_m}\dot{D_m}=j1.11\times10^{-3} &・・・(7)\end{array}\end{cases}$$
$(5)$式より、
$$\begin{align*}\dot{A_m}^2&=\dot{D_m}^2\\\therefore\dot{A_m}&=\dot{D_m} ・・・(8)\end{align*}$$
$(8)$式を$(6),\ (7)$式に代入すると、
$$\begin{align*}2\dot{A_m}\dot{B_m}&=j53.3 &・・・&(9)\\2\dot{A_m}\dot{C_m}&=j1.11\times10^{-3} &・・・&(10)\end{align*}$$
ここで、$\dot{A}\dot{D}-\dot{B}\dot{C}=1$が成り立つため、$\dot{A_m}\dot{D_m}-\dot{B_m}\dot{C_m}=1$も成り立つとすると、$(5),\ (8)$式から$\dot{B_m},\ \dot{C_m},\ \dot{D_m}$を消去して、
$$\begin{align*} \dot{A_m}^2-&(0.97-\dot{A_m}^2)=1\\2\dot{A_m}^2&=1.97\\\therefore\dot{A_m}&=0.9923=\dot{D_m} \end{align*}$$
これと$(9),\ (10)$式に代入して、
$$\begin{align*} \dot{B_m}&=\frac{j53.3}{2\times0.9923}=j26.86\\ \dot{C_m}&=\frac{1.11\times10^{-3}}{2\times0.9923}=j5.593\times10^{-4}\\ \end{align*}$$
以上をまとめると、
$$\begin{align*} \left(\begin{array}{cc}\dot{A_m}&\dot{B_m}\\\dot{C_m}&\dot{D_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.9923&j26.86\\1.11\times10^{-3}&0.9923\end{array}\right) ・・・(11) \end{align*}$$
本記事では、四端子回路に関する相反定理について解説する。相反定理図1のような四端子回路において、下記の条件を考える。図1の四端子回路は内部に電源がなく、かつ受動線形素子（抵抗、インダクタンス、[…]
三相短絡電流の計算
中央点を電圧の基準とすると、題意から事故発生前は$\dot{V_m}=\displaystyle{\frac{157.6}{\sqrt{3}}\mathrm{kV}},\ \dot{I_r}=0$であり、$(1),\ (3),\ (11)$式から事故発生前の$\dot{V_r},\ \dot{V_s}$を求めると、
$$\begin{align*}\dot{V_r}&=\frac{\dot{V_m}}{\dot{A_m}}= \frac{157.6}{\sqrt{3}\times0.9923}=91.70\ \mathrm{kV}\\\\\dot{V_s}&=\dot{A}\dot{V_r}=0.97\times91.70=88.95\ \mathrm{kV}
\end{align*}$$
ここで、送電端から事故点までにおける対称分回路を図1に示す。
三相短絡故障時は零相および逆相回路は電気的に接続されず、正相回路のみ考慮すればよい。
事故前の正相電圧は$\dot{V_s}$, 正相インピーダンスは$\dot{Z_1}=\dot{B_m}$であり、これらの値から三相短絡電流$\dot{I_m}=\dot{I_1}$を求めることができる。
図1 三相短絡故障時の対称分回路
したがって、中央点＝事故点における三相短絡電流の大きさは、
$$|\dot{I_m}|=|\dot{I_1}|=\left|\frac{\dot{V_s}}{\dot{B_m}}\right|=3.312→\boldsymbol{\underline {3.31\mathrm{kA}}}$$
本記事では、三相電力系統における故障計算の各パターンをまとめる。故障計算の回路モデル図1に電源を含む三相電力系統における故障計算時の回路モデルを示す。系統の任意の故障点から故障点端子$F$を仮想的に伸ばしたとして[…]
※本ページはプロモーションが含まれています。―『書籍×動画』が織り成す、未だかつてない最高の学習体験があなたを待っている― 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。[…]
電験アカデミアにテキストを書き下ろしてもらい、電験どうでしょうの川尻将先生により動画解説を行ない、電験3種受験予定者が電…
※本ページはプロモーションが含まれています。すべての電験二種受験生の方に向けて「最強の対策教材」作りました！ 当サイト「電気の神髄」をいつもご愛読ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 […]
※本ページはプロモーションが含まれています。 当サイト「電気の神髄」をいつもご利用ありがとうございます。管理人の摺り足の加藤です。 2022年5月18日、オーム社より「電験カフェへようこそ[…]